книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а XVI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛБНОГО УРАВНЕНИЯ

ПО ЗАДАННЫМ СВОЙСТВАМ (ПРОБЛЕМА РИМАНА)

§1. Постановка вопроса у Римана

ипервые подходы к его решению

Проблема Римана, состоящая в установлении линейного диф­ ференциального уравнения фуксова типа по заданным особым точкам и группе монодромии, являлась одной из центральных в анализе на протяжении последнего столетия. Решению ее в различных аспектах, а также рассмотрению других, примыкаю­ щих сюда вопросов, уделяли внимание многие математики в конце прошлого и особенно в текущем столетии. Мы можем оценить сейчас творческую проницательность Д. Гильберта, сформулировавшего на рубеже двух столетий в своем замеча­ тельном докладе [173.1] на втором международном конгрессе математиков некоторые основные проблемы математики, ожи­ давшие решения в то время. Среди других как одна из наиболее фундаментальных в теории линейных дифференциальных урав­ нений с одним аргументом под №21 и была указана задача об определении п функций от одной переменной г, регулярных во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, за­ данных особых точек, в которых функции могли иметь полюсы только конечного порядка, причем при обходе переменной z во­ круг указанных точек эти функции подвергались линейной под­ становке.

Истоки названной проблемы находятся в трудах Римана. От­ носящиеся сюда идеи для частного случая гипергеометрического уравнения изложены в его лекциях, о чем уже было сказано. Продолжением и обобщением их можно считать материал изве­ стного фрагмента [246.4], датированного автором 20 февраля 1857 г. Первая часть рукописи (до заголовка «Определение фор­ мы дифференциального уравнения»), как сообщал Вебер, имела отредактированный вид, а потом шли отрывочные записи по дальнейшему развитию мыслей. Эта часть работы была восста­ новлена Вебером с дальнейшими поправками (во втором немец­ ком издании) Гильберта. В лекциях Клейна [192.11] отмечается всеобщее изумление, вызванное публикацией этой работы через десять лет после смерти автора. К этому времени, как известно, была в основном построена Л. Фуксом аналитическая теория ли-

кейных уравнений, исходным пунктом которой служили сами уравнения. Риман же исходит из характеристики исследуемых функций их поведением около особых точек и приходит к диф­ ференциальному уравнению уже в итоге исследования, т. е. при­ меняет и в общем случае тот метод, который был им использо­ ван в лекциях о гипергеометрическом ряде.

В упоминаемом фрагменте Риман ставит следующую задачу. Он рассматривает регулярные во всей комплексной плоскости (за исклю­

дит в ^ G \k)yr Затем для краткости система значений уѵ у2, ..., уп

чений1 рассматриваемых функций. Система п функций, обладающих указанными свойствами, обозначается через

Далее следует определение важнейшего понятия — класса, объединяющего все те системы, для которых точки ветвления и соответствующие подстановки одни и те же и обладающие свой­ ством (16.2).

Таким образом, для рассматриваемого семейства функций здесь была построена, по более поздней терминологии, группа монодромии. Исходя из заданных преобразований этой группы, автор изучает свойства рассматриваемого семейства функций,

1 Очевидно, ее лучше было бы обозначить через (1) — В. Д.

372

имея конечной целью построить дифференциальное уравнение, для которого все функции семейства были бы решениями. Предполагая, что функции у «нигде не обращаются в бесконеч­ ность бесконечно большого порядка» [246.4, 179], Риман уста­ навливает теорему: для любых я + 1 систем, принадлежащих одному классу, существует линейное однородное соотношение с коэффициентами, являющимися целыми функциями от х. Отме­ чая с этой целью различные величины в указанных п+1 систе­ мах верхними индексами и допуская, что между ними имеют

место я соотношений

П

(16.4)

он делает заключение, что величины а0, а ь ..., а» пропорцио­ нальны некоторым определителям, которые в рассматриваемых особых точках не могут обращаться в бесконечность бесконечно большого порядка, а значит, разлагаются по степеням (х—а), возрастающим на 1, начиная с некоторого числа. Отсюда следо­ вало, что и величины а0, щ ,..., ап относились как целые функ­ ции и могли быть заменены такими в уравнениях (16.4).

