книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

нее упоминалось, не имеет места. Определяемые этим уравнени­ ем функции играют важную роль как в теории, так и в прило­ жениях, при решении многих задач математической физики (см.

также [18.2, гл. 9]).

Исследование гипергеометрического уравнения в XVIII и первой половине XIX века тесным образом переплеталось с изу­ чением известного гипергеометрического ряда, являющегося одним из интегралов упомянутого уравнения. При этом в основ­ ном уделялось внимание установлению различных соотношений между интегралами гипергеометрических уравнений и установ­ лению формы коэффициентов последних, если между их инте­ гралами существовали данные связи. Но уже в известном мемуаре Куммера [198.2] получено шесть независимых интегралов, которые, по более поздней терминологии, образовали фундамен­ тальную систему попарно принадлежащих к особым точкам 0, 1

иоо. Хотя в мемуаре Куммера посвящалась специальная глава

(7)изучению гипергеометрической функции F(a, ß, у, х) при изменении аргумента х в комплексной области, принципиальное распространение теории на общий случай комплексного перемен­ ного, как уже отметил Папперитц [229.2, 66], лежало вне поля зрения Куммера; для этого не были еще созданы тогда соответ­ ственные теоретические предпосылки. Найденных Куммером ре­ шений все же было недостаточно для получения общего интегра­

ла уравнения

во всех случаях с помощью простых определенных интегралов. Этот пробел восполнен в работе Якоби.

В капитальном труде [40.2, гл. Ill] А. В. Летникова (97) посредством разработанного им метода междупредельного диф­ ференцирования с произвольным указателем получены не толь­ ко все указанные Якоби, но и некоторые новые виды частных решений гипергеометрического уравнения и притом в более краткой и удобной форме. Их было вполне достаточно для полу­ чения общего интеграла рассматриваемого уравнения в различ­ ных частных случаях.

Новая эпоха в учении о гипергеометрических функциях была связана с развитием общей теории аналитических функций, что нашло плодотворное отражение прежде всего в ряде работ Рима­ на. В первой из них, законченной в 1856 г. [246.3], имелось целью дать легко обозримую теорию гипергеометрических функ­ ций от комплексного аргумента на основе того метода, принцип ко­ торого был изложен ранее в его докторской диссертации. Здесь была четко проявлена основная тенденция рассуждений Римана, в основе которой лежало изучение функции не по формуле, а по ее основным свойствам. Он исходил из линейного дифференци­ ального уравнения с алгебраическими коэффициентами, опреде­

340

ляя функции достаточным числом неза­ висимых условий, в частности их гранич­ ными условиями и совокупностью точек разрыва, и выводя отсюда другие их свойства.

Изучаемую функцию Риман обозна­

она однозначна и конечна для всех зна­

чений X , кроме а, Ь, с; 2) между любыми тремя ветвями этой функции P', Р", Р'" имело место линейное однородное соот­

где Са, Са>,..., Су>— постоянные, а функции Ра, ..., Р у' подчине­ ны некоторым условиям. Относительно шести величин (показателей)

+ у' = 1-

Из определения P -функций получалась возможность ряда их преобразований, откуда, в частности, следовало, что в основу исследования, не нарушая общности, можно было положить изу­

Далее Риман уточняет поведение функции в области особых точек при обходе последних по любым замкнутым путям и по­ лучает соответственные формулы. В процессе следующих выкла­ док была установлена, по дальнейшей терминологии, группа монодромии и ее свойства. Что же касается вопроса о существо­ вании функции, удовлетворяющей поставленным требованиям,

1 В противном случае в общем интеграле соответствующего дифференци­ ального уравнения, как известно, появляются логарифмические члены. Общие свойства таких интегралов были известны Риману, как это следует из [246.6].

341

то он выяснялся далее при построении функции с помощью опре­ деленных интегралов и гипергеометрических рядов. Таким об­ разом, существование ее доказывалось одновременно с предста­ вимостью.

При этом Риман отмечал, что для доказательства существо­ вания не потребуется особого исследования, в чем можно усмот­ реть понимание им трудностей такого доказательства в случае произвольного числа (больше трех) критических точек.

После изучения различных соотношений и свойств Р-функций Риман приходит к выводу о том, что «всякая Р-функция удовле­ творяет некоторому линейному однородному дифференциально­ му уравнению второго порядка» [246.3, 171]. Он также устано­ вил связь гипергеометрической функции Гаусса с функцией Р, откуда легко получалось представление P -функции через опре­ деленный интеграл. Риман при этом отметил, что можно было бы использовать такой определенный интеграл с самого начала для определения функции и вывести отсюда непосредственно свой­ ства P-функций. Эта идея была чуть позже воплощена в жизнь учеником Римана И. Томе (98), опиравшегося как на принципы своего учителя, так и на идеи Коши, и установившего свойства

манового интеграла и исследуя подходящие пути интегрирования

вкомплексной области.

