книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а XV. ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Вводные замечания. Задачи обращения

втеории эллиптических и абелевых интегралов

Простейшие задачи обращения решались математиками кон­ ца XVIII, начала XIX веков весьма часто и в связи с необходи­ мостью найти конкретные ответы на запросы главным образом математической физики и механики. Как на примеры здесь мож­ но указать на задачу Лапласа о виде функции, выражающей силу действия магнита на элемент проводника, на задачу Ампе­ ра об определении функции расстояния при взаимодействии двух элементов проводника. Обе эти задачи решались затем Лиувиллем при более общих предположениях относительно вида иско­ мой функции, опираясь на, видимо, впервые им примененный ме­ тод дифференцирования с произвольным указателем.

Эти задачи, как и соответствующие задачи в теории притя­ жения, представляли собой частные случаи более общей задачи, поставленной Абелем в заметке [93.1] об определении вида кри­ вой линии, по которой спускается тяжелая материальная точка за время t, выраженное как некоторая заданная функция ф(х0) от высоты падения Хо.

Пользуясь известной формулой, Абель легко получил урав­ нение

(15.1)

о

из которого следовало определить s(x), где s — длина дуги кри­ вой, соответствующая высоте х0 и отсчитываемой от начала дви­ жения. Вместо уравнения (15.1) Абель подробно рассматривает более общее вида

(15.2)

о

где /' (x)dx = ds, из которого следует определить функцию s=f(x), полагая, что функция ф(х0) известна. Пользуясь симво­ лом гамма-функции, полагая, как это видно из решения, вели­

350

чину п между нулем и единицей, после ряда выкладок Абель получил из (15.2) уравнение

выражающее дугу s как функцию от х, и применил найденный результат к конкретным случаям. В дальнейшем были уточнены условия относительно компонент подынтегрального выражения (15.2), как и относительно функции <р, для возможности решения задачи.

Указанный вид задач широко применялся при создании тео­ рии эллиптических модулярных функций. К основам этой теории Гаусс подошел, как это следует из его дневника, в результате установления связи между арифметико-геометрическим средним и длиной лемнискаты (102) уже весной 1800 г., когда было отме­ чено открытие общих двоякопериодических функций [192.11, 63].

В скором времени теория эллиптических функций была раз­ работана Гауссом в самых различных направлениях, а одно из. его решений в «Арифметических исследованиях» оказалось по­ водом для открытия в 1825 г. Абелем двойной периодичности и комплексного умножения эллиптических функций общего ви­ да. А в 1826 г. он стал разрабатывать еще ранее зародившиеся у него идеи об обращении эллиптических интегралов, которые нашли отражение в публикациях [93.2]. Этим занятиям Абеля способствовало знакомство с трактатом Лежандра об эллипти­ ческих интегралах, исследованием которых последний занимал­

ся в продолжении 40 лет. Рассмотрение всех эллиптических ин­ тегралов Лежандр привел к трем основным

называемых интегралами первого, второго и третьего рода. Ин­ теграл первого рода оказался простейшим и обладающим наибо­ лее важными свойствами. Если обозначить его через и и сделать, в нем подстановку sin ф=х, то получим

351

У 1 —*2 = cos amu, У 1 — k2x2 = кати, .. . , названные Якоби эл­ липтическими функциями.

Основные результаты Якоби по теории эллиптических функ­ ций, где он пользовался идеей обращения и двойной периодич­ ностью, опубликованы практически одновременно с исследова­ ниями Абеля, а в 1829 г. вышли отдельной книгой. Функции sin amu, cos amu, Д amu Якоби представил в виде дробей, чис­ лители и знаменатели которых были его известные четыре тэтафункции 0j. Отношения этих периодических функций были дво­ якопериодическими. Эти функции, по замечанию Розенгайна, встречались уже в работах Фурье (1822) по теории теплоты, рас­ сматривавшего их с иной точки зрения. В 1832—1835 гг. Якоби рассмотрел уже более общую задачу об обращении интегралов

