книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

В этих символах решение системы (16.22) определяется тео­ ремой 1 [38.6, 142]. Регулярная матрица, нормированная в точке b и имеющая дифференциальные подстановки Uu U2, ..., Um в точках а\, а2, ..., ат, является целой функцией дифференциаль­ ных подстановок, представляемой разложением в ряд

коэффициенты которого есть гиперлогарифмы конфигурации точек ß i,..., ат. Этот ряд сходится равномерно относительно х и представляет регулярную матрицу в каждой конечной области поверхности @(ßi, а2, ..., ат, оо ), не содержащей внутри и на гра­ нице точек оі, а2у..., ат.

Дифференцируя этот ряд почленно и пользуясь соотношения­ ми (16.24), получаем

матрицу, имеющую дифференциальные подстановки Uu U2,...,

с помощью метода последовательных приближений. Благодаря матричному исчислению он представляется по Лаппо-Данилев- скому в виде ряда композиций, причем этот вид является весьма наглядным и удобным для дальнейших исследований, ибо он да­ ет алгорифмическое представление требуемых функций во всей области их существования и делает вполне очевидной природу их зависимости от переменной х, от дифференциальных подста­ новок U1, U2, ..., Umи от конфигурации особых точек а\,а2..., ат.

Из доказанной теоремы вытекали простые оценки регулярной нормированной матрицы, имеющей заданные дифференциальные подстановки, удобные способы для проведения вычислений, а также следовала теорема 2 об обратной матрице Уь~Ңх).

При подходе к построению интегральных подстановок автор отметил, что из их определения и из условия нормированности регулярной матрицы Уь(х) в точке b следовало, что интеграль­ ная подстановка Vj матрицы Уь(х) представлялась значением этой матрицы Yb(x) в точке Ь, поверхности ©(щ, о.2, ..., ат, оо) с комплексной координатой Ь, в которую можно прийти, отправ­ ляясь из b и обходя особую точку а; вдоль простой петли. Следо-

390

вательно, полагая в разложении (16.25) x = bj и принимая во внимание соотношения (16.24), получаем фундаментальную тео­ рему 3 [38.5, 147] о представлении интегральных подстановок рядом композиций дифференциальных подстановок. Интеграль­ ная подстановка в точке üj регулярной матрицы, нормированной в точке b и имеющей дифференциальные подстановки U\, t/2, ...,

..., Um в точках а\, а2...... ат, есть целая функция дифференци­ альных подстановок, представляемая разложением

ев (1..... т

Матрица Ѵ)~х> обратная интегральной подстановке, являлась также целой функцией дифференциальных подстановок, пред­ ставляемой соответственным рядом.

Перейдя к непосредственному изучению особенностей регу­ лярных матриц, Лаппо-Данилевский предположил сначала, что дифференциальные подстановки Uі, Ui........ Um находятся в окрестности нулевых матриц. Тогда соответствующие интеграль­ ные подстановки Ѵ'і, Ѵі,..., Ѵт принадлежат некоторой окрест­ ности системы единичных матриц и введенные им так называемые «показательные подстановки» (нормированных матриц У&(х) в особой точке ßj) матрицы Wj, связанные с Vj соотношениями

являются голоморфными1 функциями подстановок U1, Ui,..., Um в указанной окрестности.

Тогда полная аналитическая характеристика особенностей регулярной нормированной матрицы дается теоремой 4: если подстановки Uj находятся в окрестности нулевых матриц, то регулярная матрица Уь(х), нормированная в точке b и имеющая в точках а\, а2...... ат в качестве дифференциальных подстано­ вок Uj, может быть представлена в виде

( 16. 28)

1 В окрестности нулевых матриц они будут мероморфными функциями.

391

не существует других подстановок Wj, обладающих указанным свойством и отличных от суммы ряда (16.27).

Это представление вскрыло характер зависимости матрицы решений не только от аргумента, но и от коэффициентов систе­ мы и от конфигурации особых точек. Затем было показано, что матрицы Wu W2, ..., Wm вполне определялись с помощью усло­ вий теоремы; они давали полную аналитическую характеристику регулярной нормированной матрицы (16.25) в точках а\, а2, ... ,ат. После этого доказывается (теорема 5), что если дифференциаль­

й ( С ) ф 0, находятся в окрестности нулевых матриц, то сущест­ вует одна и только одна система показательных подстановок W\, W2, ..., Wm, обладающая тем свойством, что имеет место представление

остаются голоморфными в точке х = а}.

