книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

нен, т. е. эллипс не меняет своего положения, значит, его большая ось дает направление характеристики, вдоль которой вектор ско­

Кг

Рис. 150. Частный случаіі решения задачи 2

семейства I I , выходящей из точки М[ (или А') и эпициклоиды семейства I , выходящей из точки Nx. Если провести те же построе­

заметить, что прямолинейные характеристики непараллельны в об­

и изогональны, т. е. пересекаются под равными углами. В этом случае в плоскости годографа получим одну точку, т. е. весь газ движется прямолинейно и равномерно со сверхзвуковой ско­ ростью.

Задача 3. В плоскости потока задано распределение скоростей на характеристике AB, причем точка А лежит на твердой стенке (линии тока), и характеристика другого семейства, проходящая через точку А, идет внутрь стенки (штриховая кривая, рис. 151).

Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной твердой стенкой, заданной характеристикой и характеристикой другого семейства, проведенной через точку В до пересечения со стенкой в точке С.

Переносим заданную характеристику AB семейства I I в пло­ скость годографа и проводим через точки М{ и М? характеристики

280

семейства I . Затем с помощью эллипса проведем прямолинейный элемент характеристики семейства I через точку Мг плоскости потока до встречи с твердой стенкой в точке N1. Направление ско­ рости в точке Ni нам известно по условию: оно параллельно касательной к стенке в точке N1.

У

Рис. 151. Решение задачи 3 методом характеристик

Проводим в плоскости годографа луч с этим направлением до пересечения с характеристикой второго семейства в точке N{.

Пользуясь эллипсом, проводим элементы характеристик через точки Ni и М2 до их пересечения в точке Рх. Из Рг и М3 прово­ дим лучи до встречи в точке Р2 и т. д. Точки N2 и N3 строятся аналогично точке N{.

С

У

Рис. 152. Решение задачи 4 методом характеристик

Проводим биссектрисы, и поле скоростей в плоскости потока построено.

Задача 4. В плоскости потока задано распределение скоростей на характеристике AB, причем точка А лежит на свободной поверхности, форма которой неизвестна (рис. 152).

281

Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной заданной характеристикой, свободной поверх­

потока. Проведя между ними биссектрисы углов, находят поле скоростей.

На основе рассмотренных задач можно спрофилировать пло­ ское сопло Лаваля с параллельным потоком на выходе и заданным числом М.

Профилирование плоского сопла Лаваля

Предположим, что сопло после горловины имеет прямолиней­ ный участок ВС, составляющий с осью симметрии сопла угол а =

=4-=-6°.

Вэтом случае на сравнительно небольшом расстоянии от гор­ ловины установится сверхзвуковое радиальное течение с центром

в точке О (рис. 153). Если сделать сопло с плоскими стенками, то и на выходе поток будет радиальным, а не плоскопараллельным.

Спроектируем стенки сопла так, чтобы на выходе получить сверхзвуковой плоскопараллельный поток с заданной скоростью.

Так как сопло выполняем симметричным, то плоскость симме­ трии можно считать твердой стенкой и строить половину сопла.

282

При помощи известных из теории истечения формул найдем площадь выходного сечения сопла для получения заданной ско­

скорость ѵ2 при радиальном течении.

Пользуясь эллипсом Буземана, проводим через точку А ха­ рактеристики обоих семейств.

Пусть AM характеристика семейства I — она прямолинейна, так как скорости на ней мы считаем постоянными. Характеристику семейства I I через точку А проводим до пересечения с дугой

образом получим очертание профиля сопла. Через последнюю точку D проводим стенку параллельно плоскости симметрии сопла. Поток на выходе — плоскопараллельный. Плавность очертания стенки зависит от густоты расположения точек А, Ах, А.г, • - •

Отметим, что в области ЕСКА поток в сопле радиальный. Поворот потока происходит при переходе через прямолинейные, но непараллельные характеристики семейства I .

