книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

временной теории функций в прикладных вопросах. Эта идея в дальнейшем была успешно использована Пуанкаре и позже Зундманом и другими в задаче трех тел, а также Н. Е. Жуков­ ским и С. А. Чаплыгиным в задачах прикладной аэромеханики.

Таким образом открывался путь применения в механике ме­ тодов современного анализа. Вместе с тем ставился и новый математический вопрос об исследовании условий, когда решение задачи имеет дополнительный первый интеграл, являющийся алгебраической и однозначной функцией своих аргументов.

У нас шла речь об асимптотическом представлении интегра­ лов дифференциальных уравнений в главе XII. Общая теория асимптотических функций и асимптотических рядов получила особенно интенсивное развитие с 20-х годов нашего века. Здесь уместно напомнить о работах Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крыло­ ва, давших новое оригинальное определение асимптотической последовательности, о развитии Н. Н. Боголюбовым и его уче­ никами ряда ассимптотических методов и их важнейших при­ менений для различных проблем математики, техники, нелиней­ ной механики и динамической теории в статической физике. В трудах Ю. Д. Соколова дана разработка асимптотических решений дифференциальных уравнений и их приложений к за­ дачам механики. В дальнейшем эта теория разрабатывалась в трудах многих советских и зарубежных математиков.

Развитие и новые задачи аналитической теории дифферен­ циальных уравнений привели к весьма существенному расшире­ нию всей теории функций и новым взглядам на ее цели и задачи, к более глубокой постановке вопроса об объектах ее изучения. Определение функций их особыми точками, изучение тех клас­ сов функций, которые обладали одними и теми же довольно про­ стыми видами особых точек, послужило основой открытия раз­ личных типов новых трансцендентных. В процессе изложения было показано, в какой тесной связи с теорией дифференциаль­ ных уравнений находятся эллиптические, гипергеометрические, абелевы, автоморфные функции. Это же касается и различных специальных функций математической физики. С аналитической теорией дифференциальных уравнений связаны также и важней­ шие задачи теории конформного отображения.

Через теорию дифференциальных уравнений более отчетливо и прозрачно устанавливалась связь теории функций комплекс­ ного переменного с такими физическими дисциплинами, как гид­ родинамика, теория электричества, аэродинамика и др. Более того, некоторые закономерности, характерные для этих приклад­ ных наук, существенно помогали и влияли на построение теории функций. Так, у Римана гидродинамические соображения стали эвристическим методом, позволившим наметить общие пути и методы математических исследований, а также придавшим его результатам исключительную наглядность.

Представляет интерес развитие теории инвариантов. Здесь

400

■исследования начинались от рассмотрения формальных процес­ сов для нахождения инвариантов; затем (80—90-е годы XIX ве­ ка) после изучения инвариантов линейных дифференциальных уравнений наметилось распространение этой теории и на случай нелинейных дифференциальных уравнений. В последнее время эта теория испытывает новый качественный скачок в связи с расширением объектов ее изучения. Появилось особенно много работ по изучению инвариантов матриц и применении их к неко­ торым задачам качественной теории [63].

В процессе развития аналитической теории дифференциаль­ ных уравнений были выработаны различные общие методы, найдены весьма объединяющие принципы (применение теории групп, алгорифмический метод и т. д.) для исследования инте­ гралов различных типов уравнений, но вместе с тем следует от­ метить, что стремление найти общее правило, пригодное для интегрирования всех дифференциальных уравнений в различ­ ных случаях, было бы столь же ошибочным, как, например, по­ иск универсального лекарства в медицине, годного для исцеления от всех болезней. И в дальнейшем развитии теории имеет место эффективность различных подходов при изучении того или иного принципиального вопроса. В этом выражалось диалектическое единство, взаимосвязь общего и частного, проявления общего в частном.

