книги из ГПНТБ / Трупак Н.Г. Замораживание грунтов в подземном строительстве

(Р cos ф) и перпендикулярную ей Р sin ф. На ледогрунтовое огра­ ждение давление будут оказывать первые составляющие. Вторые составляющие в виде симметричного расположения их относительно

В данном случае

2R H= D 1 + 2E,

следовательно,

р = р я Ф х + т .

Этому давлению должен сопротивляться замороженный грунт. Общее сопротивление замороженного грунта внешнему давлению

в полуцилиндре 2У а = 2 [ас] Е Л (высота полуцилиндра принята равной 1 м). [сгс] — допускаемое напряжение на сжатие заморожен­ ного грунта.

Исходя из условия равновесия сил,

Р = Рн (Di + 2Я ) = 2 [<тс] Е,

откуда

До последнего времени эту формулу часто применяли при расче­ тах толщины стены ледогрунтового ограждения.

90

\

Метод Лямэ — Гадолина. В 1852—1854 гг, французским инже­ нером Лямэ (Lam e) и русским академиком В . А. Гадолиным были предложены аналогичные методы расчета прочности орудийных стволов. Англичане этот метод называют методом Dwelshauwers-Dery.

В последующее время этот метод расчета стали применять для рас­ чета прочности любой конструкции цилиндрической формы с диамет­ рами, значительно большими, чем диаметры орудийных стволов. Он нашел широкое применение и при определении толщины стен ледогрун­ товых ограждений.

Метод расчета Лямэ — Гадолина основан на первой теории проч­ ности — по допускаемым напряже­ ниям; материал конструкции жестко­ упругий. Толстостенный цилиндр (ледогрунтовое ограждение) рассма­ тривается как полый толстостенный цилиндр неограниченной (бесконечно большой) длины (высоты), подвер­ гающийся действию равномерно распределенного внешнего давления р л (рис. 43).

Обозначим вертикальную ось ци­ линдра через z, а перпендикуляр­ ную ей ось — через г.

Вырежем в стене цилиндра малый элемент abed двумя радиальными (меридиональными) сечениями ob и ос и двум я сечениями ad и Ьс, явля ­ ющимися концентрическими поверх­ ностями цилиндра и имеющими ра­ диусы кривизны г и г -f- dr.

называют тангенциальными и обозначают через ot или ое.

Каждое горизонтальное поперечное сечение цилиндра испытывает вертикальное давление yh от веса расположенной выше части ци­ линдра высотой h. При равномерном распределении по поперечному сечению вертикальное давление вызовет в ледогрунтовой стене цилиндра внутренние вертикальные напряжения ог = yh.

91

Внутренние напряжения в ледогрунтовой стене цилиндра распре­ деляю тся симметрично относительно оси цилиндра. Т ак как каждая меридиональная плоскость ob или ос представляет плоскость сим­

Для установления зависимости между напряжениями о, и ог необходимо все силы, действующие на элемент abed, спроектировать на направление среднего радиуса тп элемента.

Для соблюдения условия равновесия элемента abed необходимо, чтобы

Можно принять, что

<Лр

~2~ ‘

Тогда уравнение равновесия элемента a bed будет

arr dep -)- о( dr d<p — arr dep — drrdtp — ar drdcp — drdr dtp — 0,

92

Уравнение (83) называют дифференциальным уравнением равно­

весия.

Уравнение (83) содержит два неизвестных напряжения — at и аг. Чтобы его можно было решить, необходимо иметь еще одно уравнение. Д ля этой цели надо при­ нять во внимание деформацию стены.

Обозначим через и радиальное переме­ щение какой-либо точки, находящейся на расстоянии г от центра стйола шахты. Радиальное перемещение точки, нахо­

(8 5 >

Помимо радиального удлинения, элемент стены abed получит удлинение г{ в направлении действия напряжения at. Величина относительного удлинения окружности равна величине относитель­ ного удлинения радиуса, поэтому

С другой стороны, абсолютное удлинение AI какого-либо тела при одноосном растяжении определяется по закону Гука:

а давление, приходящееся на единицу площади поперечного сечения

93

Опыт показывает, что продольное растяжение тела всегда сопро­ вождается поперечным сокращением его. Это сокращение предста­ вляет собой часть продольного удлинения и противоположно ему по знаку, т. е.

где — — постоянная величина (пуассоново отношение).

Знак минус в формуле (89) показывает, что et представляет собой относительное сжатие. В рассматриваемом нами случае элемент стены abed находится в двухосном напряженном состоянии или, другими словами, подвергается одновременному растяжению по двум взаимно перпендикулярным направлениям — силами а( и ог (см. рис. 44). При таком действии сил относительное удлинение, вызываемое одними силами, будет уменьш аться вследствие действия перпендикулярных им сил, которые вы зовут некоторое расширение тела в действующем ими направлении.