Вследующей работе из данного цикла [246.5] Риман рас­ сматривал разложение в непрерывные дроби частного двух смежных P-функций, исследуя сходимость получаемых подходя­ щих дробей. Этот же вопрос решался потом в работах Гейне (1857 г.), Л. Томё (1866 г.) в диссертации Ван-Влека (1894 г.).

Большой интерес представляют и лекции Римана о гипергео­ метрических функциях. Характеристику их, довольно подроб­ ную, находим в докладе [277] австрийского математика Виртингера (99) и краткую — в книге Клейна [192.11,294]. В этцх лекциях рассматривалось установление группы монодромии ме­ тодом варьирования пути интегрирования, когда х совершал обход около особой точки. Еще до публикации этих лекций и независимо от результатов Римана аналогичным вопросом за­ нимались И. Томе, Фукс, Матье, Шлефли и др. Несколько позже подстановки перехода для получения группы монодромии други­ ми путями выводились в работах Папперитца [229.1], Вольца

(1893 г.), Перрона (1913 г.), Хилла (1919 г.) и др.

Значительно раньше ряд интересных результатов был полу­ чен в работах Летникова. Так, в статье [40.3] он подробно изу­ чил определенные интегралы, зависящие от функций, удовлетво­ ряющих уравнению

342

подобные. С помощью символов междупредельных производных с произвольным указателем имелось в виду представить в одном общем выражении различные по виду и по свойствам частные решения одного и того же дифференциального уравнения. Этот вопрос был им решен как для уравнения (14.7), так и для формы интегралов (14.8).

Представление гипергеометрических функций и их обобще­ ний в форме определенных интегралов было предметом интерес­ ных исследований Геймана (1884 г.), Шафхейтлина (1887 г.), Г'урса (1887 г.), Виртингера (1902 г.), Некрасова (1904 г.) и мно­ гих других математиков. Особенно широко этот предмет тракто­ вался в многочисленных работах Похгамера (1890 г. и др.). Он нашел отражение и в трудах И. Р. Брайцева, в частности в моно­ графии [8].

Новый этап в учении о гипергеометрических функциях связан с работами Вейерштрасса по общей теории аналитических функ­ ций. С тех пор начинает наблюдаться весьма характерная и для дальнейшей эпохи тесная связь теории гипергеометрических трансцендентных с родственными теоретико-функциональными дисциплинами. Эта теория начинает занимать одно из важней­ ших мест в общей системе знаний как ее неотъемлемая состав­ ная часть и притом как начальная ступень более общей теории линейных дифференциальных уравнений.

Сочинение Вейерштрасса [275.4] по теории факториалов (1854 г.) уже содержало ряд теорем, необходимых для строгого обоснования учения о гипергеометрических функциях при изме­ нении аргумента во всей комплексной плоскости, когда в основу полагается степенной ряд. Таким образом, функция определя­ лась системой продолжаемых друг из друга степенных рядов. Вместе с тем был уточнен вопрос о сходимости общего гипергео­ метрического ряда.

Для дальнейшего прогресса в учении о гипергеометрических функциях было важным выделить принадлежащий им класс алгебраических функций. Решение этой задачи предпринято в 1871 г. в классическом мемуаре Шварца [257], содержащем за­ мечательное по простоте и изяществу толкование особенностей изучаемых им функций. Опираясь здесь на учение Вейерштрасса и результаты других ученых, Шварц создал по существу новое направление в изучении гипергеометрических функций и пред­ ложил общий весьма остроумный метод определения алгебраиче­ ских интегралов рассматриваемых уравнений, о чем частично шла речь ранее (гл. 13, §5). Большой заслугой Шварца было рассмо­

343

трение и исследование величины s от­

вого треугольника больше я или нет. Таким образом, оказалось возможным установить полную систему алгебраических s-функ- ций. Теорема Шварца позволяла также решить вопрос, является ли однозначной обратная функция x(s), а также определить имевшую место естественную границу обратной функции в фор­ ме круга или прямой линии. Каждая точка такой линии, как из­ вестно, будет существенно особой для этой функции.

Ввиду особой важности и большого интереса для науки в дальнейшем уравнение вида (14.9) и его обобщения стали на­ зывать уравнением Шварца, а его решения получили название функций Шварца; функции, обратные функциям Шварца, при­ надлежат к классу автоморфных. (В более общей форме см. об этом в [16.3, гл. VI]).

Фундаментальные результаты Шварца в скором времени до­ полнялись статьями и заметками Клейна (1877г.), Кэли (1878 г), Бриоски (1881 г.), Альфена (1881 г.), Гумберта (1888 г.), в за­ ключительной части статьи [263] Ж. Таннери и других. Несколь­ ко по-иному вопрос об алгебраичности интегралов гипергеоме­ трического уравнения полностью решен А. А. Марковым в статьях [45.1.—2.—3.—4]. Он рассмотрел там все случаи, когда произведение двух интегралов уравнения вида (14.5) было це­ лой функцией от х, а также все случаи, когда это уравнение до­ пускало интегралы некоторого специального вида. Он изучил свойства указанной целой функции, а также распределение ну­ лей гипергеометрической функции при определенных соотноше­ ниях ее параметров а, ß, у.

1 См. также (13.15), (13.16).

344

Вопрос о необходимых условиях алгебраичности интегралов гипер­ геометрического уравнения рассма­ тривал Ландау в 1904 г., Стридсберг — в 1910 г.

Первой обзорной работой по теории гипергеометрических рядов и функций на русском языке была небольшая книжка М. Г. Баранецкого [4] (1873 г.). Более глубоко и подробно с дополнениями автора материал охвачен в магистерской диссертации [76] М. Тихомандрицкого. Здесь были использова­ ны основные достижения изучаемой теории, в том числе работы Римана, Фукса, Похгамера и лишь упомяну­ то о результатах Шварца.

Широкое освещение теория ги­ пергеометрических функций полу­ чила в работах Гурса, публиковав­

шихся в течение нескольких десятилетий. Одна из крупных статей этого цикла [163.1] составляла его докторскую диссерта­ цию (1881 г.). Эта работа содержала полную для того времени теорию дифференциального уравнения (14.5) без ограничения рассматриваемой области переменных. Много внимания уделил Гурса специально проблеме преобразования гипергеометриче­ ских рядов, поставленной в довольно общей форме еще Куммером. Этот вопрос в более общей форме Гурса трактует в боль­ шом мемуаре [163.2], подробно исследуя свойства рациональной функции, которая определяла рациональные преобразования гипергеометрических функций. Теорема Гурса после соответст­ вующего обобщения была применена Папперитцем (100) в [229. 1] вообще для всех алгебраических преобразований, но в пред­ положении, что Я, |х, V должны быть только рациональными числами.

Папперитц же в [229.2, 73] подчеркнул глубокое значение доказательства различия суммы величин Я + ц + ѵ от единицы для теории преобразования, что было уже осознано и Шварцем.

Именно, если Я + ц + ѵ ^ 1, то отсюда следовала классификация

гипергеометрических функций: 1) алгебраические; 2) гипергео­ метрические функции, которые преобразуются в логарифмиче­ ские, круговые функции и эллиптические интегралы; 3) собст­ венно гипергеометрические трансцендентные. Последние образу­ ют хорошо определенную область аналитических функций с общими существенными свойствами, которые были еще мало изучены.

Цикл работ касался теории квадратичных (Гобсон и Барнес)

345

и кубических (Ватсон и Фоулер) преобразований гипергеометри­ ческих функций, получивших начало в трудах Римана. Вопрос об обращении гипергеометрической функции и приведении ее к эллиптическим, а также к гиперэллиптическим интегралам изу­ чался в работах А. П. Полякова [58.1.—2.]. Исследование пре­ дельных случаев P -функции Римана, т. е. когда две или три ее особых точки совпадали в одну, образуя существенно особую точку, было выполнено М. И. Акимовым в 1907 г.

Одним из основных направлений в исследовании гипергеоме­ трических функций было изучение распределения их нулей или корней. Особенно важными и плодотворными оказались в этом отношении несколько заметок (появившихся в 1890 г.) и статья [192.6] Ф. Клейна. Здесь был развит новый, весьма замечатель­ ный как по содержанию, так и по результатам метод определе­ ния числа действительных корней, которыми обладала гипергео­ метрическая функция F(а, ß, у, х) при действительных значени­ ях параметров и для значений х между нулем и единицей. Этот метод был основан на конформном отображении положительной полуплоскости на треугольник, ограниченный круговыми дуга­

Так было положено начало новому направлению исследова­ ний. Их потом продолжили Гурвиц, Портер, Монтессю, Гегенбауэр, Ван-Влек и другие. Ван-Влек и независимо от него Гур­ виц рассматривали вопрос об установлении числа комплексных корней гипергеометрической функции. Гурвиц же установил за­ мечательное свойство корней гипергеометрической функции, со­ стоящее в том, что можно было указать область на плоскости, в которой расположены все корни этой функции.