После работ Пенлеве, его учеников Бутру, Гарнье, Гамбье, Шази и других к началу 20-х годов нашего века сложилось впе­ чатление, что в аналитической теории нелинейных уравнений на­ ступило некоторое затишье, а теория уравнений Пенлеве счита­ лась законченной. Работы в этой области в 20—30-е годы про­ должали Петрович, Мальмквист, Гарнье и др. Значительное место в тот период стали занимать работы Хукугары, Иосиды, Зарембы, Шеффера, Бюро и др. Заметное оживление в этой об­ ласти наметилось с 1950 г. благодаря работам Еругина и его выдающихся сотрудников по Минской математической школе. Уже в 1952 г. Н. П. Еругин высказал мнение, что теорию уравне­ ний Пенлеве нельзя считать законченной, в частности относи­ тельно расположения их полюсов на комплексной плоскости; не­ решенным оставался вопрос об общем представлении решений этих уравнений во всей области их существования и ряд других. К настоящему времени они решены [25.11, 482]. В работах Н. П. Еругина был построен новый метод исследования, давший возможность изучить характер особых точек некоторых классов систем более общего вида, чем системы, эквивалентные уравне­ ниям (8.18). Были указаны классы таких систем вида (8.25), которые не имеют подвижных особых точек типа существенно особых, и дан метод исследования и построения решений в окре­ стности особых подвижных точек этих уравнений. Очень важ­ ным достижением было установление факта о том, что решения второго уравнения Пенлеве являются решениями некоторых

уравнений первого порядка. Н. П. Еругин, а также С. Г. Кондратеня указали классы систем вида (8.25), все подвижные особые течки которых алгебраические. Существенное дополнение теории уравнений Пенлеве предложил Н. А. Лукашевич [42]. Более глубокое изучение теории систем двух нелинейных уравнений первого порядка, в частности их классификацию, изучение по­ движных особых точек их решений и др. провел в [92] А. И. Яб­ лонский [25.9].

Замечательные исследования И. А. Лаппо-Данилевского в области аналитической теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений продолжали Н. Е. Кочин, Б. Д. Вержбицкий, Н. П. Еругин, Б. Л. Крылов, Л. М. Шифнер и др. С 1932 г. их усилия были объединены в ленинградском се­ минаре под руководством В. И. Смирнова. В начале 40-х годов особого успеха добился Н. П. Еругин благодаря синтезу метода Лаппо-Данилевского с идеями Ляпунова. В его монографии

ных дифференциальных уравнений в применении к теории си­ стем линейных дифференциальных уравнений с периодическими вещественными коэффициентами. Тут нашел дальнейшее разви­ тие и ряд плодотворных идей А. М. Ляпунова. Позже в этом направлении научно-исследовательскую работу вели Ю. С. Бог­ данов, В. П. Басов, В. В. Хорошилов, Л. И. Донская, А. П. Ту­ зов, В. И. Зубов, В. А. Плисс и др. [25.10, 466 и след.]. С 1956 г. получила развитие под руководством Н. П. Еругина Минская математическая школа. С 1965 г. в Минске стал выходить широ­ ко известный журнал «Дифференциальные уравнения». Анали­ тическая теория линейных уравнений за рубежом была предме­ том исследований также Ольсена, Гронека, Литтенмейера, Хил­ ле, Нагумо, Гарнье и многих других.

Как уже отмечалось во введении, аналитическая теория диф­ ференциальных уравнений развивалась под влиянием двух ос­ новных факторов, под которыми понимается внутренняя логика развития предмета и внешних запросов, в данном случае со сто­ роны механики, астрономии и теории специальных функций. Такое подразделение имеет, в известной степени, условный ха­ рактер, так как совокупность факторов, охватываемых понятием внутренней логики, в большой мере также определяется (но в более опосредственной форме) внешними явлениями и в том числе материалистическими законами развития самой логики, глубоко пронизывающей всю математическую науку. К тому же так называемые внешние запросы могут быть рассматриваемы как внутренние по отношению к развитию всего научного позна­ ния. К указанным следует добавить такой источник развития нашей науки, как потребность ученого создавать и открывать новое, стремиться к совершенствованию познания и распростра­ нению его научным общением и преподаванием. Не случайж>

402

поэтому, что улучшение и прогресс научной информации суще­ ственно ускорили интенсивность развития науки в целом, в том числе и рассматриваемой отрасли, и способствовали более ши­ рокому притоку научных кадров к занятиям ею.

Научные открытия следовали далеко неравномерно ни в- смысле времени, ни в смысле территориального и национальногораспределения.

Видимо, Лаплас впервые высказал определенно суждение о том, что некоторые интегралы невозможно выразить в форме известных функций, т. е. з конечном виде. Но первые обоснован­ ные результаты по проблеме неинтегрируемости функций в ко­ нечном виде были получены только в XIX веке, в частности в трудах Лиувилля и др. А уже в середине XIX века пошла речь о представлении функций в форме дифференциальных уравне­ ний в работах Врио и Буке. При этом особую роль приобрели качественные методы исследования интегралов уравнений и чис­ ленные, приближенные методы их выражения в известных функ­ циях или таблицах. Эти методы стимулировались в большой степени развитием механики и техники.