Течение вдоль выпуклой стенки

Пусть в точке А плоская стенка переходит в выпуклую (рис. 154). По заданной скорости ѵх с помощью эллипса строим

слева от нее поток газа плоскопараллельный. Очевидно, при этом мы получим условие задачи 3 (характеристика и твердая стенка).

283

Проведем с помощью эллипса Буземана элемент характери­ стики семейства I I через точку Мг, расположенную на характе­ ристике семейства I . Получим точку В на твердой стенке. Имея направление скорости в точке В, находим точку В' в плоскости годографа. Она лежит на эпициклоиде семейства I I , проходящей через точку А (В).

Рис. 154. Обтекание выпуклой стенки

Через точку В проходит прямолинейная характеристика се­ мейства I , что следует по доказанному из прямолинейности харак­ теристики А, МкМг. Те же рассуждения справедливы для любой точки твердой стенки, т. е. все характеристики семейства I будут прямолинейными. Имея сетку характеристик около выпуклой стенки, легко построить линии тока.

Рис. 155. Обтекание тупого выпуклого угла

Величины скоростей находим по плоскости годографа. По урав­ нению Бернулли находим давления в точках потока. В этом случае

При этом вдоль каждого луча вектор скорости постоянен.

284

Определим предельный угол Ѳп р 'отклонения сверхзвукового потока, при котором отрыва потока нет. Для этого воспользуемся плоскостью годографа скорости. По условию задачи стенка АО должна быть линией тока.

мы получили формулу, связывающую угол Ѳ между вектором ско­ рости и осью абсцисс с величи­

285

Г Л А В А VI

ОСЕСИММЁТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ

§ 32. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При анализе потока в турбомашинах большое внимание уде­ ляют осесимметричному движению газа в осевых зазорах осевых турбомашин, в щелевых диффузорах радиальных компрессоров, в кольцевых каналах входных и выходных патрубков и т. п.

тривается установившееся осредненное осесимметричное течение без учета внешних массовых сил. Для анализа осесимметричного течения удобно воспользоваться цилиндрической системой коор­ динат.

Рассмотрим основные уравнения газодинамики в этих коорди­ натах.

Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах

Выведем уравнение неразрывности в цилиндрических коорди­ натах, так как в дальнейшем нам придется его применять при анализе течения в ступени турбомашины. Положение точки M (рис. 157) в пространстве в цилиндрических координатах опреде­ ляется углом Ѳ между координатной плоскостью и плоскостью, проведенной через точку M и координатную ось z, и декартовыми координатами z и г точки во второй из упомянутых плоскостей.

Для вывода уравнения неразрывности опять мысленно выделим

времени. Количество жидкости, заключенное в выделенном объеме, уменьшается (или увеличивается) на величину вытекающей (или втекающей) через поверхность жидкости:

1) разность между массами жидкости, втекающей через перед­ нюю грань и вытекающей через заднюю грань выделенного

287

элемента, в единицу времени:

2) разность между массами жидкости, втекающей через левую грань и вытекающей через правую грань, в единицу времени-

3) разность между массами жидкости, втекающей через ниж­ нюю грань и вытекающей через верхнюю грань, в единицу времени:

Откуда, сократив на r dQ dr dz, получим уравнение неразрыв­ ности в цилиндрических координатах:

Уравнения движения идеальной жидкости в цилиндрических координатах

Как было сказано, в лопаточных машинах нам приходится иметь дело с осесимметричным движением жидкости (газа). По­ этому для анализа течения в лопаточных машинах удобно восполь­ зоваться уравнениями движения в цилиндрических координатах.

Воспользовавшись обозначениями, введенными при выводе уравнения неразрывности в цилиндрических координатах, запи­ шем проекции скорости в произвольной точке потока:

288

остается постоянным (параллельным оси г) для всех точек потока. Уравнение движения идеальной жид­

кости в цилиндрических координатах по­ лучим при помощи уравнения движения Эйлера в векторной форме, которая не зависит от выбора системы координат:

Из рис. 158 следует, что производные по времени от і и / будут равны соответ­ ственно:

и аналогично

Ho

Проекции уравнения движения на оси координат примут вид: