книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

не более трех особых точек, т. е. может быть всегда приведено к гипергеометрическому. Таким образом, указывалась возмож­ ность явного установления интегрируемых алгебраически всех дифференциальных линейных уравнений второго порядка. Тео­ рема же Фукса о высшем пределе степени для примформ низ­ ших степеней давала критерий, как установить при помощи ко­ нечного числа операций, обладает ли данное уравнение указан­ ного вида алгебраическими интегралами или нет. Теоретико­ инвариантные свойства примформ низшей степени были предметом исследования Гордана (в 1877 г.) и других ученых.

Дальнейшее плодотворное развитие для уравнений порядка выше двух рассматриваемая проблема получила в работах Фук­ са в 1882—1883 гг. Здесь теория форм применяется сначала для исследования алгебраичности интегралов уравнения третьего порядка вида

срациональными коэффициентами и регулярными интегралами

вокрестности всех особых точек, когда корни всех определяю­ щих фундаментальных уравнений есть рациональные числа. Да­ лее рассматривается неприводимое уравнение п-й степени меж­

ду тремя фундаментальными интегралами

где / — целая однородная функция с постоянными коэффициен­ тами. При этом установлено, что в случае п = 2 каждый интеграл есть квадрат интеграла дифференциального уравнения второго порядка с рациональными коэффициентами. Если же п > 2, то интегралы уравнения (13.17) есть алгебраические функции от г. Эти исследования Фукса стали исходной точкой для теории ин­ тегральных кривых и инвариантов. Установленная Фуксом тео­ рема для п = 3 была обобщена в диссертации Людвига Шлезин­ гера (1887 г.) на случай п = 4 и в работе Валленберга [272.2] на любое п. Результаты Фукса для п= 3 алгебраическим путем для форм третьей степени были найдены в диссертации Липмана Шлезингера (1888 г.). Дальнейшее развитие вопрос получил благодаря применению понятия группы преобразований в рабо­ тах Фано (1895 г.) и Людвига Шлезингера [254.1, т. II, ч. 1].

Приложение теории форм для исследования алгебраичности интегралов линейных уравнений было впервые применено Лепи­ ным в 1863 г., однако, с получением, как позже показал Фукс, неверных результатов. После этого Пепин опубликовал одну статью в 1877 г. и большую работу [233], где старался сочетать начало своего прежнего изложения с новыми методами Фукса и их дополнениями, хотя и без ссылок на это.

Вскоре после первых работ Фукса по данному вопросу была опубликована статья Бриоски [111], где пополнялось учение о

330

примформах относительно их ковариантов и инвариантов и уточ­ нялся ряд заключений о виде форм и их значении. Метод Бриоски подробно позже освещен и развит Форсайтом. Но еще рань­ ше, в 1880 г., появились заметки Дарбу, положившие основу новым приложениям теории форм. Идеи Дарбу были затем раз­ виты в большой работе Альфена [167.2]. Здесь все приложения теории форм основаны на рассмотрении формы, получаемой из формы f(z\, z-2, ... zm) с постоянными коэффициентами посредст­ вом некоторой линейной подстановки, коэффициенты которой — функции X.

Дальнейшее развитие и обобщение полученных ранее резуль­ татов в этом направлении находим в магистерской диссертации [21] Н. М. Гюнтера (96). Еще раньше он исследовал вопрос об интегрируемости в гипергеометрических функциях уравнений (13.14). Решение этой задачи находилось в тесной связи с отыс­ канием алгебраических интегралов данного уравнения. В диссер­ тации [21] Гюнтер разобрал предыдущую теорию вопроса и ис­ следовал среди других проблем задачу интегрирования линей­ ного однородного уравнения с рациональными коэффициентами т-го порядка, если известна некоторая форма степени п с по­ стоянными коэффициентами f(yі , t/2, . . . , Ут), составленная из линейно независимых неизвестных частных решений, в функции независимой переменной. Гюнтер установил достаточные усло­ вия того, чтобы общий интеграл уравнения был алгебраической функцией, и рассмотрел также некоторые случаи, когда эти условия не выполняются. На указанной основе им построена теория уравнений второго порядка с общим алгебраическим ин­ тегралом. В таком же направлении рассматривалась и теория уравнений третьего порядка. В процессе этой работы были обна­ ружены и исправлены ошибки в упоминаемых ранее трудах его предшественников (мемуаре Бриоски, диссертации Липмана Шлезингера и др.). Н. М. Гюнтер обратил особое внимание на случай, когда уравнение третьего порядка принадлежит к числу уравнений, которые получаются при составлении уравнений для произведения соответственных интегралов двух уравнений вто­ рого порядка одного и того же рода, подобно тому, как это на­ блюдалось в теории гипергеометрических уравнений. Он дал не­ обходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение третье­ го порядка принадлежало к указанному классу. Особенно детально со многими рационализациями разобран случай урав­ нения второго порядка, когда его общий интеграл — алгебраи­ ческий и когда или произведение двух независимых частных ин­ тегралов его, или некоторый его частный интеграл равны кор­ ням из рациональных функций.

