З а м е ч а н и е 2. Систему (27.1а) можно неособым линейным преобразо ванием над искомыми функциями zl9 . . и независимыми переменными х ъ . .
. . хп привести к виду
п |
dzj |
|
|
dzj_ |
|
|
dt |
дхо (ss-i*s-i “Ь ^sxS+ X,) —6/-iz/-i + X/Z |
|
S = |
1 |
|
|
|
+ |
riixi + z/ (/ — 1. . ft), |
(27.11) |
где e0, 60 равны нулю, a es, Sj равны либо нулю, либо единице. |
семей |
Если Re (fts) <С 0 (s |
«) и = kt (i /), то система (27.11) имеет |
ство решений |
|
|
|
;("1) о,
т=1
через О/ (/ = 1, . . ., ft).
Очевидно, что функции
и вновь полученные функции обозначим
СО |
|
|
|
|
|
0/ = I ] |
г/ |
\ Я,1 ’ |
11 ■■•’ г’ |
,J „ ) (/ = ! , . . . , ft) |
(27.13) |
т=1 |
|
|
|
|
будут удовлетворять |
системе |
уравнений |
|
|
Vш^. [eS-i*S-i — ksxs + Xs (хг....... xn, ou . . ., aft)] = dxs
S = 1
= б/_1<Ту_1 + Х/СТ/ +
n
|
+ |
£ |
~nixt + z / (*........... *л, °1. • • •. a*)- |
(27.14) |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 57 |
|
Если |
выполняются |
условия: |
|
1) Re (Xt) < |
0 |
(i |
< |
л); |
|
2) |
= Я,, (i |
< |
/), |
_ |
|
то система уравнений (27.14) при Х г = 0 имеет семейство реше ний (27.13), зависящее от / произвольных постоянных. При этом
коэффициенты форм Z/m) являются полиномами относительно
сг, ■■■, |
ci, In x v |
Ряды |
(27.13) сходятся при | cs | < с0; |
где х 0— функция, |
о которой идет речь в теореме 56; |
| лг10 | |
доста |
точно мало. |
|
|
случай, когда функции (27.13) |
не |
зависят |
от |
Укажем |
далее |
In х х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 58 |
|
|
|
|
|
|
Если |
выполняются |
|
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
1) Re (lt) < |
0 (i < |
k)- |
|
|
|
|
|
|
|
2) Я(- = |
Hi |
(i |
< |
/); |
1); |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
e, |
= |
6, |
(i |
< |
/ — |
|
|
|
|
|
|
|
4) в/ = 0; ru = |
0 (t, |
} < /); |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
не |
существует |
|
соотношения |
вида |
I т Л |
= «/ (/ < |
&) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml} |
П |
1=1 |
|
|
|
|
при |
любых |
целых |
неотрицательных |
^ |
^ |
1, |
за исключе- |
нием случаев |
Я£ = |
x£ (i |
< / ) , то система |
i=i |
|
[а также (27.11) |
(27.1а) |
и (27.14)] имеет семейство голоморфных решений, зависящее от I |
произвольных постоянных, представимое в форме рядов |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z/ |
- |
m=l |
|
|
(Cl, • • |
|
Си X i , • • ■. |
Х п) |
(/ = |
1, . |
. ., |
6), |
(27.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z\m) — однородные формы степени т относительно х и . . ., хп, коэффициенты которых являются полиномами по clt . . ., ch
Ряды (27.15) сходятся при | cs | < с0, I xs I < г, (г > 0, с0 > 0).