Говоря о неравномерности развития нашей науки, отметим тот любопытный факт, что Врио и Буке, разобрав более трудный случай особенностей уравнения нелинейного, хотя и первого по­ рядка, не занялись потом исследованием линейных уравнений, представив эту возможность Фуксу. После первых его фундамен­ тальных работ в следующие два—три десятилетия было написа­ но множество сочинений по теории линейных уравнений. В это время работы по нелинейным уравнениям появлялись лишь эпи­ зодически и то для случая первого порядка, пока в начале 80-х годов Фуксом не был сделан в этой области новый небольшой, но очень важный по своей удачности шаг: о разыскании уравне­ ний с неподвижными критическими точками. Эта идея была под­ хвачена Пуанкаре и Пикаром, но сравнительно цельная теория нелинейных уравнений была разработана лишь во вторую поло­ вину 90-х годов прошлого века, отстоя от основополагающих ра­ бот Врио и Буке примерно на четыре десятилетия. Новая вспыш­ ка интересных результатов после множества важных работ уче­ ников Пенлеве в первые десятилетия нашего века появилась примерно через такое же время, хотя и в течение этого периода исследования по данной теории не прекращались.

Таким образом, в создании различных направлений и отрас­ лей рассматриваемой нами теории принимали участие десятки крупных ученых и сотни менее известных деятелей науки, при­ надлежащих к различным научным школам из многих стран мира. Время от времени центр развития перемещался из одного места в другое, почти не выходя в течение рассматриваемого пе­ риода за пределы Европы.

Как помним, ряд фундаментальых идей, связанных с нашей теорией появился в работах Коши. Они плодотворно развивались

в работах Пюизё, Мерз, Врио и Буке. Таким образом, Франция оказалась родиной новой теории. Здесь же получила плодотвор­ ное развитие аналитическая теория нелинейных уравнений в тру­ дах Пикара, Пуанкаре, Пенлеве и его учеников. Наоборот, ана­ литическая теория линейных уравнений была сперва продуктом творчества преимущественно германских ученых — Римана, Фукса, Клейна. Отсюда она распространилась во Францию, Ан­ глию, Америку, в скандинавские и славянские страны (а несколь­ ко позже и в Японию и другие восточные страны) как через научную литературу, так и в результате выезда учеников. По­ следняя форма распространения математических идей в то вре­ мя была чрезвычайно важной и часто практиковалась. В универ­ ситеты Германии и Франции стекались способные ученики из многих стран. Живым общением и непосредственным контактом

свыдающимися математиками того времени они более активно

ибыстро усваивали новые идеи, передовые взгляды и, возвра­ щаясь в большинстве своем на родину, становились сами видны­

ми учеными и основателями новых научных школ, имели своих

учеников.

Множество рассмотренных нами работ отмечены премиями Парижской, Берлинской, Шведской и других академий, научных обществ. Любопытно отметить, что примерно за треть века с 1876 г. Большой приз Парижской академии, назначавшийся раз в два года, был присужден за работы из рассмотренного нами цикла: Г. Дарбу, Альфену, Гурса, Пикару, Пенлеве, Бутру, Гарнье, Шази и другим, о чем более подробно шла речь в тексте.

В России первые работы по аналитической теории линейных уравнений стали появляться с конца 70-х годов прошлого века (А. В. Васильев, В. А. Анисимов, П. А. Некрасов, С. Е. Савич, Д. М. Синцов, В. П. Ермаков и др.). Ряд интересных результа­ тов по изучению гипергеометрических функций в 80—90-е годы получил А. А. Марков. В тексте мы упоминали о работах того же периода А. В. Летникова и Л. К. Лахтина.

В начале 90-х годов русские ученые вышли на передний край по некоторым аспектам рассматриваемой теории. Мы имеем в виду работы А. М. Ляпунова и П. Г. Боля по теории устойчиво­ сти. О фундаментальных результатах в других областях речь шла в предыдущих главах.