Далее легко найти как следствие, что производные функций Уи У2, ..., Уп по X образуют систему, принадлежащую тому же классу. Из вышеуказанной теории и последнего замечания дела­ лось заключение, что «функции у, образующие систему, удовле­ творяют дифференциальному уравнению я-го порядка, коэффи­ циенты которого — целые (рациональные) функции от х» и что «каждая система, принадлежащая тому же классу, выражается линейно, с рациональными коэффициентами, через эти функции и их производные до (я—1)-го порядка» [246.4, 181]. Риман по­ том отметил, что последнее следствие позволяет установить об­ щий вид системы данного класса, откуда видно, что число всех таких систем бесконечно. При этом вопрос о существовании ука­ занных дифференциальных уравнений приводился к последова­ тельному подсчету констант 1 в общих решениях в соответствии с заданными условиями. Ближайшая задача строящейся на но­ вых принципах теории линейных дифференциальных уравнений, о которой шла речь в начале второй части фрагмента, состояла в разыскании простейших систем каждого класса. Здесь приво­ дился ряд интересных соображений, в частности, относительно уравнений класса Фукса, но в целом работа осталась незакон­

373

которые вели бы себя так, как это требуется в его работе (108). На этой почве и выросла знаменитая проблема Римана. Самим Риманом она была разрешена для случая гипергеометрического уравнения в [246.3], где указана явным образом фундаменталь­ ная система, обладающая нужными свойствами. О том, как он предполагал решать эту задачу в общем случае, указаний не осталось. Возможно, что в силу недостаточно еще развитой в то время теории дифференциальных уравнений и других смежных дисциплин, Риман не видел еще всех трудностей доказательства существования. Но не лишено оснований и предположение, что он эти трудности осознавал и, оставаясь в этом отношении прин­ ципиально самокритичным, не спешил публиковать уже созрев­ шие фундаментальные идеи, обрекая их тем самым на много­ летнюю бесплодность. Насколько идеи Римана опережали свое время, говорит и тот факт, что предпосылки и вспомогательный материал для исследования его проблемы созрели еще несколь­ ко позже, а вопрос о ее решении встал на порядок дня лишь в последнее десятилетие прошлого века и был с достаточной стро­ гостью рассмотрен в различных вариантах только в начале на­ шего века, когда вспомогательные теории были достаточно раз­ виты. Напомним в этой связи теорию фуксовых функций, идеи униформизации, теорию интегральных уравнений. Если срав­ нить развитие рассматриваемых нами вопросов в последние три десятилетия прошлого века с анализом работ Римана, то можно отметить, что во многом это развитие шло в том направлении, как это предугадывалось в его работах. Напомним здесь о рас­ сматриваемых им задачах обращения, о большой униформизирующей силе, которую он признавал за модуль-функциями и т. д.

Важной вехой на пути решения рассматриваемой проблемы были работы Пуанкаре начала 80-х годов прошлого века об ин­ теграции линейных уравнений и о зета-фуксовых функциях и рядах. Здесь особо следует отметить его мемуар [237.10], где изучалась система решений линейного дифференциального урав­ нения п-го порядка, коэффициенты которого принадлежали дан­ ной алгебраической области как однозначные функции введен­ ной автором функции зета (£) при определенных предположени­ ях относительно особых точек уравнения. Было установлено, что каждой подстановке группы Г дробно-линейных подстановок £ однозначно соответствует линейная подстановка группы монодромии данного дифференциального уравнения. Эта связь была всесторонне изучена в зависимости от характера подстановок группы Г. Несколько раньше в [237.7] аналогичная идея была использована Пуанкаре для доказательства существования бес­ конечно многих линейных дифференциальных уравнений (обла­ дающих алгебраическими интегралами с рациональными коэф­ фициентами), с заданными особыми точками и с указанной группой монодромии для случая, когда она была конечна.

374

Исходя из точной формулировки проблемы Римана в лекци­ ях Клейна [192.8], в большой посмертной статье [248] Е. Риттер указывал на возможность провести в общем случае требуемое доказательство существования постулируемой во фрагменте Ри­ мана системы функций при помощи зета-рядов Пуанкаре. Но при этом не было сделано замечания о необходимых ограничениях для верности подобного доказательства. Риттер ввел здесь одно­ родные переменные, рассматривая вместо семейства функций семейства форм, и говорил о существовании таких семейств форм для любой заданной.группы, в то время как зета-фуксовы ряды сходятся только при некоторых ограничениях для фунда­ ментальных подстановок группы. Теоремы, обратные указанным Риманом в [246.4], были сформулированы и доказаны Куртисом в [129].

Большую роль в разработке проблемы Римана и ее популя­ ризации сыграл Л. Шлезингер, посвятивший этому вопросу множество публикаций на протяжении двух десятилетий. Собст­ венно ему принадлежит первая попытка доказательства сущест­ вования указанной Риманом системы функций на основе теории

