книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

рядка и си с2— постоянные, подобна той, которая позже полу­ чила название собственно разрывной. Из исследования Фукса следовало, что для этого необходима разрывность проэктив-

метрических функций zu z2 содержалось как необходимое то, что независимая переменная линейного дифференциального уравнения второго порядка, рассматриваемая как функция отно­ шения двух интегралов, должна быть однозначной. Было также показано, что для однозначности функции обращения отношения интегралов в окрестности отдельных особых точек, не являю­ щихся, по выражению Фукса, точками неопределенности, необ­ ходимо и достаточно, чтобы разность корней определяющего фун­ даментального уравнения была величиной, обратной целому числу, если она отлична от нуля. Отсюда следовали некоторые алгебраические условия для однозначности z u z2. Но в одном из писем Пуанкаре в мае 1880 г. обратил внимание Фукса на то, что данные им условия не всегда вели к однозначной обратимо­ сти отношения интегралов. Так, среди данной Фуксом таблицы дифференциальных уравнений было и такое, которое, кроме ука­ занных ранее условий, требовало еще и дополнительного, а имен­ но: чтобы однозначность функции обращения отношения инте­ гралов имела место вообще, а не только в окрестности отдель­ ных особых точек. Это условие было трансцендентной природы, ибо требовало, чтобы для соответствующего уравнения с четырьмя особыми точками появившийся в коэффициентах пара­ метр был бы модулем периодичности эллиптического интеграла. Другие уравнения таблицы Фукса содержали не более трех осо­ бых точек и для них было достаточно алгебраических условий. С этим фактом мы уже встречались в исследовании Шварца, высказавшего теорему об однозначности функции, обратной отношению интегралов x(s) для гипергеометрического уравне­ ния, когда разности корней определяющего фундаментального уравнения были обратны целым числам. Но его доказательство касалось тех случаев, когда эта обратная функция была рацио­ нальной или представимой через эллиптические.

В появившейся вскоре заметке [153.9], в ответ на замечание Пуанкаре, Фукс дал уточнение трансцендентных условий, кото­ рые следовало добавлять к алгебраическим, чтобы функция, обратная отношению интегралов, была однозначной.

Некоторое развитие и дополнение (для случая т = 2) работ Фукса дано в статьях Лонштейна (1890 г.), Кепинского (1896— 1902 гг.) и др. Большого успеха в деле униформизации функцио­ нальных соотношений, определяемых линейными дифференци­ альными уравнениями с алгебраическими коэффициентами, уда­ лось добиться Пуанкаре. Но если в исследованиях Фукса, имев­ ших в этом смысле предварительный характер, вопрос однознач­ ности рассматривался попутно с другими, то Пуанкаре выдвинул

360

его на передний план. Он стремился к характеристике и отыска­ нию в общем таких однозначных функций от одного переменно­ го, обратные которым представлялись бы как отношения инте­ гралов линейного дифференциального уравнения второго поряд­ ка фуксового типа.

Рассмотрению комплекса вопросов, связанных с указанной проблемой, в начале 80-х годов Пуанкаре посвятил много работ (всего около тридцати) и в том числе [237.3.—7 .-9 .—10]. Здесь была прежде всего поставлена задача определить такие группы проективных подстановок одного переменного, которые представ­ ляли бы область значений некоторой аналитической функции в смысле Якоби, т. е. не содержали бы бесконечно малых преобра­ зований или, по термину Пуанкаре, были бы прерывны. Опира­ ясь на соотношения, которые были получены в случае трех осо­ бых точек для гипергеометрического уравнения, Пуанкаре обра­ тил внимание на те дискретные группы, которые были связаны с преобразованием неэвклидовой плоскости в себя. Такие груп­ пы движения не содержали бесконечно малых подстановок и со­ ставлялись из конечного числа фундаментальных подстановок. Они представляли всегда и одним способом однолистное и сплошное покрытие многоугольниками неэвклидовой плоскости.