Новые результаты о распределении корней гипергеометриче­ ской функции на плоскости получены в статье [1.2] К. Ф. Абра­ мовича (101), распространившего метод Гурвица для различных ветвей римановой функции Р. Он же подытожил и изложил в оригинальной обработке исследования гипергеометрических функций с одной так называемой особой по виду точкой (Nebenpankte) в большой статье (1.1). Здесь были обобщены получен­ ные ранее результаты Риттера, Шиллинга, Франца и др.

Из работ, трактующих применения гипергеометрических функций, мы укажем лишь на обширную, богатую содержанием монографию Л. К. Лахтина [39.1], где дана систематическая об­ работка теории алгебраических уравнений, разрешимых в гипер­ геометрических функциях.

Здесь мы не останавливаемся на довольно многочисленных исследованиях некоторых специальных видов гипергеометриче­

346

ского уравнения, а также на различных видах обобщений гипер­ геометрических уравнений, представляющих также несомненный интерес для изучаемой теории.

§ 4. Уравнение Ламе

Уравнение Ламе в общем виде может быть рассмотрено как принадлежащее к следующему по классу сложности после гипер­ геометрического. Это линейное уравнение второго порядка с че­ тырьмя полюсами: а и а.2 , аз, Оно встречается в различных формах в зависимости от характера исследования. Это уравне­

где аи 02, Оз, А, В — константы. Заменой x = z2, w = g(x) оно пе­ реходит в так называемую алгебраическую форму 1

С теорией дифференциального уравнения Ламе тесным обра­ зом связано решение вопроса о том, когда линейное дифферен­ циальное уравнение имеет решением полином. Как отметил Шлезингер в [254.10, 163], первоначально вопрос самим Ламе в 1857 г. ставился именно о том, когда дифференциальное уравне­ ние вида

быть целым (положительным) числом и, кроме того, параметр h выбирается как корень некоторого алгебраического уравнения. Тогда число п определит степень целой рациональной функции, которая принадлежит к так называемым полиномам Ламе.

Если в дифференциальном уравнении вместо х рассмотреть но-

X

fУВctx(х) , то интеграл

его представится как функция двоякопериодическая и притом целая от snt, ent, dnt.

1 См. о нем также в следующей главе, § 4.

347

Уравнение Ламе было предметом исследования Лиувилля, давшего ряд общих теорем, Гейне, определившего в 1860 г. ос­ новные свойства функций Ламе (см. о них в [222]). Целую серию сообщений этому предмету посвятил Эрмит в 1877 г. Основной целью их было впервые рассмотренное им определение общего интеграла уравнения Ламе вида

при целых положительных п, но для любого значения параметра Н. Так же, как и в отдельных случаях для частных значений /г, Эрмит показал, что общее решение уравнения (14.13) при лю­ бом h всегда есть однозначная функция (но вообще уже не дво­ якопериодическая). При этом исследование частных случаев п= 1, п = 2 предшествовало общему. Случай п=1 позволял при­ менить результат к проблеме вращения твердого тела около не­ подвижной точки без ускоряющих сил и вел к формулам, полу­ ченным Якоби в 1849 г. Следовали и другие применения (фигу­ ры равновесия упругих пластин, сферический маятник и т. п.). Это важное исследование Эрмита имело фундаментальное значение, так как представляло первый и притом, по замечанию1 Шлезингера [254.10, 164], образцовый пример метода интегри­ рования, который позже был обобщен Пуанкаре на любое диф­ ференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами и состоял в том, что зависимая и независимая переменные подоб­ ного дифференциального уравнения представлялись как одно­ значные функции некоторого параметра, т. е. по существу при­ менялся метод униформизации.

Полученные результаты Эрмита были обобщены затем в ра­ ботах Фукса, Бриоски, Пикара, Миттаг-Леффлера и других, рассматривавших такие виды дифференциальных уравнений с двоякопериодическими коэффициентами, интегралы которых бы­ ли однозначными функциями без существенно особых точек в конечной части плоскости. При этом Пикаром было доказано, что эти однозначные функции есть эллиптические функции (по термину Эрмита) второго вида, т. е. такие, которые при увели­ чении аргумента на период умножаются на постоянный множи­ тель. Для этого вида уравнений также рассматривался вопрос о представлении зависимой и независимой переменных как одно­ значных функций эллиптических интегралов первого вида, для чего давались необходимые и достаточные условия. Полученные результаты для уравнений второго порядка были обобщены по­ том Пикаром на уравнения любого порядка; его доказательство пополнено Миттаг-Леффлером. (См. об этом подробнее в моно­ графии Краузе [197]).

Теория дифференциального уравнения Ламе была продолже­ на и обобщена Клейном в работах [192.3,—5] несколько в ином направлении. Если в исследовании Эрмита частные значения па­

348