в том, что коэффициенты рассматриваемых линейных дифферен­ циальных уравнений предполагались рациональным (у Римана они предполагались любыми алгебраическими) и корни опреде­ ляющего фундаментального уравнения были с модулем едини­ ца. Последнее было продиктовано для уверенности в сходимо­ сти зета-фуксовых рядов. Им же в 1901 г. была показана инте­ ресная связь между проблемой Римана и исследованиями Фукса [153.14.—16] о линейных дифференциальных уравнениях, груп­ па подстановок которых не зависима от входящего в коэффи­ циенты параметра. Из других результатов Шлезингера, получен­ ных в то же время, отметим решение вопроса [254.2 и след.] об аналитическом характере зависимости изучаемой им системы моногенных функций от точек разветвления, рассматриваемых как независимые друг от друга переменные, что вело к весьма интересным заключениям, в частности к общему определению одного замечательного, по термину автора, класса функций мно­ гих переменных, которые удовлетворяли как функции по каждой отдельной переменной линейному дифференциальному однород­ ному уравнению п-го порядка с однозначными по всем перемен­ ным (рациональными по х) коэффициентами и с конечным чис­ лом точек разветвления. Шлезингер отметил в [254.3, 224], что, возможно, так представлялся класс функций Риману, когда он говорил о «неправильной» системе [246.8, 385 и след.]. Пример такой функциональной системы представлен в форме решения дифференциального уравнения Тиссо—Похгамера, а частные ее случаи трактовались в работах Аппеля, Пикара, Гурса и дру­ гих, о чем у нас была речь выше.

375

В следующем цикле работ Шлезингера [254.5 — 6.—9 и др.] с большой настойчивостью для нового и полного решения зада­ чи Римана, хотя и не совсем успешно, был использован упоми­ наемый ранее метод непрерывности, который Клейн и Пуанкаре применили для доказательства фундаментальной теоремы в тео­ рии автоморфных функций, о чем шла речь в гл. XV. Однако проведенное Шлезингером доказательство встретило позже ряд обоснованных возражений со стороны молодого ученого И. Племеля из Черновиц. В заметках [236.2] он отметил некоторые не­ точности доказательства Шлезингера, основанного на контину­ ум-методе. Племель указал, в частности, на неоднозначность соотношений некоторых параметров, которые Шлезингер считал однозначными. Это и было основным пунктом, пошатнувшим весь метод доказательства. В связи с этим Шлезингер [254.9] старал­ ся дополнить свою аргументацию и совершенствовать доказа­ тельство, что было, впрочем, не так просто в связи с недостаточ­ ной еще разработкой самих основ теории метода.

Шлезингер указал весьма любопытные следствия, если пред­ положить разрешимость проблемы Римана. Одно из них каса­ лось теоремы о том, что линейное дифференциальное уравнение с рациональными коэффициентами (в общем с однозначными и с конечным числом точек разветвления) всегда когредиентно дифференциальному уравнению фуксова типа, т. е. что его зави­ симая переменная z представляется через зависимую перемен­ ную у уравнения фуксового типа всегда в форме

где г0, гь ... , гп_, — однозначные функции, удовлетворяющие линейной дифференциальной системе с рациональными (соответ­ ственно однозначными коэффициентами). Второе касалось во­ проса получения дифференциальных уравнений, группа монодромии которых независима от параметров, входящих в коэффици­ енты. А он был тесно связан с вопросом о нелинейных уравне­ ниях второго порядка с неподвижными критическими точками,

очем шла речь ранее.

§2. Применение метода интегральных уравнений

кизучению проблемы (Гильберт, Племель)

Вначале предыдущего параграфа было указано, какое боль­ шое значение решению проблемы Римана придавал Гильберт. Скоро он сам возвратился к этому вопросу и искал его решение для случая гс = 2 системы линейных однородных дифференциаль­ ных уравнений с рациональными коэффициентами с данным числом k особых точек (полюсов) на основе разрабатываемой тогда им теории линейных интегральных уравнений. Об этом

376

впервые (1904 г.) шла речь на третьем международном конгрессе математи­ ков [173.2], где была приведена пер­ вая часть доказательства. В скором времени это доказательство стало предметом большой статьи, а в 1912 г. оно было помещено в десятой главе монографии [173.3]. Идея о методе доказательства высказана Гильбертом в лекциях по теории интегральных уравнений уже в зимнем семестре 1901/02 г., и его ученик О. Келлог поз­ же в статье 1905 г. занимался этим вопросом в одном случае. Но, как от­ метил Племель [236.1, 211], этот опыт не был удачным.

Итак, речь шла о линейном одно­ родном уравнении второго порядка. Данные его особые точки Z\, z2, ..., zm связывались циклически в комплекс­

ной с-плоскости посредством замкнутой аналитической кривой С. Затем строились пары функций f(z), fl(z), которые вели себя рационально во всей плоскости и только на отрезках кривой между z, и zn, z2 и z3, ..., zm- x и zm проявляли особый характер, так как их значения на внешней стороне этих отрезков получа­ лись из значений на внутренней стороне через линейные одно­ родные комбинации с заданными комплексными коэффициента­ ми. Решение задачи приводилось к такому определению функций

Ш , f\{z), fa(z), f'a(z), (16.7)

обладающих характером рациональных вне и соответственно внутри

где ѵі<4 Y2(/l), Yi1(4 Y2I(,i) (h—1, 2,..., m) — данные константы с отличным от нуля определителем. Таким образом, вопрос при­ водился к уже решенной Гильбертом задаче о существовании функций f(z) с определенными свойствами, опираясь на теорию интегральных уравнений. Этим самым решалась задача установ­ ления системы функций с заданной группой монодромии для данного случая.