Пуанкаре удалось затем установить все эти группы, названные им фуксовыми. Так были построены в тесной связи с тэта-ряда­ ми однозначные функции, которые вели себя в области конечной точки неэвклидовой плоскости как рациональные функции и при подстановках фуксовой группы оставались неизменными. Эти функции получили название фуксовых. Функции, обратные фуксовым, являлись отношениями интегралов линейных дифферен­ циальных уравнений второго порядка с алгебраическими коэф­ фициентами фуксового типа. Их риманова поверхность и особые течки (помимо бирациональных преобразований) сами опреде­ лялись группой. Корни определяющего фундаментального урав­

циальное уравнение не было полностью определено, так как оно содержало еще некоторые алгебраически неопределимые пара­ метры, которые должны подчиняться некоторым трансцендент­ ным условиям. Такое уравнение Пуанкаре назвал фуксовым. Определение таких условий имело фундаментальное значение, так как от этого зависел и вопрос униформизации. В случае утвердительного его решения фуксовы функции представляли для любого линейного уравнения с алгебраическими коэффици­ ентами то же, что эллиптические функции — для уравнения Ла­ ме или его обобщений. Подобно тому, как отношения интегралов фуксового уравнения имеют прообразом эллиптический интеграл первого рода, так решения линейного уравнения, которые могут быть представлены как однозначные функции этого отношения

361

интегралов, имеют прообразом зета-функции. В случае, когда соответствующее линейное уравнение принадлежало фуксовому типу и когда для всех фундаментальных подстановок, соответ­ ствующих обходам независимой переменной около отдельных особых точек, корни принадлежащего фундаментального урав­ нения имели абсолютную величину, равную единице, Пуанкаре удалось получить разложения в ряды для однозначно получен­ ных интегралов, которые он назвал фуксовыми зета-функциями. Так был ясно определен аналитический характер этих функций.

Вышеизложенные принципы устанавливались в тесном кон­ такте и при существенном участии Ф. Клейна, занимавшегося в 1881—1882 гг. теми же вопросами и получившим некоторые важ­ ные результаты немного раньше Пуанкаре [192.11, 426 и след.]. Клейн предложил иной способ получения фуксовых функций, который представлял доказательство существования функций, принадлежащих данной фундаментальной области. Он указал также, что, кроме фуксовых, существуют еще и другие группы проективных подстановок, обладающие свойством дискретности, и что отсутствие у последних бесконечно малых подстановок еще не является условием дискретности. Такие группы Пуанкаре назвал клейновыми. На них потом строились клейновы функции и т. д. Они были истолкованы затем как группы движений неэв­ клидового пространства. Частный случай таких групп указан ранее Шоттки.

Отметим также, что Клейн несколько ранее Пуанкаре пред­ ложил глубокий и важный метод, так называемый метод непре­ рывности, с помощью которого мог быть решен упоминаемый выше основной вопрос теории фуксовых функций. Задача состоя­ ла в том, что на римановой поверхности R жанра р даются п+1 особых точек щ ,..., ап+1, каждой из которых соответствует за­ данное положительное целое число gh (в том числе и оо), и надо определить уравнение

(і=1, 2...... п+ 1), однозначны, конечны и непрерывны, причем для a,k разности корней определяющего фундаментального урав­

ми. Определенное этими алгебраическими условиями дифферен­ циальное уравнение содержало еще некоторое число произволь­ ных (по Клейну, акцессорных) параметров. Они были так опре­ делены, что группа дифференциального уравнения (15.12) была фуксовой. Таким образом, многообразию римановых поверхно­

362

стей с одним и тем же р противопоставлялось соответствующее многообразие автоморфных групп с граничным кругом. В связи с этим в первую очередь обсуждается доказательство существо­ вания такого уравнения. Метод непрерывности доставлял такое доказательство. При этом для полного решения надо было иссле­ довать некоторые граничные случаи, чем занимался Пуанкаре в работах 1883 г., а позже ряд случаев подробно разобран Фрике в 1904 г.