Большой интерес представляли понятия метаканонической матрицы ® і ( х ) и метаканонических показательных подстановок, на основе которых строилась регулярная матрица, не содержа­ щая параметра точки нормирования b [66.6, 11].

Вышеуказанные задачи исследованы и в случае бесконечно удаленной точки. Существенные дополнения к теории регуляр­ ных систем (16.22) содержались в [38.2] и следующих мемуарах.

В этом же мемуаре и соответственно в статье четвертой [38. 6] и в ряде последующих в широком аспекте изучается обрат­ ная задача, состоящая в выражении матриц Uu U2, ..., Um в виде рядов композиций матриц Wu ..., Wm и представлении затем

матриц Yb(x), Ѳз(х), [0j(x)]_1 как функций показательных под­ становок W\,..., Wm, если эти подстановки принадлежат некото­ рой окрестности нулевых матриц. Задача решалась способом обращения найденных ранее рядов, представляющих показатель-

392

ные подстановки W3 матрицы Yb(x), как функций дифференци­ альных подстановок Um, и сходящихся, если Uj близки к нулевой матрице. Ранее было показано, что для каждой особой точки х = а 3 существует единственная подстановка Н3 такая, что система (16.22) имеет интегральную матрицу вида

Полученный теперь основной результат для обратной задачи записывался в форме ряда

x R hJ aj V. . a. ki\ b) Rh2(a.k^ . . . a ^ \ b ) . . .

Ряды (16.32) представляли голоморфные функции подстановок Wi,..., Wm в окрестности нулевых подстановок и обозначались через Uj(b), так как их коэффициенты зависели от точки норми­ рования Ь. Если подставить выражения (16.32) в ряд (16.25) и воспользоваться теоремой о подстановке рядов, то можно полу­ чить для интегральной нормированной матрицы выражение в виде рядя композиции по покязятельным мзтрицям.

Далее следовало изучить матрицы U3 как функции от матриц Wj и представить их во всей области существования '. Эта зада-1

1 В этом и заключалось полное решение проблемы Римана.

393

ча была решена Лаппо-Данилевским для случая системы Гаусса.

Втой же работе [38.6] было получено интересное заключе­ ние о том, что регулярные интегральные матрицы можно рас­ сматривать или как функции их дифференциальных подстано­ вок, или как функции их показательных подстановок. Указан­ ные две точки зрения приводят к соответствующим соотноше­ ниям.

Вфундаментальной работе [38.3], которой соответствует в

[38.6] статья пятая, рассматривался и решался тот же круг про­ блем, что и для регулярных систем (16.22), но для систем диф­ ференциальных уравнений более общего вида — с произвольны­ ми рациональными коэффициентами, которые соответствующим преобразованием независимой переменной могли быть приведе­ ны к виду

параметры сц, определяющие конфигурацию особых точек на ко­ нечном расстоянии, не зависят от х. Интегральная матрица Y(х) системы (16.34) называлась матрицей рационального определе­ ния ранга (s—1) с дифференциальными подстановками С//1),..., UjW в особых точках а/(/ = 1, 2......т). Матрица рационального определения ранга нуль была, очевидно, регулярной. Как и в предыдущих работах, здесь четко сформулированы подлежащие решению проблемы и дана их исчерпывающая трактовка.

определяются U\, U2 в виде ряда по заданным показательным подстановкам Wі и W%, которые считаются не лежащими в окре­ стности нулевой матрицы. Из явного решения задачи выясня­ ется и подробно исследуется характер многозначности зависи­ мости U1, U2 от Wu W2.

Вышеизложенный круг решенных Лаппо-Данилевским про­ блем и указанные здесь результаты, далеко не исчерпывающие всех его достижений, дают представление о том огромном вкла­ де, который он внес в математическую науку нашего века. Зна­ чение полученных им резулвтатов, особенно создание нового аппарата функций от многих матриц и построенных методов, трудно переоценить. Оно вполне сравнимо с результатами и зна­ чением работ самых крупных математиков прошлого века.