Значение этого доказательства, полученного хотя и непрямым путем, трудно преуменьшить. Важен был прогресс в решении задачи для данного случая двух уравнений и без имевших место

377

ограничений в работе Шлезингера. Правда, Племель (и не без оснований) считал, что введение сложных функций Грина и мно­ гих вспомогательных функций усложняли доказательство и де­ лали его менее наглядным.

Более простое доказательство существования для общего случая п, достигающее цели без введения функций Грина, осно­ ванное на теории интегральных уравнений и использующее весь­ ма элементарные вспомогательные средства из теории функций комплексного переменного, было предложено в 1906 г. И. Племелем и опубликовано с некоторыми дополнениями через два года [236.1]. Здесь же обсуждался вопрос о числе независимых решений, который методом Гильберта прямо не решался, тогда как способ Племеля приводил к цели без особых трудностей. При этом было установлено существование фундаментальной системы простейших «примитивных» решений

для которых функции Уь<9 были аналитичны во всей плоскости, за исключением заданных особых точек, и давали определители отличные от нуля. В то же время они могли быть пред­ ставлены в области точек ветвления в форме канонических раз­ ложений указанного автором вида, определитель коэффициентов которых был отличен от нуля. Целые числа, которые входили в корни определяющих уравнений (в показатели разветвления), могли быть зафиксированы произвольно для всех точек, за ис­

ключением последней.

Через полученную таким образом примитивную фундамен­ тальную систему линейно, с целыми рациональными коэффици­ ентами, представлялось каждое решение при некотором простом условии относительно корней определяющих уравнений. Отсю­ да, в частности, следовало, что примитивная фундаментальная система удовлетворяла простой канонической дифференциальной системе без несущественно особых точек.

Примитивная фундаментальная система Племеля представ­ ляла в возможной простой форме решение системы линейных дифференциальных упавнений, так как число входящих туда констант в общем случае точно совпадало с числом независимых параметров группы монодромии. Случай, когда вместо обычной плоскости в основу рассуждений полагалась риманова поверх­ ность, весьма искусным приемом Племель привел [236.2, 20] к уже рассмотренному. Тем самым было подведено надежное осно­ вание ранее упоминаемым исследованиям Риттера [248].

Следует отметить, что общий результат Племеля в известном смысле завершал в то время теорию систем линейных однород­ ных дифференциальных уравнений первого порядка с рацио­ нальными коэффициентами, хотя, как отметил в беседе с нами Н. П. Еругин, им не исчерпывалось полное решение проблемы

378

Римана в современном понимании Обстоятельное изложение проблемы Римана и других, связанных с. ней вопросов, содер­ жится в монографии Племеля [236.5].

Аналогичные исследования для систем линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с мероморфными коэффициентами на произвольной компактной или неком­ пактной римановой поверхности долгое время отсутствовали. Они нашли отражение значительно позже, в работе [249] X. Рерля, использовавшего как методы теории функций многих комплексных переменных, так и теории комплексно-аналитиче­ ских расслоений на римановых поверхностях.

§3. Другие методы исследования проблемы

В1909 г. Биркгоф изучал вопрос о представлении решений системы уравнений

каноническая система. Решения последней связаны с решения­ ми исходной системы простыми линейными соотношениями, ко­ эффициенты которых Хц(х) при X—оо аналитичны. Отсюда уста­ навливалась форма фундаментальной системы решений для (16. 10). Биркгоф рассмотрел характеристику решений канонической системы в окрестности х=оо, распространяя ее на решения си­ стемы (16.10).

В процессе дальнейшего изучения вопроса, он пришел к за­ ключению о вероятной возможности обобщения проблемы Ри­ мана и на тот случай, когда особые точки системы дифферен­ циальных уравнений являются нерегулярными. Напомним, что в классической постановке проблема Римана ограничивалась рассмотрением дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками. Подробней эта тема была освещена Биркгофом в статье [100.4]. Здесь изучалась проблема Римана для ли­ нейных дифференциальных уравнений с нерегулярными особыми точками, а также для линейных разностных и для линейных q- разностных уравнений. Биркгоф предложил обойти интеграль­ ные уравнения прямым применением метода последовательных приближений, использовав при этом множество различных упро­ щений.

Еще работами Племеля устанавливалась связь с функция­ ми Прима п-го порядка. Определенный интерес для рассматри-

1 Эта задача для ряда конкретных случаев была решена позже в работах Лаппо-Данилевского и его последователей. См. об этом в § 4.

379