Иное направление развитие вопроса получило в работах Жордана, посвятившего цикл статей 1876—1877 гг. изучению проблемы алгебраически интегрируемых дифференциальных

331

уравнений второго и любого высшего порядка. При этом им был развит метод, дающий возможность установить для каждого значения п все конечные группы линейных подстановок из п пе­ ременных. По существу рассматриваемая проблема затем тесно связывалась с установлением всех конечных групп линейных подстановок, поскольку для алгебраической интегрируемости было необходимо и достаточно, чтобы соответствующее уравне­ ние принадлежало к фуксовому типу и чтобы его группа монодромии была конечной. В случае п = 2 получилось совпадение с уже известными результатами Клейна. Для п = 3 Жордан пред­ ложил таблицу конечных групп, которая была затем еще попол­ нена Клейном (в 1879 г.) и Валентинером (в 1889 г.). Жордану удалось доказать весьма общую теорему о том, что если урав­ нение (13.3) порядка п с рациональными коэффициентами имеет алгебраические интегралы, то оно имеет п частных решений, удовлетворяющих двучленным уравнениям, правые части кото­ рых есть рациональные функции независимого переменного и корней вспомогательного уравнения, порядок которого ниже не­ которого предела, зависящего только от п. Аналогичный круг вопросов позже рассматривался в статьях Бличфельда.

В одной из первых статей по этой же проблематике Фробениус [151.2] показал, что если все интегралы однородного линей­ ного дифференциального уравнения алгебраические, то он дол­ жен обладать таким интегралом, через который все другие вы­ ражаются рационально. Это условие применяется к изучению уравнений фуксового типа. Добавляя сюда еще условие о непри­ водимости уравнения, Фробениус получает важное представле­ ние о том, что все интегралы такого уравнения будут алгебраи­ ческими, как только его порядок станет выше второго.

дифференциальных уравнений, с использованием результатов Шварца, Клейна, Жордана и других были предметом одного из первых исследований по данной тематике в русской литературе А. В. Васильева [12.2].

Опираясь на вышеуказанные работы Жордана, Пуанкаре сначала для случая уравнения третьего порядка строил линей­

В первой из заметок [237.7] положение было исправлено, и Пу­ анкаре показал, как, исходя из известной конечной группы, мож­ но построить бесконечное множество линейных дифференциаль­ ных уравнений с рациональными коэффициентами, обладающих алгебраическими интегралами. Эта же тема нашла освещение в большой работе Пуанкаре [237.21]. Здесь были использованы

332

групп и показана взаимосвязь теорий этих двух математиков. Идеи Фукса, Жордана, Клейна нашли продолжение и разви­ тие в работах Отона, написанных в 1882—1884 гг. Здесь автор выяснил, как отражается на неприводимом алгебраическом урав­ нении Н = 0 простой степени т =р + п, корни которого удовле­ творяют дифференциальному линейному уравнению У=0 поряд­ ка р, существование между т корнями п линейных однородных соотношений с постоянными коэффициентами. Он изучал сна­ чала случай, когда т простое и п <4. При этом, если п=1, гп — простое число и коэффициент при члене, содержащем степень т—1 в уравнении # = 0, отличен от нуля, то уравнение Н = 0 — абелево и У=0 обладает фундаментальной системой интегралов, из которых один — рациональный, а р—1 = т —2 других — кор­ ни т-й степени из рациональных функций. Далее так же подроб­ но изучены случаи т = 2, т —3 и получены две новых теоремы [65.3, 157]. Мемуар [95.2] посвящен общему исследованию осо­

бенностей групп вышеуказанных уравнений # = 0.