где Рс(х) — полиномы шестой степени. Подобно тому, как эллип­ тические имели два модуля, каждый из этих интегралов имел четыре модуля. Но применяя, по образцу эллиптических интегра­ лов, идею инверсии к гиперэллиптическим, Якоби пришел к че­ тырехкратно периодическим функциям х(иі) и х(«2), поведение которых оказалось загадочным, проявляющемся в том, что в каждой точке они принимали любое произвольное значение. Упустив из виду, что интересующие его обратные функции могут быть и многозначными, автор объявил рассматриваемую им про­ блему «абсурдной». Для решения этой проблемы ему еще недо­ ставало понятия о многолистных поверхностях. Изучая далее идею обращения, Якоби высказал предположение, что проблема может быть решена с помощью выражения новых функций через обобщенные (кратные) Ѳ-ряды. Эта задача была представлена за­ тем на конкурс Парижской академией наук и подробно решена в указанном направлении в 1846 г. учеником Якоби Розенгайном (напечатано 1851) и в более абстрактной форме Гепелем (опуб­ ликовано 1847). Гепель и Розенгайн, опираясь на лекции Якоби, рассматривали новые функции Ѳі от двух аргументов, представ­ ляющие собой непосредственное обобщение функций Ѳ Якоби. Это дало им возможность представить в ясном виде функции, обратные гиперэллиптическим интегралам. Существенным про­ белом теории у Абеля и Якоби было отсутствие доказательства однозначности функций, получаемых при обращении, а также отсутствие представления о модулярных функциях (103), кото­ рым обладал Гаусс [35, 185 и след.].

Далее, естественно, возникла проблема обращения абелевых интегралов более общего вида, которой стал заниматься Эрмит уже в 1844 г., хотя ему и не удалось получить еще полных ре­ зультатов.

352

Существенный прогресс по этому кругу вопросов был достиг­ нут в лекциях Вейерштрасса, создавшего новое (второе после Гепеля—Розенгайна) направление в изучении гиперэллиптиче­ ских и абелевых функций и интегралов. Впрочем, лекции его остались малоизвестными, а опубликовано было лишь несколько статей (1849 — 1856 гг.) без строгих доказательств. Вейерштрасс дал прямое обобщение методов, которым следовали Абель и Якоби в своих первых трудах по теории эллиптических функций. При этом были построены функции al(uu и2, ..., и«), соответству­ ющие эллиптическим Якоби и представимые в виде частного некоторых функций вида А1(ии и2, ..., ип) а и А/(«і, и2, ..., н„).

Ярким представителем третьего направления был Клебш, способствовавший установлению тесной связи между теорией абелевых функций и геометрией. Здесь не представляется воз­ можным, к сожалению, остановиться даже кратко на изложении его идей. Отметим только, что работы Клебша стали основой це­ лой школы математиков, среди которых назовем Клейна, Брилля и Нетера. К работам Клебша примыкало сочинение Врио (1879) по теории абелевых функций.

Особого успеха в рассматриваемой тематике удалось добить­ ся Риману, рассмотревшему многозначность функций комплекс­ ного переменного и сделавшему блестящее открытие, что при по­ мощи обобщенных функций Ѳ можно решить общую задачу обращения абелевых интегралов. Таким образом, теория абеле­ вых интегралов сводилась к изучению обратных им абелевых функций.

Исследования Римана по этим вопросам велись в период 1851—1856 гг. и результаты их были изложены в курсе лекций в Геттингенском университете на протяжении двух семестров 1855/56 гг. и подытожены в мемуаре [246.2]. В этой работе, по­ священной анализу алгебраических функций и их интегралов на основе принципа Дирихле, следуя своим принципиальным уста­ новкам, Риман доказывает сперва существование функций, об­ ладающих наперед заданными особенностями на произвольной замкнутой римановой поверхности конечного рода. Затем он строит аналитические выражения этих функций в виде интегра­ лов от алгебраических функций. Здесь была решена также зада­ ча Якоби об обращении абелевых интегралов какого угодно рода р. При этом был разъяснен характер конформного отобра­ жения посредством такого интеграла и выяснена неоднознач­ ность обратной функции. При введении обобщенных р-кратных Ѳ(щ, ѵ2, Ѵр) рядов были рассмотрены условия их сходимости и в связи с этим построены особые Ѳ-функции, зависящие от р параметров. Исследованием их свойств и особенностей устанав­ ливаются соответствующие соотношения (конгруэнции), в ре­ зультате чего Риман и решает проблему обращения в общем ви­ де (см. об этом подробнее в [17, 20 и след.]).

