книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

ваемого круга вопросов представляло фундаментальное сочине­ ние [239] Прима и Роста, трактовавшее о развитии некоторых вопросов римановой теории функции.

Несколько позже, с 1915 г., вопросами, близко связанными с проблемой Римана, стал заниматься Хаупт. В большой статье [170.1] он сперва исследует связь доказательства существования для функций Прима первого порядка с новейшими результатами Гильберта и Вейля относительно принципа Дирихле. Здесь же он сообщил о доказательстве существования и однозначности для функций Прима п-го порядка, найденном новым путем в 1920 г. Затем исследование было продолжено в направлении идей Прима и Роста о связи проблемы Римана с соответствую­ щими краевыми задачами.

Цикл работ, трактующих решение задачи Римана и смежные с ней вопросы, принадлежат Гарнье. Эта проблема неоднократно привлекала его внимание с 1910 по 1957 год. В одной из первых работ данного цикла [157.1] автор показывает связь проблемы Римана с исследованиями Фукса 90-х годов по линейным урав­ нениям и с теорией нелинейных уравнений второго порядка с неподвижными критическими точками. Его метод является все же лишь обобщением способа, примененного Р. Фуксом для слу­ чая четырех существенно особых точек.

Последующие статьи Гарнье в этом направлении теснейшим образом связаны с его работами по нелинейным уравнениям второго и третьего порядка с неподвижными критическими точка­ ми. Так, уже в 1912 г. во второй части монографии [157.2] реша­ лась одна важная задача для уравнения второго порядка в свя­ зи с проблемой Римана, а в третьей — рассматривалась связь обобщенного уравнения Р. Фукса (еп) с шестым уравнением Пенлеве (см. гл. IX, §2). В процессе дальнейших исследований Гарнье получил ряд важных результатов, в том числе и решение проблемы Римана для частного случая уравнения (е„). Полез­ ной в этом направлении была и его большая статья [157.3], где исследовалось поведение интеграла шестого уравнения Пенлеве в окрестности особых точек 0 и 1 посредством метода последо­ вательных приближений. Обобщение полученных результатов Гарнье в различных направлениях находим затем в его работах [157.4—5] и др. Так, во второй из указанных работ он решал новым способом проблему Римана для линейного дифференци­ ального уравнения второго порядка с п + 3 особыми регулярны­ ми точками: 0, 1, оо, t\, t2...... tn и п особыми по виду точками Аі,..., Хп- Для случая п= 1 она была им решена уже ранее. По­ дробно его результаты изложены в большой статье [157.4]. Не имея возможности входить в разбор довольно сложных и порой несколько запутанных выкладок автора, отметим, что основная ее часть была посвящена обсуждению решений некоторой систе­ мы ( g n , G n ) уравнений с частными производными второго поряд­ ка (соответствующей (/„, Fn) в его диссертации [157.2]) с не-

380

подвижными критическими точками. Эти решения определяли и коэффициенты основного изучаемого уравнения (еп). В процес­ се этого Гарнье пользовался весьма эффективно методом после­ довательных приближений и получал решения Gn в некоторой области, подчиняя их определенным начальным и граничным условиям. Полученные теоремы давали возможность изучить общее решение (gn, Gn) в некоторой области R.

Применение к собственно римановой проблеме дается в по­ следней (пятой) части сочинения. При заданной группе монодро-

мии Gn можно установить систему (gn, Gn). Тогда дифференци­ альное уравнение второго порядка (еп) имеет группу, заведомо независимую от U. Выбором решений (gn, Gn) можно так распо­

рядиться, что они будут идентичны с Gn. Устремляя затем U к нулю, удается перейти от (е„) к (е„_і), т. е. к уравнению, име­ ющему на одну особую точку меньше, и соответственно к систе­

ме (gn-и Gn-i), которой проблема Римана для группы G„-i решена1. (Риманом было дано решение в случае п = 0 — для известной P -функции). Распространение полученных результа­ тов для линейных систем S„, в случае порядка m^s2 было пред­ ложено Гарнье в статье [157.6] (1956 г.). Здесь показано, что на основании изучения решений так называемой предельной системы 2 с неподвижными критическими точками можно полу­ чить решение задачи Римана, пользуясь тем же методом после­ довательных приближений, который применялся для той же це­ ли в упоминаемых выше работах Биркгофа, Племеля, а потом и Гарнье.