К рассмотренным работам примыкают первые исследования

Ух Ух

у 1, у2, уъ уравнения (13.19). Обобщая метод Шварца и Клейна, Пенлеве получает систему уравнений для і, и, интеграл которой должен быть также алгебраическим. Значения систем (t, и) для данной величины х образуют затем конечную группу (а) линей­ ных подстановок, и имеется два фундаментальных инварианта этой группы ф(£, и), ф(£, и), являющихся рациональными функ­ циями от X : у = Р(х), ^ = Q(x). Систему уравнений для t, и мож­ но потом преобразовать в систему уравнений для Р, Q, которая допускает систему рациональных интегралов. Если они, а зна­ чит, и t, и известны, то получаем

Таким образом, чтобы интеграл уравнения (13.19) был алге­ браическим, необходимо и достаточно: 1) чтобы а было лога­ рифмической производной рациональной функции; 2) для груп­ пы (а) уравнения относительно Р, Q допускали систему рацио­ нальных интегралов. Пенлеве показал, что при помощи конечно­ го числа операций можно узнать, соответствует ли интеграл уравнения (13.19) данной конечной группе (т. е. является ли он алгебраическим). Особого рассмотрения требовал случай, когда группы были аналогичны группам диэдра. В этом случае, как отметил Пуанкаре, уравнение (13.19) приводилось к квадрату­

333

рам. Там же показано применение предыдущего метода к линейным диф­ ференциальным уравнениям любого порядка, а также к системам уравне­ ний с частными производными, в пред­ положении выполнения условий инте­ грируемости.

С начала 90-х годов вопрос об отыскании алгебраических интегралов линейных уравнений довольно активно обсуждался в русской математической литературе. Мы уже упоминали о важ­ ных результатах Н. М. Гюнтера. Но еще раньше эта тема была предметом подробного обзора с рядом уточнений и дополнений в интересной моногра­ фии [62] (глава III) С. Е. Савича. Затем следовала статья В. П. Ерма­

кова [24.1], где вопрос трактовался для уравнения второго по­ рядка, и в попытке его простейшего решения автор старался обойтись без теории подстановок. После этого появилась обшир­ ная работа [39.2] Л. К. Лахтина, где, продолжая и расширяя исследования Клейна, изучались свойства так называемых диф­ ференциальных резольвент п-го порядка, т. е. линейных диффе­ ренциальных уравнений, которым удовлетворяют все корни дан­ ного алгебраического уравнения, имеющего коэффициентами рациональные функции независимого переменного. Лахтин дал также применения к уравнению третьего порядка, но, как отме­ тил Д. Синцов [65.3, 158], он не обратил внимания на результа­ ты указанных выше работ Пенлеве, Отона и др. Последние были скоро дополнены в статьях главным образом Буланже, Кемп­ белла и др. Дальнейшие глубокие результаты на теоретико-мно­ жественной основе в данном направлении получены в большой, статье Фано [142].

Параллельно с этими шли работы Фукса и его учеников и последователей, рассматривавших главным образом вопрос о линейных однородных уравнениях n-го порядка, между п фунда­ ментальными интегралами которых существовало п—2 однород­ ных соотношений степени выше первой. При его решении Лип­ ман Шлезингер использовал так называемые дифференциаль­ ные инварианты. Далее этот вопрос развит в работах Круга, Макса Мейера — для уравнений четвертого порядка, когда были получены другим путем результаты диссертации Людвига Шле­ зингера. Дальнейшее применение теории форм и дифференци­ альных инвариантов содержалось в работах Фукса, Бриоски, Вукичевича, Миттаг-Леффлера, Валленберга и др.