Для доказательства существования, о чем выше упомина­ лось, было позже предложено еще три различных метода. Пер­ вый из них — метод Шварца (1886); он основан на интеграции уравнения с частными производными Au = keu. Второе доказа­ тельство основано на применении метода Пуанкаре для униформизации любой моногенной функции одного комплексного пере­ менного. Полезность такого применения указана в лекциях Клейна 1894 г. Затем решением этой задачи занимались и дру­ гие, но удовлетворительное решение впервые кратко было изло­ жено Кёбе [194], улучшившим также метод Пуанкаре в сущест­ венных пунктах. Третье доказательство (связанное со вторым методом) сначала для некоторого частного случая нашел Шле­ зингер в 1889 г. Позже Гильберт и Клейн [192.10] указали на четвертый метод, которым связывалось определение ацессорных параметров с теоремой колебаний. Дальнейшее обобщение во­ проса и развитие подобных идей находим в трудах Хилба, в том числе в [172.1]. Здесь ставился вопрос об определении акцессор­ ных параметров для уравнения второго порядка с четырьмя осо­ быми точками.

Таким образом, теория автоморфных функций возникла как результат обобщения довольно подробно к тому времени разра­ ботанных теорий частных видов автоморфных функций в резуль­ тате комбинации большого числа математических идей, опираясь на геометрическую теорию аналитических функций, теорию групп как объединяющий принцип, теорию алгебраических и эл­ липтических функций, аналитическую теорию линейных уравне­ ний, проективную и неэвклидову геометрию.

§ 4. Задача обращения для дифференциального уравнения второго порядка

с четырьмя особыми точками (А. Пуанкаре, Ф. Клейн, В. Смирнов)

Как известно, задание особых точек и соответствующих им корней определяющего уравнения не всегда определяет полно­ стью коэффициенты дифференциального уравнения (15.8). Они зависят еще, о чем уже упоминалось ранее, от произвольных до­ полнительных (акцессорных) параметров, если число особых точек уравнения больше трех. Уравнения же с тремя и меньшим числом особых точек таких параметров не содержат, и это упро­

363

щало их изучение. Уравнение с одной особой регулярной точкой приводится к виду у" = 0 и не представляет особого интереса; уравнение с двумя особыми точками а\ и а2 после ряда преобра­ зований [16.3, 227] приводится к уравнению Эйлера

гипергеометрическому, которое в квадратурах уже не интегриру­ ется. Об исследованиях его у нас шла речь в гл. XIV.

Дальнейшее увеличение числа особых точек вело к новым усложнениям, связанным как с появлением акцессорных пара­ метров, так и с повышением степени полиномов, входящих в ко­ эффициенты дифференциального уравнения, что затрудняло отыскание решения этого уравнения в форме определенного ин­ теграла. Изучение таких уравнений сводилось в основном к изу­ чению свойств их интегралов в функции акцессорных парамет­ ров. Естественно, что в первую очередь и более подробно уда­ лось изучить уравнение второго порядка с четырьмя особыми точками. Решение этсй задачи связано с многими трудностями, которые были выявлены, а тем более изучены не так скоро и потребовали больших усилий многих ученых и применения но­ вейших вспомогательных средств.

Уравнение такого вида, если за особые точки принять числа 0, а, 1, где 0< а < 1 и о о , корни определяющего уравнения, со­ ответствующие первым трем особым точкам, считать равными 0 и а, ß, у, а для особой точки в бесконечности — бі и бг, причем

ствительными коэффициентами) впервые подробно изучена, как известно, Шварцем. Но результаты его не могли быть распрост­ ранены непосредственно на уравнение с четырьмя особыми точ­ ками в связи с появлением нового параметра, от значения кото­ рого зависело решение.