Уже к началу нашего века в России сложилось три основных центра, где проводились интенсивные исследования по аналити­ ческой теории дифференциальных уравнений: Петербург, Москва, Казань. Она же была предметом внимания и математи­ ков из других городов: Киева (В. П. Ермаков, К. Ф. Абрамович); Харькова (Д. Деларю, М. Лагутинский), Варшавы (В. А. Аниси­ мов, И. Р. Брайцев и др.).

В Петербурге работали Н. М. Гюнтер, А. П. Поляков, В. И. Смирнов. В. И. Смирнов стал основателем нового направ­ ления и руководителем Ленинградской математической школы.

404

П Р И М Е Ч А Н И Я

1. Так, в 1864 г. начало свою деятельность Московское математическое общество во главе с президентом Брашманом, а через год — Лондонское во главе с президентом Де Морганом. Наиболее старым из известных математи­ ческих обществ было Гамбургское (основано в 1690 г), затем появились есте­ ственно-научные общества в Бордо (1712 г.), Лейпциге (1771 г.), Амстердаме (1778 г.), Флоренции (1782 г.), Париже (1788 г.) и др. В 1869 г. начала свою деятельность физико-математическая секция Казанского общества естествоис­ пытателей, через год — в 1870 г.— такая же секция Киевского общества, а в 1876 г.— математическое отделение Одесского общества естествоиспытателей. Как самостоятельные общества Киевское и Казанское оформились соответ­ ственно в 1889 и в 1890 гг. К этому времени стали функционировать математи­

Нью-Йоркское математическое общество вскоре было переименовано в амери­ канское с секциями в Чикаго (1897 г.), Сан-Франциско (1902 г.) и др. В 1890 г. были оформлены Немецкое и Петербургское математические общества, а также математическая секция научного общества им. Шевченко (Львов). В начале столетия начали деятельность Индийское (1907 г.), Испанское (1911 г.) и многие другие математические общества.

2. Один из первых и наиболее распространенных из них — немецкий еже­ годник [184], затем журнал Дарбу [114], позже — Центральный листок по мате­ матике и смежным областям [280] и др.

3. Первый всемирный конгресс математиков был созван в 1897 г. в Цюрихе. В конгрессе приняли участие 242 ученых из 16 стран. В 1966 г. в Москве проходил XIII Международный математический конгресс, в работе которого приняло участие около пяти тысяч человек из 53 странЗдесь было сделано более 100 обзорных докладов и около 2100 сообщений на 15 секцях. Математи­ ческий конгресс 1970 г. (Париж, Ницца) был менее представительным.

4. Приведем свидетельство Д. Я- Стройка о реакции Лапласа на работы Коши из этого цикла: «Рассказывают, что он (Коши— В . Д . ) так взволновал

Лапласа, когда прочел свою первую работу о сходимости рядов в Парижской академии, что этот великий ученый поспешил домой для того, чтобы проверить ряды в своей «Небесной механике». Кажется, он обнаружил, что там нет гру­ бых ошибок» [73, 178].

5. Ковалевская Софья Васильевна (3(15).1. 1850—29.1(10.11) 1891)— одна из немногих знаменитых женщин-математиков прошлой эпохи, первая в мире женщина-профессор (Стокгольмского университета, 1884 г.) и чл.-корр. Петер­ бургской академии наук (1889 г.), а также писатель и публицист. Легко усвоив основы высшей математики, занимаясь частным образом у известного москов­ ского педагога А. Страннолюбского, в 1869 г. она уехала учиться в Гейдель­ берг к Кенигсбергеру, а в 1870 г. переехала в Берлин и начала заниматься с Вейерштрассом. В 1874 г. С. Ковалевская получила степень доктора философии Геттингенского университета, а в 1883 г. стала преподавательницей Сток-

406

В. А. Анисимов, подчеркивавший в 1897 г. [24.3], что теория функций комплекс­ ного переменного с ее общими положениями и теоремами позволяет во многих случаях определить характеристические, в порядке идей Римана, свойства фун­ кций интегралов в области ее особых точек, способствуя (если не приводя к

ных уравнений с точки зрения непосредственного вычисления их интегралов. 7. Недооценка Коркиным новых методов проявилась также в отсутствии изложения теоремы существования интегралов дифференциальных уравнений

вего курсе [31.2].