В тесной связи с отысканием алгебраических интегралов ли­ нейных дифференциальных уравнений стояла задача установле­

334

Г л а в а XIV. ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ

§ 1. Уравнения класса Фукса

Уравнения класса Фукса принадлежат к общему типу ли­ нейных дифференциальных уравнений с рациональными коэф­ фициентами и обладают интегралами, все особые точки которых регулярны. Они впервые в общем виде были изучены Фуксом, развившим глубокую теорию их исследования и интегрирования, что и послужило затем основой для их названия. Регулярные особые точки рассматриваемых уравнений, в том числе и бес­ конечно удаленные, для их коэффициентов являются полюсами. Уже в работе Фукса 1865 г. были установлены необходимые и достаточные условия принадлежности уравнения к фуксовому типу, если оно задавалось в форме

При этом ф(х) = (х—аі) (х—а2) ... (х—ат ), а gh(x) — многочле­ ны по X степени не выше k. Необходимо друг от друга отличные значения аі, а2, ..., ат являются координатами особых точек уравнения в конечной части плоскости, к которым в общем до­ бавляется еще flm+i = 0°. Если корни принадлежащего к х=оо определяющего уравнения рассматривать как результат полу­

ченного после преобразования z= — и к z = 0 принадлежащего

уравнения, то последние можно взять, следуя Гефтеру [171.1], с противоположными знаками.

В первых же работах Фукса были установлены основные со­

І=1 у=1

Если величины Гц удовлетворяют лишь условиям (14.2), то можно, задав особые точки, составить дифференциальное урав­

336

нение, в котором для 2 функции gi(m-i)(x) содержат еще по і(т—1)—т произвольных констант. Изучая далее вопрос о соот­ ношениях между особыми точками и корнями определяющих уравнений, Фукс [153.5] пришел к выводу, что по определении

последних для уравнения (14.1) остается еще ~^П2 ^ (яг + 1) +

+ 1—п2 произвольных параметров, которые затем по Клейну стали называться акцессорными (дополнительными).

Особый интерес для изучения представлял случай, когда все коэффициенты уравнения вполне определялись через показатели Гій. Для уравнений второго порядка при этом условии число осо­ бых точек могло равняться одной, двум или трем. В первом из

представляло особого труда [16.3, 227—228]. Более интересным был случай трех особых точек для уравнения второго порядка типа Фукса, получившего название уравнения Римана и послу­ жившего предметом исследований многих выдающихся матема­ тиков, особенно когда оно имело форму гипергеометрического уравнения.

Уравнения типа Фукса были предметом исследования ряда ученых. Так, в диссертации Гефтера (1886 г.) ставилось целью распространить некоторые свойства гипергеометрического урав­ нения на любое уравнение Фукса второго порядка, обладающее р особыми точками.

Аналогичный вопрос в 1875 г. рассматривал Зайферт в своей диссертации, но для случая трех особых точек (исключая точку бесконечности). Он делал предположение о совпадении двух из особых точек а, Ь, с и наметил путь решения, который был потом развит Гефтером, рассмотревшим также некоторое обобщение полученных результатов на уравнения более высокого порядка.

Случай трех особых точек для уравнения Фукса второго по­ рядка изучался также в диссертациях Шрентцеля в 1893 г. и Франца в 1899 г. Случай интегрируемости одного уравнения третьего порядка был установлен Томё в 1876 г.

В конце известного мемуара [94.2], отмеченного премией Шведского короля, Аппель сделал некоторые замечания об одно­ родных линейных дифференциальных уравнениях с алгебраиче­ скими коэффициентами, принадлежащих классу Фукса, опреде­ ляющие фундаментальные уравнения которых обладали цело­ численными корнями. Уравнения этого вида, а вместе с ними и интегралы, он разделил на три группы в соответствии с тем, что 1) их общий интеграл везде конечен и не имеет критических логарифмических точек; 2) имеет полюсы и не имеет критических

логарифмических точек; 3) обладает критическими логарифми­ ческими точками. Он дал также соотношения между подстанов­ ками, которые испытывают решения этих уравнений, когда пере­ ходят через разрезы, переводящие риманову поверхность, на которой коэффициенты уравнения однозначны, в односвязную. Несколько позже аппелево уравнение второго порядка и первого вида, обладающее такой группой, исследовал Витали в 1902 г., продолжив затем изучение тех же уравнений второго порядка и второго вида в 1904 г. и доказав теорему о возможном числе линейно независимых аппелевых уравнений второго порядка, об­ ладающих той же группой. Он рассмотрел и ряд соотношений для уравнений третьего вида. В то же время подробное исследо­ вание аппелевых уравнений второго порядка для особого случая, когда принадлежащая риманова поверхность была гиперэллип­ тической, произвел Сюхар в 1902 г. В частности, он показал, как должны быть определены коэффициенты, чтобы эти уравнения были первого вида.