Задача изучения уравнения с четырьмя регулярными особы­ ми точками рассматривалась Пуанкаре в 1884 г. [237.9] в связи с общей проблемой обращения уравнений второго порядка и изучением свойств однозначных функций, которые не менялись при подстановках, образующих дискретные группы. Для того чтобы показать, как эти функции и им аналогичные представля­ ют интегралы линейных дифференциальных уравнений с алебра-

1 Н е т р у д н о за м ет и т ь , что о н о п р ед с т а в л я ет частны й сл уч ай ур а в н ен и я

« Л а м е » (см . гл. X IV , § 4 ) .

364

ическими коэффициентами, ему следовало решить две пробле­ мы: 1) если дано линейное уравнение с алгебраическими коэф­ фициентами, надо определить его группу; 2) если дано линейное уравнение второго порядка, зависящее от некоторых произволь­ ных параметров, следует определить эти параметры таким об­ разом, чтобы группа уравнения была фуксовой. Для решения этих задач Пуанкаре пользовался так называемым методом не­ прерывности, проводя подсчет числа параметров, входящих в уравнение вида (15.8) с переменными коэффициентами, и числа постоянных, от которых зависела группа уравнения. Интересую­ щий нас вопрос был связан как раз с решением второй задачи, когда также искалось определение параметра таким образом, чтобы функция, обратная частному двух независимых интегра­ лов уравнения, была фуксовой.

Пуанкаре рассматривал уравнение

но соотношением ф(х, у)= 0. При этом предполагались извест­ ными корни определяющего уравнения и особые точки, а в (15. 15) входили еще произвольные параметры. Обозначая через г отношение двух интегралов уравнения и рассматривая х как функцию от г, он изучал характер этой функции (т. е. является ли она фуксовой или клейновой в зависимости от расположения упомянутых произвольных параметров). Случай четырех особых точек а, ß, у, б он кратко трактовал как приложение в п. 15 мемуара, высказав там ряд принципиальных положений.

Значительно позже, в 1907 г., данный круг вопросов привлек внимание Клейна, побуждаемого новыми исследованиями в об­ ласти интегральных уравнений Гильберта установить связь меж­ ду теоремой осциляции (колебаний) и теоремой существования автоморфных функций, о чем ранее шла речь в [192.5]. В работе [192.10], исходя из общих задач теории автоморфных функций, ставился вопрос об определении входящих в линейное диффе­ ренциальное уравнение акцессорных параметров так, чтобы соот­ ветствующие фигуры на тршаре обладали некоторыми отличи­ тельными свойствами. Связывая это требование с теоремой ко­ лебаний и опираясь на соответственные результаты Гильберта, Клейн обсуждал отдельный случай вышеуказанной общей проблемы на примере простейшего вида дифференциального уравнения второго порядка с тремя действительными конечными и бесконечно удаленной особыми точками с акцессорным пара­ метром. Последний определен так, что соответствующий круго­ вой четырехугольник охватывался на трсфере (или трплоскости) одной из тех четырех ортогональных к абсолюту окружностей, дуги которых являются сторонами четырехугольника. А этот вопрос был решен Гильбертом при помощи интегральных урав­

365

нений для граничного случая, когда принадлежащие к четырем особым точкам разности показателей были нули. Полученным весьма любопытным, принципиальным результатам Клейн дал аналитическую и геометрическую трактовку.

К вышеуказанной работе Клейна тесно примыкало исследо­ вание Хилба, подробно рассмотревшего в 1908 г. уравнение, при­ водящееся к (15.14), и предложившего чисто аналитическую трактовку выраженных в ранее опубликованных работах геоме­ трических идей. Ряд уже известных положений Хилб довольно просто доказал, опираясь на идею непрерывности, предполагая действительными все параметры, входящие в уравнение. Он же рассмотрел и случай комплексных особых точек, изучая фунда­ ментальную область, на которую соответственно разбитая плос­ кость отображалась отношением двух частных решений. Задача состояла сначала в установлении мероопределения такой фунда­ ментальной области, а затем в исследовании определения акцес­ сорного параметра через такое, подлежащее установлению, чис­ ло-меру. В этом случае параметр приобретал, естественно,, некоторое комплексное значение. Несмотря на существенный прогресс в этом отношении, результаты Хилба все же не пред­ ставлялись полными, так как наряду с доказательством сущест­ вования бесконечно многих значений параметра к, при которых группа уравнения будет фуксовой, не было доказательства един­ ственности этих значений при некоторых дополнительных усло­ виях.