8.Граве Дмитрий Александрович (6.ІХ 1863—19.XII 1939)— воспитанник Петербургской и основатель Киевской математической школы. По окончании

Петербургского университета (1885 г.) защитил магистерскую (1889 г.) и док­ торскую (1897 г.) диссертации. Преподавал математику в различных высших учебных заведениях Петербурга (1889— 1897 гг.), Харькова (1897—1899 гг.) и Киева (1899— 1935 гг.). С 1934 г. он директор Института математики АН УССР. Д. А. Граве — член АН УССР с 1919 г., почетный член АН СССР с 1929 г. Работы его принадлежали теории дифференциальных уравнений, построению

Падуе (в 1693—1696), затем возвратился в Венецию. Основные труды Рикка­ ти относятся к интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Известен он также инженерной деятельностью, руководил постройкой речных

стократической семье в Венеции и возобновил знакомство с Риккати, которого знал еще с 1706 г. От Риккати от получил статью, чтобы передать ее отцу — Иогану I Бернулли на рассмотрение и отзыв. От этого зависела публикация.

•Отзыв был, вероятно, благоприятным, и статья появилась в печати [245] (1724 г.), но, очевидно, после того, как содержание ее стало хорошо известным, так как в том же журнале о ней уже упоминалось в ноябре 1723 г.

10. Лексель Андрей Иванович (24.ХП. 1740—30.XI. 1784)—русский астро­ ном, член Петербургской академии наук, по происхождению швед, приехал в Петербург в 1768 г. и начал работать под руководством Л. Эйлера.

И. Де Морган (De Morgan) Август (27.VI. 1806—18.III. 1 8 7 1 )—известный

английский математик и логик, воспитанник Тринити-Колледжа в Кембридже. С 22 лет начал преподавание математики в университетском колледже Лондона и был известен затем как знаменитый лектор. Непосредственно и через своих учеников Де Морган сохранял решающее влияние на позднейшую Кембридж­ скую школу, был членом Лондонского Королевского общества и активно уча­

Георгом Булем как один из авторов, провозгласивших принципы исчисления предикатов. Он был и выдающимся английским историком математики.

12. В дискуссии Лейбница с И. Бернулли о природе логарифмов отрица­ тельных величин первый считал их мнимыми, а И. Бернулли это отрицал. Вскоре Эйлер показал неправоту И. Бернулли, но против Эйлера выступил Даламбер. Возникла довольно бурная переписка 1747—1748 гг. В процессе ее Эйлер полностью решил вопрос о природе логарифмов отрицательных и мни­ мых величин и показал бесконечнозначность логарифма всякого числа, отлич­ ного от нуля. Он установил также, что среди значений логарифма положи­ тельного числа имеется одно действительное, а все значения логарифмов отрицательных и мнимых чисел являются мнимыми. Дальнейшее развитие эти идеи нашли в работах Фонсене (1759) и особенно Карстена (1782).

407

13. Это отчетливо видно в письме Гаусса к астроному и математику Бес­ селю (1811 г., опубликовано в 1880 г.). Здесь содержалась четкая интерпре­ тация комплексных чисел, определение интеграла по комплексному перемен­ ному, представимость аналитической функции степенным рядом, интегральная теорема (известная теперь как теорема Коши). Здесь же было рассмотрено происхождение логарифмической функции из интеграла и основа ее много­ значности.

14. Известный немецкий историк математики Ф. Мюллер в начале прош­ лого века опубликовал некоторые данные о числе и характере журналов, имеющих математическое содержание [220]. Как на первые журналы такого

в первой половине, а в XIX столетии появилось еще около 950. При этом выход журнала под новым названием считался отдельно. Таким образом, к началу XX века было выпущено 1200 журналов математического содержания и из них продолжало выходить более половины

15. Муаньо (Moigno) Франсуа-Наполеон-Мари (20.VI 1804—13.XII. 1884)—

французский математик, ученик Коши, затем аббат , жил в Париже, где в

1852 г. основал журнал «Космос», выходивший позже под другим названием до 1880 г. Автор двухтомного учебника по анализу [219] и других пособий.