После работ Лаппо-Данилевского намечается новый взлет и новое оживление в аналитической теории линейных дифферен­

394

циальных уравнений. Эпицентр ее дальнейшего развития пере­ мещается, естественно, в то место, где зародились новые идеи и была построена новая столь плодотворная теория. В Ленинград­ ской математической школе, такой богатой научными традиция­ ми, появилось новое, довольно мощное научное направление, у истоков которого стоял замечательный ученый и педагог, акаде­ мик В. И. Смирнов. Лучшие ученики и сотрудники более позд­ ней генерации — Н. Е. Кочин, Н. П. Еругин, Б. Л. Крылов,

.Л. М. Шифнер и др.— подхватили эстафету и, применяя методы Лаппо-Данилевского, получили ряд новых, очень важных резуль­ татов. Хотя обзор этих работ и не входит в нашу задачу, мы все же кратко напомним о некоторых дальнейших достижениях в этой области, в том числе и по изучаемой в данном параграфе проблеме.

Здесь прежде всего следует отметить существенное продви­ жение в ряде фундаментальных вопросов другого талантливого ученика В. И. Смирнова, активного участника ленинградского семинара по разработке идей Лаппо-Данилевского, академика АН БССР Н. П. Ёругина (НО). Если иметь в виду систему

строил матрицу показательных подстановок W в виде ряда ком­ позиций от матриц Pk, сходящегося в окрестности нулевых зна­ чений Ри. Этим самым была решена проблема Пуанкаре о пред­ ставлении W как функции Ри в случае нулевой иррегулярной особой точки. Аналогичная проблема для случая произвольной иррегулярной особой точки оставалась нерешенной. Не были разъяснены и особенности показательных подстановок. Но уже в середине 30-х годов Н. П. Еругин [25.1.—2] построил в явном виде, опираясь на идеи и методы Лаппо-Данилевского, общее (генеральное) представление W, т. е. при всех значениях матриц Рк, а не только при малых. Было также доказано, что W в общем случае (в отличие от рассмотренного Лаппо-Данилевским) бу­ дет уже бесконечнсзначной функцией от матриц Рк- Таким об­ разом, была решена проблема Пуанкаре для иррегулярной осо­

были просуммированы ряды композиций для У, V, W.

395

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели, опираясь на значительный фактический материал, историю различных ветвей анализа, совокупность ко­ торых объединяется понятием аналитической теории дифферен­ циальных уравнений. К концу прошлого и началу нынешнего века наряду с другими новыми течениями она заняла одно из центральных мест в общем потоке математических исследований.

Рассматриваемая теория развивалась в тесном контакте и на основе теории функций комплексного переменного. Эта ее особенность обусловила и широкий простор для исследований,

иполучение более общих результатов, и новые применения как

вдругих отраслях науки, так и в различных прикладных вопро­ сах, и, наконец, приток свежих творческих сил для решения но­ вых назревших, более интересных и сложных задач. Уже в конце XVIII века ощущалась ограниченность теории функций дейст­ вительных величин в одномерной области. И дальнейший пере­ ход к двумерной области комплексного переменного был суще­ ственным продвижением и качественным скачком, когда были вскрыты более глубокие закономерности, найдены новые важ­ ные связи и взаимоотношения, ответы на многие неясные ранее вопросы в действительной области. На фоне этого аналитиче­

ская теория дифференциальных уравнений может быть рассмот­ рена в определенном смысле как дальнейшая более высокая сту­ пень абстракции по сравнению с тем, что имелось в классиче­ ской теории раньше. При этом наблюдалось весьма характерное явление, состоящее в том, что проходило более глубокое измене­ ние самого предмета исследования, а не только методов послед­ него. Этому способствовало и то, что были сформулированы и доказаны теоремы существования 1 решений (в форме аналити­ ческих функций) дифференциальных уравнений, в которых мы

1 Н. Бурбаки [11, 36] отмечает центральную роль, которую сыграло по­ нятие «существование» в различных философско-математических построениях в начале нашего века.

397

видим истоки новой теории. Дальнейший шаг состоял в исследо­ вании тех случаев, когда метод Коши оказывался недостаточ­ ным. При этом выявлены случаи, когда и новый подход к реше­ нию задачи не был особенно эффективным, в частности при на­ личии в интегралах уравнений существенно особых точек. Таким образом, пришлось далее отказаться от локальной точки зре­ ния, которая была еще характерна для трактата Форсайта и мно­ гих других современных ему работ, и соответственно расширить область исследования и перейти к изучению трансцендентных особенностей, расположенных во всей комплексной области, в том числе и на бесконечности. При этом оказалось, что анали­