Вработе Хилба рассматривался случай, когда определяющее уравнение не имело кратных корней. Изучение случая кратных корней определяющего уравнения чуть позже проведено в дис­ сертации Герстенмеера [161], применявшего в своих работах метод Хилба и рассмотревшего кратко также уравнения с пятью регулярными особыми точками. И у него отсутствовало выше­ упомянутое доказательство единственности, как отмечено в [60,

6], а другие доказательства приведены не везде достаточно стро­ го [66.1, XIII].

Вто же время Гильберт (105) в шестом сообщении Геттин­ генскому научному обществу в 1910 г. привел решение задачи

Пуанкаре в случае кратных корней определяющего уравнения к исследованию одного интегрального уравнения. На основе тео­ рии интегральных уравнений он доказал теорему о том, что имеется бесконечно много действительных значений к, для кото­ рых отношение двух решений уравнения

при обходе комплексной переменной х около особых точек а, Ь, с, оо испытывает подстановки с действительными коэффициен­ тами.

3G6

К этому исследованию непосредст­ венно примыкала работа Кёнига

(1912 г.). Здесь речь шла об уравне­ нии, аналогичном предыдущему, вида

(где а>Ь>с, В — дополнительный па­ раметр) и решалась вышеуказанная задача относительно вида подстановок таким же методом, но более полно. При этом был уточнен выбор В и вид отображающей функции т) и тот слу­

для случая клейновых функций почти не проводилось. Некоторое отношение к этому имел мемуар Фрике [150.1], где рассматри­ вался вопрос образования симметрической группы при помощи последовательных отображений кругового четырехугольнийа че­ рез его стороны с подробной геометрической трактовкой, а также диссертация Иленбурга [179], посвященная исследованию одно­ связных четырехугольников, ограниченных дугами окружностей и не имеющих точек разветвления нигде, кроме вершин.

Наиболее подробно и всесторонне задача обращения для уравнения класса Фукса второго порядка с вещественными коэф­ фициентами и четырьмя особыми точками была рассмотрена (1918 г.) в монографии [66.1] В. И. Смирнова (106). Здесь были разрешены практически все вопросы, стоявшие тогда на поряд­ ке дня и связанные с уравнением с четырьмя особыми точками. Опираясь на принцип выбора, на подробное исследование груп­ пы уравнения, на новые результаты теории функций и применив ряд остроумных соображений, он дал полную картину спектра этого уравнения, конкретно выяснив, для каких значений акцес­ сорного параметра задача обращения имеет однозначное реше­ ние. Этой работой, изданной, к сожалению, по обстоятельствам того времени, в весьма малом числе экземпляров, по существу открывалось и утверждалось новое направление в Ленинград­ ской научной школе исследований по аналитической теории ли­ нейных уравнений, которое, как увидим далее, привело к фунда­ ментальным достижениям. Уже в этом сочинении, наряду с глу­ биной и широтой исследования, сказалось умение автора весьма сложные вопросы излагать с большой методической ясностью, что послужило, вероятно, надежной основой для привлечения внимания молодежи к новым идеям и быстрого ими овладения.

367

В кратком введении Смирнов знакомил читателя сразу с основ­ ными результатами теории, на которой строились дальнейшие рассуждения и выводы.