Д ля этого случая уравнения относительных удлинений будут иметь вид:

Уравнения (90) и (91) называют уравнениями линейных деформа­ ций. Они позволяют выразить тангенциальное и радиальное напря­ жения через относительные удлинения. Реш ая эти уравнения отно­ сительно ot и ап получим:

94

циальное уравнение равновесия):

1 — mi

После преобразований уравнение (96) примет вид:

Уравнение (97) имеет общий интеграл

где А и В — постоянные интегрирования. Чтобы определить по­ стоянные интегрирования, нужно обратиться к уравнениям (94) и (95). Подставляя в них вместо и его значение из уравнения (98), будем иметь:

°г=Лъ — ~ Р в■

Подставляя в уравнения (99) и (100) вместо г, R H и R B соответ­ ствующие им значения <У=нн и оЛ=Дв, а также решая это уравнение

относительно А и R , получаем:

9 5

При этих значениях А и В уравнения (99) и (100) будут иметь вид:

например, при устройстве водоводов (тоннелей). При этом условии

ДІРв

(106)

Ч - - Ч

Из этих уравнений видно, что at величина всегда положительная, следовательно, напряжения будут растягивающие. Наоборот, ради­

жения приближаются к предельному значению, равному внутрен­ нему давлению р в, другими словами, наибольшие тангенциальные напряжения всегда больше внутреннего давления.

Радиальные напряжения о, приобретают максимальное значение

приобретают максимальные значения на внутренней поверхности ограждения.

грунтового ограждения. Внутренние напряжения в ограждении возникают только от действия внешнего давления р и.

96

Оба напряжения имеют знак минус, следовательно, являются сжимающими напряжениями.

Далее из уравнений (108) и (109) следует, что тангенциальные напряжения оу всегда больше радиальных напряжений оу. При этом тангенциальные напряжения возрастают по направлению от внешней к внутренней поверхности ледогрунтового ограждения.

Наибольшие тангенциальные напряжения, а следовательно, и наи­ большая разность главны х нормальных напряжений оу — оу, будут размещаться на внутренней поверхности ограждения при г = R B. Максимальное тангенциальное напряжение

будет в 2 раза больше внешнего давления, действующего на ледо­ грунтовое ограждение.

на внутренней поверхности ледогрунтового ограждения. Действи­

Что касается радиальных напряжений ог, то на внутренней поверхности ледогрунтового ограждения, т. е. при г = і?в, согласно уравнению (109), ог=нв = 0. В этом нетрудно убедиться после подстановки в уравнение (109) значения г = R B. В самом деле:

Максимальное значение радиальное напряжение будет иметь па внешней поверхности ледогрунтового ограждения, т. е. при г = R B. После подстановки этого значения г в уравнение (109) получим

в стене жесткоупругого ледогрунтового ограждения показано на рис. 46. К ак видно из рисунка, тангенциальные напряжения воз­ растают от внешней к внутренней поверхности ледогрунтового ограждения, где они достигают своего максимального значения

и наибольшего значения по сравнению с радиальными напряже­ ниями ог. Другими словами, тангенциальные напряжения a t всегда больше радиальных напряжений а г.

Теперь необходимо доказать, что тангенциальные напряжения

p H = y z A ,

Далее ot max = — 2р н > аг (ог не может быть вдвое больше наружного давления). Таким образом, из всех действующих в стене

ледогрунтового ограждения нормальных напряжений наибольшим является тангенциальное напряжение at, а наименьшим — радиаль­ ное напряжение аг, т. е. ot > o z > o z.

Сумма тангенциального ot и радиального аг нормальных напря­

Из сказанного следует, что необходимую толщину стены ледо­ грунтового ограждения следует рассчитывать по наибольшему тан­ генциальному напряжению ot. Т ак как наибольшие тангенциальные напряжения располагаются на внутренней поверхности ледогрунто­

грунт имеет наименьшую прочность, так как он в этих местах охла­ жден до температуры, близкой к + 0° С.

Чтобы прочность ледогрунтового ограждения была надежной, величина наибольшего тангенциального напряжения ot m3X не должна

'98

превышать допускаемого среднего для всей стены напряжения [ас] на сжатие материала ледогрунтового ограждения, т. е.

Эту же задачу можно решить иначе: П олагая, что внутренний радиус R B ледогрунтового ограждения (радиус шахтного ствола в проходке) задан, решим уравнение (ИЗ) относительно і?н — наруж ­ ного радиуса ледогрунтового ограждения:

Необходимая толщина стены ледогрунтового ограждения опре­ делится из разности

E = R n — R B.

Метод Галянка — Худека. В методе, предложенном польским проф. Галянкой (I. Galanka) и инж. Худеком (М. Chudek), ледо­ грунтовое ограждение рассматривается как конструкция, состо­ ящ ая из жесткоупругого материала, подвергнутая равномерно рас­ пределенному радиальному давлению р„.

Однако при этом проф. Галянка отмечает, что вследствие откло­ нений замораживающих колонок от вертикального положения пред­ положение о равномерном распределении по поверхности ограждения внешнего давления р и не является достоверным.