16. Коши (Cauchy) Огюстен-Луи (21.ѴПІ. 1789—23.V. 1857) один из самых выдающихся математиков-аналитиков прошлого века. Множество его новых результатов и открытий сыграли фундаментальную роль в развитии теорети­ ческой и прикладной математики XIX века и в известной степени, наряду с работами других выдающихся аналитиков, предопределили характер этого развития на ближайшие десятилетия. Несмотря на свой клерикализм, Коши в основном вопросе стоял на стихийно материалистических позициях и считал, например, «большим заблуждением допущение, что достоверность находится только в геометрических доказательствах, или в указаниях наших чувств». Развивая эту мысль дальше, он подчеркивал в [1221], что «мы должны вполне сознавать, что существуют истины и кроме алгебраических и находятся дей­ ствительности независимо от предметов познаваемых чувствами. Станем же усердно обрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значение за естественные пределы, не увлекаясь тем, что можно решать исто­

короля Карла X, покинувшего Францию и жившего с 1833 по 1836 год в Праж­ ском замке. В 1833 г. Коши был избран членом Богемского научного общества, а в 1835 г. передал ему для публикации свое сочинение «Mémoire sur l’integration des équations differéntielles» 1 в форме тетради 13x18 объемом 72 стра­ ниц, в обложке. Имелось в виду напечатать этот мемуар отдельной брошюрой в трудах общества. Разногласие получилось из-за формата публикации. Коши желал осуществить его в XU, а общество имело возможность на Ѵв. Но в 1836 г.

Коши покинул Прагу, некому было обеспечить корректуру, и это издание, оче­ видно, не было осуществлено. В связи с этим К. Рыхлик пишет: «Мне не удалось найти литографию мемуара Коши в крупнейших библиотеках Праги» |252, 481]. Добавим к этому, что она не была нами обнаружена в каталогах крупнейших европейских библиотек.

18. Лиувилль (Loiuville) Жозеф (24.III. 1806—9.IX. 1882)— член Париж­ ской академии с 1839 г. по классу астрономии, основатель и неутомимый со­ трудник «Журнала чистой и прикладной математики», автор ряда важных

1 «Мемуар об интегрировании дифференциальных уравнений».

408

открытий в математике. После блестящего окончания политехнической школы в 1827 г. перешел в Школу мостов и дорог. Преподавательскую деятельность он начал в 1831 г. профессором политехнической школы, а затем и Коллеж де Франс, где читал курс математики. На факультете наук читал рациональную механику. В 1862 г. избран действительным членом Бюро долгот. Ж. Лиувилль издал математические сочинения Галуа, геометрию Монжа, лекции Навье и другие важные сочинения.

19. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содер­ жит, как известно, две произвольных константы, которые можно рассматривать как параметры. Кроме того, в уравнение могут входить еще k параметров. Таким образом, если рассматривать п любых решений этого дифференциаль­

жалось к любым заданным (может быть и бесконечным) значениям в конеч­ ных точках отрезков. Происхождение такой постановки вопроса обусловлено соответственными задачами математической физики. Случай б) был четко поставлен и рассмотрен Даламбером, когда требовалось определить параметр X

d2y

вуравнении ^^5 !=X(f(x)y (где ф(х)— данная положительная функция) таким

образом, чтобы решение этого уравнения в точках а и b принимало нулевые

значения, не будучи тождественным нулем. Далее этим вопросом занимался Штурм с 1833 г. и вместе с Лиувиллем он чуть позже (1836—1837 гг.) получил существенные результаты. В несколько ином направлении эти вопросы рассмат­ ривались ранее Лапласом, Лежандром, Ламе и др. [138.11 А 7а, 441].

20. Лиувилль [205.4] рассмотрел краевую задачу и притом сразу для диф­ ференциального уравнения любого порядка вида (1.10). Он доказал такую теорему колебаний: можно определить параметр г одним и только одним спо­

собом так, что указанное дифференциальное уравнение будет обладать решени­

чего найденное решение пригодно лишь для весьма малых значений t. С этим

обстоятельством встретились математики XVIII века, когда они начали приме­ нять анализ к исследованию движения планет и их спутников в солнечной системе. Задачей об уничтожении вековых членов при применении метода последовательных приближений занимались многие астрономы. Известны также работы Лапласа и Лагранжа, в которых развивались довольно общие методы для устранения этого недостатка. Однако на пути применения этих способов стояли значительные технические трудности. Метод Остроградского давал простой прием избежать появления вековых членов при применении способа последовательных приближений. Такой метод значительно позже получил широкое распространение в работах Гюльдена, Линдштедта, Пуан­ каре, Ляпунова. (О последних см. в книге И. Т. Малкина «Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний», М.— Л. 1949). В этой книге

409