§ 4. Алгорифмический метод решения основных проблем аналитической теории линейных дифференциальных уравнений (И. А. Лаппо-Данилевский)

Введение алгорифмического метода для решения основных проблем аналитической теории линейных уравнений знаменова­ ло весьма существенный и большой качественный скачок в ходе ее развития. После фундаментальных открытий в этой области в конце 60-х, начале 80-х и в конце 90-х годов прошлого века, в начале нынешнего века стало заметным уменьшение интенсив­ ности новых работ, хотя временами и появлялись новые вспыш­ ки. Несколько уменьшился и всеобщий интерес к этой теории, когда часть математиков переключила свое внимание на другие предметы и решение прикладных вопросов. Здесь, как и в нели­ нейной теории, казались уже исчерпанными старые методы и появилась необходимость создания какого-то существенно ново­ го метода, качественно отличного от предыдущих и такого, кото­

1 Как отметил Гарнье, этот метод не может быть применим к груп­

пе Go.

381

рый дал бы возможность значительно продвинуться вперед, осветить нерешенные или еще не вполне решенные вопросы по новому и содействовать их решению, оживить всю теорию и создать тем самым перспективы ее дальнейшего раз­

вития.

К такому поворотному пункту, к новому взлету аналитичес­ кой теории привели работы ученика В. И. Смирнова, талантли­ вого ленинградского математика И. А. Лаппо-Данилевского

(109).

Его исследования, явившиеся крупным явлением в мировой литературе по данному вопросу, могут быть рассмотрены как завершающие определенный, рассмотренный нами весьма интен­ сивный этап развития аналитической теории линейных уравне­ ний; они вносили в уже известные вопросы полную ясность и законченность.

Вышесказанное, естественно, не следует понимать в том смысле, что методы Лаппо-Данилевского были созданы на пус­ том месте. Наоборот, все предыдущее развитие теории и послед­ ние результаты в узком, рассматриваемом сейчас нами вопросе о проблеме Римана, было в известной степени подготовкой, таи­ ло в себе зародыш новой теории, способствовало ее рождению. Как на конкретные факты в этом отношении укажем на созда­ ние метода матричного исчисления и применение его в теории линейных уравнений в работах Шлезингера, на освоение опера­ ций с бесконечными определителями в работах Коха и других, на постановку общих проблем, для полного решения которых предыдущие методы не давали уже должного эффекта. А полу­ ченные порой неполные решения этих проблем, кроме аналити­ ческой виртуозности авторов, требовали привлечения или заим­ ствования результатов из смежных теорий, отличающихся по своей природе и основные понятия которых не были традиционны для данной теории.

Однако непосредственного прототипа новой теории не было. Для ее создания следовало обладать, помимо глубоких знаний и широкой образованности, еще выдающимся талантом и боль­ шими аналитическими способностями. Ведь для решения ниже рассматриваемых задач Лаппо-Данилевским была создана по существу новая ветвь анализа, в основу которой положено поня­ тие функциональной зависимости в области матриц. Как сам он отмечал, некоторый намек на теорию функций матриц можно встретить у Вейра (1887 г.), имея, очевидно, в виду заметку по­ следнего [276]. Здесь рассматривались гиперкомплексные вели­ чины

комплексные числа. После определения правил действий изучается

382

плексную величину тогда и только тогда, когда корни уравнения (16.14), в котором X рассматривается как обыкновенное ком­ плексное число, принадлежат области сходимости степенного ря-

СО

Да Х а ѵ£ѵ- При выполнении этих условий величины, определяе- 1

мые рядами вида (16.12), могли быть непосредственно записаны

— СО

образом, по существу здесь изучались степенные ряды от одной переменной матрицы с точки зрения представления ими гипер­ комплексных чисел и давались условия их сходимости.

Мы указывали на применение матричного исчисления в ра­ ботах Шлезингера. В его курсе [254. 12] системы двух линейных уравнений (глава V) довольно систематично рассматриваются на основе этого исчисления, в частности исследуются интегралматрицы, даются их представления в области изолированной осо­ бой точки и т. п. Здесь же (§ 39) рассматривался степенной ряд

представляющий функцию eR, где R — матрица из четырех эле­ ментов, т. е. функцию от матрицы. Однако он не пошел дальше использования нового аппарата для упрощения выкладок в из­ вестных уже положениях аналитической теории линейных урав­ нений. Понятие о функции одной переменной матрицы рассма­ тривали также Картан, Джорджи, Марти и др.