задачи и новый подход к изучению интегралов в расширенной плоскости комплексного переменного стимулировали развитие асимптотических и качественных методов и ряда других смеж­ ных дисциплин. Этот фактор является одним из важнейших ре­ зультатов развития рассматриваемой теории. Именно аналити­ ческая теория дифференциальных уравнений в идейном смысле послужила основой создания качественных методов исследова­ ния и качественной теории дифференциальных уравнений. По­ строение основ этой теории является заслугой А. Н. Ляпунова и А. Пуанкаре. Ляпунов поставил и в очень широком классе слу­ чаев с полной строгостью разрешил одну из важнейших задач этой теории — об устойчивости движения. Пуанкаре поставил общую задачу качественного исследования дифференциальных уравнений и их систем. Интенсивное развитие теории устойчи­ вости движения проводилось затем в работах многих советских и зарубежных математиков.

Широко развивалась также и общая качественная теория дифференциальных уравнений в исследованиях главным образом Коттона, Перрона, Биркгоффа, Дюляка, Бендиксона, Брауэра, Кунина, а позже В. В. Степанова, В. В. Немыцкого, А. Я. Хинчина и многих других. Основы применения ее к колебательным явлениям физики стали разрабатываться с 1926 г. под руковод­ ством А. А. Андропова, возглавившего Горьковскую математиче­ скую школу.

В тесной связи с развитием качественных методов в анализе находилось зарождение и дальнейшее совершенствование ана­ логичных методов в геометрии. Мы имеем в виду топологию, творцом которой как новой области математики был Пуанкаре. Он рассматривал топологию как мощный инструмент для реше­ ния фундаментальных проблем, возникающих в теории функций комплексного переменного, в теории дифференциальных урав­ нений и в самой геометрии. Вместе с этим был открыт для мате­ матики и целый мир новых качественных проблем, по своему существу недоступный, как отметил П. С. Александров, не толь­

398

ко методам, но и самому мировоззрению классической матема­ тики, в центре внимания которой была формула и вычисление. Здесь же открывалась возможность не только применять новые методы исследования, но и, что особенно важно, новым спосо­ бом рассматривать предмет. Качественная теория дифференци­ альных уравнений, как и собственно топологические работы Пу­ анкаре, свидетельствует о том, как совершенно по-новому он, выдающийся представитель классической математики, умел под­

ряд фундаментальных результатов в аналитической теории диф­ ференциальных уравнений. Весьма вероятно, что заметив плодо­ творность новых принципов в анализе, Пуанкаре решил распро­ странить их и в область геометрии.

В исследованиях гипергеометрической функции, как упоми­ налось ранее, существенное место занимал вопрос о распределе­ нии ее корней. Выработанные здесь методы и найденные резуль­ таты в определенной степени содействовали развитию и реше­ нию известной проблемы Рауса—Гурвица, поставленной для од­ ного частного случая Максвеллом в 1868 г. Существенный вклад в решение этой проблемы внесли Раус (1877 г.), Гурвиц (1895 г.) и другие математики.

Различные аспекты этой проблемы и ее обобщения для слу­ чая целых трансцендентных функций изложены в известной монографии Н. Г. Чеботарева и Н. Н. Меймана.

В тесной связи с аналитической теорией дифференциальных уравнений, как и с теорией функций комплексного переменного, находится операционное исчисление, истоки которого восходят еще к идеям Лейбница и его ближайших последователей. Здесь широко используется метод отображения и другие, имевшие мес­ то в указанных нами теориях.

Освязи аналитической теории дифференциальных уравнений

иалгебры у нас шла речь в гл. XIII и ряде других мест.

Ярким примером применения методов аналитической теории дифференциальных уравнений к решению классической задачи механики — о движении тяжелого твердого тела около непо­ движной точки — была известная работа С. В. Ковалевской [29.2]. По-видимому здесь впервые столь четко были привлече­ ны идеи теории аналитических функций к решению механиче­ ской задачи. Кроме того, как отметил В. В. Голубев, и сама за­ дача интегрирования уравнения получила совершенно новую и оригинальную постановку, характерную для аналитической тео­ рии дифференциальных уравнений. Как весьма замечательный факт отметим обобщение области разложения функции на всю комплексную плоскость переменного t, впервые примененное в задаче Ковалевской и представляющее собой замечательное чисто математическое обобщение первоначальной механической задачи, весьма характерное вообще для применений методов со­

399