В дальнейшем стали рассматриваться и уравнения фуксового типа с акцессорными параметрами. Этот вопрос для случая одного такого параметра изучался в диссертации Вакера в

1912 г.

§ 2. Уравнение Лапласа

Еще Эйлер, рассматривая общий вопрос о построении урав­ нений по заданным интегралам во втором томе интегрального исчисления [141.3, гл. X, § 1053 и след.], поставил задачу отыс­ кать уравнение, которому удовлетворял бы интеграл

где Р, Q — функции от х, а К —функция от и. При этом было найдено, что у как функция от и удовлетворяла некоторому ли­ нейному дифференциальному уравнению второго порядка. Ис­ ходя из такого же интеграла, в 1772 г. Лаплас построил общее уравнение n-го порядка

{айх + Ь0) г/(п>+ (а,дс + Ьх) г/'"-1) + ... + (апх + Ьп) у = 0,

которое получило его имя.

Уже у Лапласа встречается постановка вопроса о том, как в интеграле (14.3) определить функцию Р(х), чтобы он удовле­ творял любому заданному линейному дифференциальному урав­ нению с целыми рациональными коэффициентами. При этом оказалось, что Р(х) могло быть выбрано как решение некоторо­ го также линейного дифференциального уравнения. В дальней­ шем исследованиями различных видов этого типа уравнений в начале 30-х годов XIX века занимались Лиѵвилль, Шерк и дру­ гие [172.2, 555].

338

Саналитической точки зрения уравнение Лапласа изучалось

вработах Пуанкаре [237.14], Пикара [235.17, гл.XIV, §2], Шле­

зингера [254.1 т. 1, часть 7, гл. IV]. Результаты Лапласа, в част­ ности известное его преобразование, сыграли потом заметную роль в исследованиях Пуанкаре об асимптотическом представ­ лении интегралов линейных дифференциальных уравнений. Об этом шла речь в главе XII.

В 1892 г. Пинкерле [254.10, 172] показал, что посредством интеграла эйлеровского вида

S(z—x) P-'v(z) dz

могут быть представлены решения уравнения фуксового типа, когда v(z) выбрано как решение также линейного уравнения фуксового типа, и что знание группы последнего уравнения дает возможность простейшим способом определить группу данного дифференциального уравнения.

Преобразование Лапласа широко используется также в опе­ рационном исчислении и в других отраслях анализа. Чтобы рас­ пространить его применение с уравнений ранга 1 на дифферен­ циальные уравнения ранга <7+1, Биркгоф [100.1, 458] рассмотрел

где функции г),- определялись из системы линейных дифферен­ циальных уравнений, особые точки неопределенности которых были ранга q. Но каждая из них могла заменяться особой точ­ кой определенности посредством соответствующего ей преобра­ зования исходного дифференциального уравнения. Рассмотрение этого вопроса было тесно связано с изучением асимптотических разложений.

§ 3. Гипергеометрическое уравнение

Гипергеометрическое уравнение — одно из наиболее извест­ ных в анализе — было предметом исследования многих матема­ тиков на протяжении более чем двух столетий и история его мо­ жет быть интересным объектом отдельного исследования. Здесь мы кратко коснемся этого вопроса и только в самых основных пунктах.

Гипергеометрическое уравнение, принадлежащее к фуксовому классу уравнений с тремя особыми точками, представляет собой простейший пример линейного уравнения, не интегрируе­ мого в общем элементарными методами. Это единственное из уравнений порядка выше первого с тремя особыми точками, ин­ тегралы которого вполне определяются положением его особых точек и корнями определяющего фундаментального уравнения. Для уравнений с большим числом особых точек это уже, как ра­