Особенно полно в работе трактовался тот случай уравнений с четырьмя особыми точками, когда фундаментальное определя­ ющее уравнение имело кратный корень в каждой из особых то­ чек. При этом В. Смирнов занимался исследованием зависимо­ сти группы уравнений от параметров и вопросом об определении уравнения по заданной группе. Все исследование состояло из пяти глав. Первая из них имела вспомогательный характер и посвящалась изучению групп дробно-линейных преобразований на плоскости комплексного переменного. Особое внимание об­ ращалось здесь на понятие непрерывной группы, особой точки группы и др. Аналитический характер изложения этой теории был отличительной чертой, ибо предыдущие работы основыва­

лись на методах проективной геометрии. Как основной метод здесь использовался принцип выбора (107).

В следующих двух главах подробно исследуется задача обра­

ня определяющего уравнения в первых трех точках равны нулю,

ав четвертой — единице. В главе II нашли развитие идеи Гиль­ берта Кёнига, но не на основе метода интегральных уравнений,

ас использованием обычного метода Штурма—Лиувилля, что существенно упростило изложение. Основное внимание в главах II—III уделялось определению тех значений параметра, при

которых проективная группа уравнения (15.17) будет фуксовой. При этом была рассмотрена зависимость интегралов уравнения от параметра, исследован вид кругового четырехугольника, на который отображается полуплоскость при помощи отношения двух интегралов уравнения, и, главное, определены те значения параметра, при которых задача обращения приводила к одно­ значной функции, а также изучена группа уравнения в таких слу­ чаях. Оказалось, что значения параметра X, для которых задача

обращение ц. При этом установлены значения X, когда обраще­ ние вело к функциям Фукса или Клейна.

1 (х_2 <^_і<|х_і<Яо<рі<Хі<р2. См. об этом подробнее в [67, 16—17].

368

В четвертой главе исследовались группы уравнения рассмат­ риваемого вида при различных значениях к, изучался вопрос о свойствах уравнений вида (15.17) с одной и той же группой под­ становок и о построении уравнения по заданной группе. При рассмотрении подробно того случая, когда к принадлежало от­

с той же группой.

Более общий случай уравнения вида (15.14) с четырьмя осо­ быми точками, когда корни соответствующего характеристиче­ ского уравнения были различны (вещественны, положительны и больше единицы), трактуется в главе V.

Здесь применялись методы, развитые раньше, и решался при­ мерно тот же круг основных задач. Тут был восполнен упоминае­ мый выше пробел в исследовании Хилба относительно доказа­ тельства единственности значений параметра к. Был рассмотрен также тот случай, когда подстановки группы, оставляя неизмен­ ной некоторую окружность, преобразуют части плоскости, на которые эта окружность делит всю плоскость, друг в друга, а также исследованы свойства кругового четырехугольника, полу­ чаемого отображением полуплоскости при помощи функции г), при различных значениях параметра к изучена и однозначность решения задачи обращения. При этом несколько раньше был установлен очень важный результат [66.1, 289—293], которым исчерпывались все возможные значения параметра к, когда под­ становки группы уравнения (15.14) преобразуют в себя некото­ рую окружность, т. е. когда группа данного уравнения фуксова. Этим самым пополнялись фундаментальные результаты пред­ шественников В. И. Смирнова в исследовании данной проблемы.

В. И. Смирнов кратко изложил полученные результаты в док­ ладах Парижской академии и более подробно в статье в журна­ ле Дарбу [66.3]. О последней Хилб писал [184, т. 48, 510—511], что здесь к известным результатам было добавлено много но­ вого.

К выше рассмотренной работе В. И. Смирнова примыкала одновременно опубликованная его статья [66.2], где исследова­ лась основная задача униформизации для неприводимого алге­ браического уравнения f(x, у ) —0 при помощи фуксовых функ­ ций х = ф(t), г/= ф (0. однозначных и регулярных внутри единич­ ного круга и имеющих окружность этого круга своей естественной границей. Сложное доказательство существования униформизации указанного типа, данное почти одновременно в 1907 г. Пуанкаре и Кёбе, было существенно упрощено В. И. Смирновым благодаря применению здесь новых подходя­ щих принципов [67, 14—15].

Он же показал раньше, что уравнение с четырьмя особыми точками в некоторых случаях может быть получено при помощи