Указанные и им подобные исследования трудно назвать даже началом теории аналитических функций от матриц, ибо в основе

383

новой теории лежал не ряд степеней одной переменной матрицы, а ряд композиций нескольких переменных матриц. И только в последнем случае могла быть отражена характернейшая особен­ ность нового исчисления, а именно: некоммутативность компози­ ции, соответствующей умножению В случае коммутативности композиций таблиц (матриц) указанные далее прямые и обрат­ ные задачи теории допускали бы совершенно элементарное решение в конечном виде. Последний случай был рассмотрен Лаппо-Данилевским, давшим соответственные формулы этих конечных решений. Построенный им новый аппарат теории ана­ литических функций матриц может быть рассмотрен как об­ общение известной теории функций комплексного переменного Вейерштрасса. Подобно тому, как в обычной теории функций значениями аргументов и функций были числа, в новой теории такими значениями являются матрицы. Степенному ряду чис­ ленных аргументов здесь соответствует ряд композиций аргумен­ тов-матриц, определяющий аналитическую голоморфную функ­ цию этих матриц в области его сходимости. Были даны основные положения исчисления таких рядов композиций, рассмотрен во­ прос о подстановке ряда в ряд и об обращении рядов.

При помощи построенного метода автор исследовал — и это была общая задача всех его работ — функции, удовлетворяю­ щие системе линейных дифференциальных уравнений с рацио­ нальными коэффициентами. Этот обширный класс функций, за­ ключающий в себе также все алгебраические функции, в общей градации аналитических функций следовал непосредственно за классом рациональных функций. Это обусловливало фундамен­ тальное значение функций указанного класса как в теоретиче­ ской, так и в прикладной математике.

Ввиду обширности материала, большого аналитического ап­ парата и множества аспектов, по которым шли исследования Лаппо-Данилевского, и в связи с ограниченностью нашего очер­ ка здесь не представляется возможным дать сколько-нибудь ис­ черпывающий обзор этих работ. К тому же имеется их новое издание как на французском языке [38.5], так и на русском [38.6] с замечательной вводной статьей акад. В. И. Смирнова [66.6] и речью И. А. Лаппо-Данилевского при защите им док­ торской диссертации, где были изложены полученные резуль­ таты. Это в известной степени облегчает нашу работу, в которой мы рассмотрим лишь основные идеи его исследований.

Общей теорией функций, определяемых дифференциальными уравнениями с рациональными коэффициентами, И. А. ЛаппоДанилевский начал заниматься с 1927 г. и все свои фундамен­ тальные труды создал в ближайшие 3—4 года. Главные его ре­ зультаты были сообщены в 1927—1931 гг. в докладах Парижской1

1 Поэтому новую теорию нельзя было трактовать как простое формаль­ ное обобщение теории функций одной переменной матрицы.

384

(16.16). Очевидно, что они характеризуют многозначность взято­ го решения. Но последнее в особых точках щ может иметь и одно­ значную существенную особенность. В выражении решения уравнения (16.16), построенном Пуанкаре

указанная особенность должна была заключаться в множителе

а

е х~ а, но ряд, входящий в выражение (16.18), будет вообще го­ воря расходящимся и при помощи его можно лишь изучить пове­ дение некоторого у, когда х стремится к а по определенному на­ правлению или в некотором секторе. Таким образом, это выра­ жение не представит точной характеристики разветвления или существенной особенности решения вблизи особой точки.

В связи с этим встала проблема для уравнения вида (16.16) или для системы линейных уравнений первого порядка, т. е. при данной конфигурации особых точек и матрице коэффициентов системы, построить такое аналитическое выражение, которое представляло бы указанные решения во всей области их суще­ ствования на плоскости аргумента и выявляло бы характер их зависимости от коэффициентов системы и конфигурации ее осо­ бых точек. Это так называемая основная прямая проблема. Но здесь возникает и вторая задача—-указать полную аналитичес­ кую характеристику особенностей решений в каждой особой точке уравнения или системы. Частным ее случаем является по­ строение явных аналитических выражений для матриц, произ­ водящих группу монодромии. Кроме того, напомним, что Пуан­ каре поставил задачу об исследовании группы уравнения от параметров, входящих в его коэффициенты. Анализ прямых за­ дач сводился в существенной части к исследованию зависимости матрицы решений, матриц, производящих группу монодромии, и так называемых характеристических матриц в каждой особой точке, связанных со второй задачей, от матриц коэффициентов данной системы уравнений. Задача вторая впервые четко сфор­ мулирована Лаппо-Данилевским.

