книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Д ля нелинейного уравнения сумма частных решений не дает

Поэтому были предложены различные способы линеаризации этого уравнения, т. е. способы сведения его к линейному диффе­ ренциальному уравнению второго порядка в частных производных, коэффициенты которого не зависели бы ни от ср, ни от его произ­ водных, а были бы постоянны или являлись функциями неза­ висимых переменных х и у.

В 1902 г. С. А. Чаплыгин дал оригинальный способ линеари­ зации уравнения (269). Он предложил ввести новые независимые переменные: величину вектора скорости.ѵ и его угол Ѳ с коор­ динатной осью. Таким образом, задача переводится во вспомога­ тельную плоскость годографа скорости, и решается в полярных координатах (ѵ, Ѳ).

Уравнение Чаплыгина имеет следующий вид:

Оно линейно, так как его коэффициенты зависят лишь от не­ зависимой переменной ѵ. Скорость звука а также является функ­ цией скорости потока в данной точке, что следует из уравнения Бернулли.

Метод характеристик

Одним из приближенных способов решения уравнения (269) является графо-аналитический метод характеристик. Решить это

Тке M (рис. 143):

270

или

VyM = VUD + { l f t - ) D (УМ — Уй),

т. е. задача сводится к нахождению частных производных в точках

271

где

в близлежащих точках потока ввиду неопределенности решения.

характеристики позволяют приближенно графически решать уравнение (269) при любых граничных условиях, т. е. находить картину линий тока. В дальнейшем будет показано, что при сверх­ звуковом течении скорость в данной точке потока всегда направ­

dx

272

При этом решение со знаком плюс обозначим цифрой I , а со знаком минус — I I .

Из уравнения (273) следует, что только при сверхзвуковом течении газа (и > а) существуют действительные характеристики. Поэтому будем рассматривать лишь сверхзвуковое течение газа.

Рис. 144. Взаимное расположение характеристик в плоско­ стях потока и годографа

Уравнение (274) дает вид характеристик в плоскости годографа скорости. В данном случае также имеем два семейства характе­ ристик, которые обозначим аналогично.

Из уравнения (274) следует, что в плоскости годографа харак­ теристики для всех потоков одинаковы и могут быть построены заранее, так как скорость а звука и проекции скорости их и ѵу потока связаны уравнением Бернулли

Выясним взаимное расположение характеристик в плоскости потока и в плоскости годографа.

На основании выражений (273) и (274) можно заключить, что элемент характеристики семейства / (//) в плоскости потока пер­

В самом деле,

a из аналитической геометрии известно, что это является условием перпендикулярности двух прямых (в нашем случае двух каса­ тельных к элементам характеристик в соответствующих точках плоскостей потока и годографа).

Выберем координатные оси таким образом, чтобы вектор ско­ рости в точке M был направлен по оси х (рис. 145), тогда

т. е. вектор скорости направлен по биссектрисе угла между каса­ тельными к двум характеристикам плоскости потока в точке их пересечения и составляет угол а м Маха с каждой из характери­ стик. Таким образом, характеристики в потоке газа направлены так же, как и волны Маха, составляя угол а м с вектором скорости в данной точке. Имея сетку характеристик и проводя биссектрисы углов между характеристиками, легко можно построить линии тока.

При этом чем меньше будут ячейки между характеристиками, тем точнее будет построение линий тока. Как указывалось выше, вид характеристик в плоскости годографа не зависит от вида

Подставляя полученные выражения в уравнение (274), получим

274

После несложных преобразований получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

имеем"».-f-d/s-'

Уже отсюда можно заключить, что кривая, построенная по уравнению (276) в переменных ѵ и Ѳ, расположена в кольце с вну­

Эти кривые называются эпициклоидами. Эпициклоиду описы­ вает точка окружности, катящейся без скольжения по другой окружности.

Но, как мы уже указывали, задача сводится к построению характеристики в плоскости потока.

Для графического перенесения характеристик из плоскости годографа в плоскость потока применяется эллипс Буземана.

Рис. 147. Эллипс Буземана в плоскости годографа

276

Его построение основано на следующем искусственном приеме. В уравнение Бернулли для сверхзвукового потока введем замену:

ѵ2 = а2 + с2,

тогда

будет отвечать определенной величине скорости потока (рис. 147). Вспоминая, что угол между вектором скорости и элементом характеристики в данной точке потока определяется соотноше­ нием sina = a/u, заметим любопытное свойство эллипса Буземана: угол между большой осью и вектором скорости равен углу между вектором скорости и элементом характеристики в плоскости потока. Таким образом, если эллипс расположен в соответствии с заданным вектором скорости, то большая ось эллипса дает на­

правление элемента характеристики в плоскости потока.

Легко заметить, что заданному вектору скорости отвечают два положения эллипса: одно, только что рассмотренное, и вто­

Основные задачи для плоского потенциального течения газа, решаемые методом характеристик

Рассмотрим ряд задач на построение сверхзвуковых плоских потоков.

К этим задачам, как мы увидим, можно свести любую задачу плоского сверхзвукового течения без скачков уплотнения.

277

Задача 1. В плоскости потока задано распределение скоростей

ходят известные характеристики в плоскости годографа. Точки их пересечения обозначим N{, . . .

Для этого совместим край эллипса с концом вектора скорости ѵ в плоскости годографа, например с точкой М[. Тогда направление большой оси эллипса дает направление элемента характеристики в плоскости потока. Совмещая другой край эллипса с той же точ­ кой М{, получим направление характеристики другого семейства в плоскости потока. Поступая так же с остальными точками, можно построить сетку характеристик в плоскости потока. Эти характе­ ристики будут состоять из отрезков прямых, что и раскрывает приближенность данного метода.

Как мы уже знаем, скорость направлена по биссектрисе угла между характеристиками в данной точке. Значит, имея сетку характеристик, можно построить поле скоростей. Величины

278

скоростей определяют по сетке характеристик в плоскости годо­ графа.

Задача 2. В плоскости потока задано распределение скоростей на двух пересекающихся характеристиках AB и АС (рис. 149).

Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной этими характеристиками и двумя характеристи­ ками, проведенными через точки В и С до их взаимного пересече­ ния, т. е. в криволинейном четырехугольнике ABCD.

Имея величины и направления скоростей в точках характе­ ристик AB и АС плоскости потока, переносим их в плоскость годографа.

Рис. 149. Решение задачи 2 методом характеристик

Так как в плоскости годографа характеристики не зависят от

ния Р{, Pô скорости известны. Затем с помощью эллипса строим последовательно прямолинейные элементы характеристик в пло­ скости потока. Проводя биссектрисы углов между характеристи­ ками в плоскости потока, получаем искомое поле скоростей в пло­ скости потока. Величины скоростей определяют по плоскости годографа.

Частный случай задачи 2. Пусть в плоскости потока заданы две характеристики с известным распределением скоростей на них,

Определим ее форму в плоскости потока (рис. 150). Мы уже видели, что большая ось эллипса Буземана, край которого совме­ щен с концом вектора скорости в плоскости годографа, дает на­

279