Дальнейшие результаты Римана по теории алгебраических и

абелевых функций были изложены в его лекциях в 1861/62 гг. Здесь содержались элементы более общей теории Ѳ-функций, построение выражений для абелевых функций в простейших случаях (р = 3) и др. Разработка его наследия проводилась в трудах непосредственных его учеников и последователей — При­ ма, Неймана, В. Вебера, Клебша и др. (см. об этом также [56]).

Таким образом, к концу 60-х годов прошлого века теория обращения эллиптических и абелевых интегралов была разра­ ботана в самой общей форме и это оказало существенное влия­ ние на дальнейшее развитие соответствующего направления в- аналитической теории дифференциальных уравнений.

§ 2. Проблема обращения в теории дифференциальных уравнений (Риман, Фукс, Клейн)

Наиболее разработанной и представляющей особый интерес для науки оказалась задача обращения линейного дифферен­ циального уравнения второго порядка. Она состоит в определе­ нии из отношения

где у 1, У2 — два независимых интеграла рассматриваемого урав­ нения, величины X как функции от ц и изучении ее свойств. За­ дача обращения интеграла может быть рассмотрена как частный случай только что указанной. Внимание исследователей, зани­ мавшихся подобными задачами, было направлено в основном на уравнения с рациональными коэффициентами и, в частности, на уравнения с регулярными особыми точками. Решение этой задачи, о чем у нас частично шла уже речь, привело к результа­ там огромной важности, в частности к открытию нового весьма общего класса функций — автоморфных, получивших свое на­ звание по предложению одного из активнейших создателей этой теории Ф. Клейна '.

Разработкой принципов нового направления одним из первых стал заниматься Фукс, поставив в общем виде задачу о построе­ нии для решений линейных дифференциальных уравнений фуксового типа теории, аналогичной классической теории алгебраи­ ческих функций. При этом имелось в виду прийти к функциям, через которые выражались бы интегралы этих дифференциаль­ ных уравнений таким же способом, как алгебраические функции и их интегралы выражались через абелевы трансцендентные. По существу этим ставился вопрос об обобщении упоминаемой выше задачи Якоби. Однако Фуксу не удалось отыскать таких функций, которые играли бы для линейных дифференциальных уравнений ту же роль, что абелевы трансцендентные для алге-

1 О б и ст о к а х эт о й т ео р и и см . в ста ть е [35].

354

браических уравнений. Но тем не менее исследования его в этом направлении привели к фундаментальным понятиям, которые дали возможность Пуанкаре сформулировать проблему обраще­ ния для линейных дифференциальных уравнений таким образом, что униформизация переменных, связанных линейным диффе­ ренциальным уравнением, т. е. выражение их в виде однознач­ ных аналитических функций одного переменного, могла бы спо­ собствовать решению этой проблемы. В связи с этим внимание многих ученых конца прошлого и начала нынешнего века было привлечено к решению одной из основных задач теории функций: к построению эффективных методов униформизации аналитиче­ ских многозначных функций. Развитие идей при решении ука­ занных проблем представляет любопытный пример того, как часто в математических исследованиях приходили к новым пред­ ставлениям весьма окольным путем.

Существенную роль в подготовке дальнейших методов для решения исследуемой проблемы сыграла теория модулярных функций (134), появившаяся как одно из существенных затем ответвлений теории эллиптических функций. Объектом ее изуче­ ния были функции, представлявшие простейший пример автоморфных. Как уже упоминалось, модулярную функцию вида

К Ф. Гаусс [35, 186]. Затем лежандров интегральный множи­ тель появляется в качестве аргумента в 0-рядах Якоби.

Фундаментальное значение в развитии проблемы обращения дифференциальных уравнений, как и для других направлений рассматриваемой теории, имели работы Римана по основам теории аналитических функций, теории абелевых функций, ги­ пергеометрических и по теории минимальных поверхностей. В его работах можно найти почти все основные идеи и даже ряд конкретных результатов, которые легли в основу будущей теории автоморфных функций. Частично об этом шла уже речь в предыду­ щих главах. Здесь мы отметим, что в ряде отрывков из лекций по гипергеометрическому ряду под заглавием «О функциях, по­ рождаемых некоторыми линейными дифференциальными урав­

2і — yz + 6~’ он изУчает затем x = /(z) как функцию от г, которая

обладает свойством удовлетворять тождеству f(z)= f Ц )

и оставаться неизменной при выполнении над z как преобразо-

ваний, связанных с точками ветвления, так и тех, которые из дан­ ных составляются, а затем составляет дифференциальное урав­ нение для данной функции, принимая aö—ßy=E Этот метод при­ меняется к гипергеометрическим функциям у(х), где х рассма­ тривается как функция отношения двух частных интегралов того уравнения, которому удовлетворяет у. При этом Ра принимается

за у\, а Ра' за г/г- Рассматривая затем конформное отображение сферы на

плоскость и наоборот, Риман находит, что рассматриваемая об­ ласть, ограниченная двумя прямыми и дугой окружности, ото­ бразится на сферический треугольник с углами Ал, рл, ѵл, где А = а—a', Li = ß—ß', ѵ=ѵ—у'. При продолжении функции 2 он полу­ чает систему, по его выражению, симметрически конгруэнтных

ностями показателей Аі, pi, ѵь Риман ставит и решает вопрос, при каких условиях х и Х\ связаны алгебраическим соотношени­ ем? Оказывается, что в таком случае область изменения 2 со­ стоит из п пар симметрически конгруэнтных сферических треугольников с углами Ал, рл, ѵл и т. д. Далее он отмечает, что по существу речь идет о том, в каких случаях функция z(x) по­ средством алгебраического преобразования аргумента перехо­ дит в функцию того же типа. По рассмотрении ряда примеров Риман резюмирует, что «такие преобразования порождаются каждым правильным многогранником, так как возникающие при этом сферические фигуры различными способами составляются из конгруэнтных сферических треугольников. Если эти послед­ ние известны, нахождение самих преобразований не представ­ ляется затруднительным» [246.7, 205].

В этой же работе Риман уделил внимание исследованию эллиптических интегралов первого рода, рассматриваемых как частный случай гипергеометрических, и отметив при этом, что интегралы такого вида являются весьма простыми функциями параметра. Далее была изучена область изменения К и К\ ин­ тегралов уравнения

при различных значениях k2.

Формулы, выражающие зависимость эллиптических интегралов (15.10) от модуля £2, выведены Якоби в 1829 г. За переменную он

брал q — е к , но в дифференциальное уравнение ввел само отно-

356

тем самым значение этой функции как униформизирующей.

Мы позволили себе остановиться подробнее на этой работе Римана, чтобы непосредственно показать не только богатство идей, но и конкретно тот вклад, который внес автор в основы теории эллиптических модулярных и более общих автоморфных функций.

Дальнейшее и более полное развитие эти идеи получили за­ тем в работах Шварца, Клейна и других математиков. Г. А. Шварц дал доказательства и более полное изложение мно­ гих положений, высказанных Риманом а также весьма суще­ ственно дополнил их [257], выяснив, в частности, что частными классами так называемых треугольных функций являются эл­ липтические, модулярные и полиэдрические функции. О других важных результатах Шварца, как и Клейна, имеющих непосред­ ственное отношение к данному разделу, мы уже говорили рань­ ше. Напомним, что Шварц, как и Риман, доказал, что каждое частное решение s уравнения третьего порядка (14.9) в случае вещественных X, и, ѵ дает простое конформное отображение верхней полуплоскости х на треугольник, образуемый дугами окружностей, пересекающимися под углами Хп, рл, ѵя. Далее чисто геометрически было построено изменение функций s с по­ мощью принципа симметрии. Этот треугольник отображался на

треугольных, привело к общим автоморфным функциям, обла­ дающим естественной границей.

Довольно оживленно многие из относящихся сюда вопросов стали обсуждаться во второй половине 70-х — начале 80-х годов прошлого века, т. е. в те несколько лет, когда была создана в основном теория автоморфных функций. Так, в одном из писем 1876 г. Эрмит предлагал Фуксу объяснить причину, почему функ­ ция обращения отношения периодов эллиптического интеграла

357

тем Фукс нашел основу для объяснения указанных Эрмитом яв­ лений. В том же номере журнала помещена большая статья [131] Дедекинда, где определялась модулярная функция по римаповой поверхности и где закладывались по существу основы новой теории эллиптических модуль-функций, причем со­ вершенно независимо от обычной теории эллиптических функций

устанавливались соотношения между величинами со, k, К, где

*

со= -ду і. Иначе говоря, он дал основы теории преобразования

модулярных функций. Здесь же были указаны упоминаемые вы­ ше неточности в работе Фукса.

В том же 1877 г. появилась известная работа Клейна об икосаэдре, затем он публикует большую статью [192.2] о преоб­ разованиях эллиптических функций и решении уравнений пятой степени, выясняет и просто истолковывает многие принципиаль­ ные вопросы изучаемой теории. Клейн подошел к решению основного вопроса с новой точки зрения. Опираясь на теорию модулярных уравнений, в которой он значительно продвинулся благодаря его исследованиям об икосаэдре, уравнение которого было разрешено в эллиптических модулярных функциях, и раз­ вивая идеи Дедекинда, Клейн вместо модулей Лежандра—Яко­ би положил в основу абсолютные инварианты, как им были на­ званы модулярные функции, которые он рассматривал как инвариантны собственно разрывных групп (104). Он также по­ казал, что известные в литературе модулярные функции явля­ ются инвариантами или общей модулярной группы, или ее кон­ груэнтных подгрупп. Далее, изучая отображение, осуществляе­ мое отношением периодов, он использовал в своих выводах неэвклидову геометрию, установив тем самым прочную

358

связь между обособленно развивавшимися ранее дисципли­ нами.

Как уже было отмечено в [35, 190], истолковав риманову сферу как фундаментальный образ пространственного неэвклидового мероопределения, Клейн показал, что полиэдрическими группами исчерпываются все конечные собственно прерывные группы, что вело к завершению оснований теории автоморфных функций.

§ 3. Построение основ теории автоморфных функций

Вопросы, связанные с проблемой обращения, разработанные здесь методы имели существенное значение для построения тео­ рии однозначных автоморфных функций. Вместе с тем это тече­ ние пробивало себе дорогу и как ответвление аналитической теории линейных уравнений. В истоках его лежали работы Фук­ са. Этим он занимался, хотя не систематически, и раньше, но в 1880 г. появилась серия его работ, сыгравших фундаментальную роль в дальнейшем развитии изучаемой теории. В период нача­ ла его деятельности придавалось большое значение теории абе­ левых трансцендентных. А вот теперь он возвращается к обоб­ щению проблемы обращения Якоби, заменив в соответствующих уравнениях алгебраические функции решениями линейных диф­ ференциальных уравнений. Эти работы означали существенное продвижение не только в теории линейных уравнений, но и в об­ щей теории функций, ибо открывалась новая, далеко идущая область аналитических функций многих переменных, основы построения которых были заложены в интегралах решений ли­ нейных дифференциальных уравнений с рациональными коэф­ фициентами. Случай алгебраических решений вел здесь к изве­ стным абелевым функциям. Итак, Фукс изучал проблему, при каких свойствах функций fi(z), fz(z),..., fm(z), составляющих фундаментальную систему решений уравнения т-го порядка с рациональными коэффициентами, можно было определить вели­ чины Z], z2, ..., zm как аналитические функции от «і, ..., ит в фор­ ме т уравнений вида

при ij, І2, . . . £m постоянных.

Конкретное рассмотрение вопроса Фукс проводит для случая двух переменных и формулирует условия разрешимости задачи, т. е. существование выражений Z\ = F\{ux, и2), z2=F2(u\, «г), где Fu F2— обобщения абелевых функций. Таким образом, вопрос сводился к изучению случая т = 2, когда неоднородная линейная группа аМ] + ^Ы2 + Сі; yui + öu2+c2, где а, ß, у, б — элементы под­ становок группы монодромии линейного уравнения второго по-

359