К указанным прямым проблемам, которые до Лаппо-Дани- левского полностью не были решены, следует добавить еще и основную обратную проблему, поставленную Риманом, где речь шла о построении дифференциального уравнения по заданной группе монодромии и при заданных особых точках. Она рассма­ тривалась Лаппо-Данилевским в более общей форме как задача о построении матрицы функций рассматриваемого класса, имею­ щей особенности данного типа в данных точках, и о восстанов­ лении системы линейных дифференциальных уравнений с рацио­ нальными коэффициентами, которой эта матрица удовлетворя­ ет. Решение классической задачи сводилось к исследованию

386

тельности' матриц, что имело применение в теории бесконечных систем дифференциальных уравнений.

Степенные ряды могут строиться как по степеням матриц X, так и по степеням (X—А), где А — постоянная матрица, в слу­ чае функции от одной матрицы, а также для случая нескольких матриц и для случая счетного множества матриц. Рассматрива­ ются операции со степенными рядами от счетного множества матриц. Аппарат степенных рядов от матриц и построенные на его основании представления функций играют основную роль во всем изложении теории систем линейных дифференциальных уравнений.

Если, применяя аппарат функций от матриц для решения какой-либо задачи этой теории, можно было выразить искомую величину в форме сходящегося ряда, коэффициенты которого последовательно вычислялись, то по Лаппо-Данилевскому счи­ талось, что решение задачи доведено до конца, и оно называлось алгорифмичбским.

Построенный метод прилагался, прежде всего, к решению прямых задач. Впрочем, уже в 1927 г. И. А. Лаппо-Данилевский сообщил об алгорифмическом решении как проблемы Пуанка­

ре, так и проблемы Римана.

При этом рассматривалась так называемая регулярная си­ стема уравнений с рациональными коэффициентами

Фундаментальная интегральная матрица системы (16.22) назы­ вается потом регулярной интегральной матрицей.

Задачу Пуанкаре Лаппо-Данилевский расчленяет на следу­ ющие три: а) представление регулярной матрицы Y(х) по всей области ее существования; в) построение интегральных подста­ новок в точках ау с) полная аналитическая характеристика осо­ бенностей регулярной матрицы, относящаяся не только к ветвле­ нию, но и к однозначным особенностям. Как известно, задача в) впервые рассмотрена Пуанкаре [237.9]. Он показал, что эле­ менты группы монодромии системы (16.22) есть целые функции коэффициентов, но не дал , однако, явного выражения этих функций. Исследования Пуанкаре, как и работа Миттаг-Леф- флера [218.2], касались скорее определения инвариантов групп линейных уравнений, коэффициенты которых,— алгебраические (Пуанкаре) или однозначные аналитические функции с конеч­ ным числом особых точек в ограниченной области комплексной переменной (Миттаг-Леффлер).

Лаппо-Данилевский установил явные аналитические выраже­ ния элементов интегральных подстановок (Vj)ы, откуда стано-

388

При алгорифмическом решении задачи Пуанкаре была введе­ на система функций комплексного переменного х, названная

Гиперлогарифм можно рассматривать по Лаппо-Данилевскому как однозначную функцию на универсальной поверхности нало­ жения с точками разветвления а\, а2, ..., ат, оо логарифмическо­ го типа. Функции (16.23) будут однозначны на плоскости с непересекающимися разрезами (аи °°); (а2, ос);...; (ат, °°). Из рекуррентных соотношений (16.23) можно получить разложение гиперлогарифма по степеням (х—Ь) внутри круга с центром Ь и радиусом, равным наименьшему из расстояний от точки b до точек а\, а2, ..., ат- Фиксируя точку Ь на одном из листов и обо­ значая через о длину пути (Ьх) на поверхности S (аь а2, ..., ат, оо), соединяющего точки b и х, и через 6 — минимальное рас­ стояние от этого пути до точек аи а2, ..., ат, можно получить оче­ видные оценки

|L ,K r ..« JvU ) |< i ( £ - ) v.

Если обозначить через Ь} точку с комплексной координатой Ь, которая расположена на другом листе поверхности ©(ßi, а2, ...

..., От, оо) и которая получается при обходе в положительном направлении точки а,, пересекающем только один раз только один разрез, то значения гиперлогарифмов в точке bj, представ­ ляемые интегралами

называются параметрами конфигурации точек О], а2, ..., ат. Если регулярная матрица в точке b обращается в единичную матри­ цу, то она называется нормированной в точке Ь.

1 Функции такого вида упоминались в указанной работе Пуанкаре.

389