Доказательство. Проведем доказательство для системы (27.14). С этой целью подставим в (27.14) ряды
ст. = |
£ |
ajm) ( i lt . . |
хп) (/ |
= 1, . . |
k), |
(27.16) |
|
|
m=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ajm) — однородные формы степени т относительно х х, |
. . ., хп |
с коэффициентами, подлежащими определению. |
систему |
Приравняв формы |
одинаковой |
степени, |
получим |
|
о |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
уравнении для определения оу- |
|
|
|
|
|
da*.m) |
^s-P's -1 + |
^s-^s) |
К |
rr(m) -ь |
(т) + R\m) |
(27.17) |
|
-Т- |
0XS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции R\m) являются однородными формами степени т |
относительно |
х ъ |
. . ., |
хп, зависящими от разложений |
функций |
X s, Zf и |
от |
форм |
сг/ц) (/ = |
1, |
. . ., |
k, |
р = |
1, . . ., т — 1). |
Если |
функция |
R)m) |
при т > |
1 определена, то из условия 5 |
теоремы 58 следует, что система (27.17) имеет [36] единственное решение в виде форм о]т) (xv . . хп) (/ = 1, . . ., k).
Очевидно, что
где
Cl
С =
i/i0
У =
Л " _
дает общее решение системы (27.21) и в то же время функции yf'* (j = 1, . . ., /), рассматриваемые как линейные формы ве личин Xj (i = 1 , . . ., /), являются решением системы (27.19).
Таким образом, линейные формы О;1* при / == 1, . . ., I опре делены.
Формы ст/1* при / |
/ + 1 определяются единственным обра |
зом из системы (27.17) |
при т = 1. |
Этим система формальных рядов (27.16) определена пол ностью. Сходимость рядов (27.16) следует из теоремы 56.
28. Представление решений с обыкновенных дифференциальных уравнений
в окрестности особой точки
Рассмотрим систему
|
= S . |
Psi ( z ) I/г + |
Ps (г) 2 + Y s{z, уъ . . ., уп) |
(28.1) |
|
г = 1 |
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
(S = |
1, |
. . |
п). |
|
|
Ys разлагаются |
в |
ряды |
|
|
У, |
S |
(т, |
m r |
... |
, т п) |
( т ) Щ |
тп |
Ps |
|
|
\Z) % |
У\ j * • м Уп |
|
------ \-тп> 2 |
|
|
|
|
|
|
|
(S = |
1, |
.. |
., я), |
|
|
сходящиеся при | г | < |
Zi, j У,-1< |
у0 |
(j = i. • • •« |
")> гДе z i > 0, |
уо > 0 — постоянные; |
|
|
|
|
М *); Л(г); рГ |
mi...... тл)(*) |
(28.2) |
заданы при z£ [0,1] |
вещественны, |
непрерывны |
и ограничены. |
Для системы (28.1) |
в точке у 1 = |
• • • = уп = 0; г — 0 не вы |
полнены условия существования решения. Поэтому возникает вопрос, при каких условиях существует такое решение системы
(28.1) ys = ys (z) (s = 1, . . ., n), что ys -> 0 при z -> 0. Далее будут выведены такие условия и будет дано аналитическое пред ставление таких решений.
Обозначим через 1, ju.3, . . ., р„ характеристичные числа си
стемы |
|
dz _ |
|
|
|
|
—2; |
|
|
|
dt |
|
(28.3) |
|
|
dys __ |
" п |
|
|
Ъ Psi (e—о У1 + Р 1 (e_<) z |
(s = 1, .. ., n). |
|
|
dt |
|
|
L t = l |
|
|
|
|
Теорема 59 |
|
Если |
выполняются условия: |
|
1) |
рг |
> 0 |
(i </ ); |
|
2) |
система |
(28.3) правильная, |
|
то система уравнений (28.1) имеет семейство решений, завися
щее от I |
произвольных постоянных, представимое в форме рядов |
У*: |
2 |
|
|
|
|
(тп, mj, |
mi) (г)2(т + т л + " '+т,М/) X |
|
|
|
К: |
|
|
'i+tfijH---- !-т^>1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c i 1- • • Cil |
(s = 1, |
... , n), |
(28.4) |
сходящихся при |
| |
z | |
< |
z0; |
| Cj | |
< c0 |
(j |
= 1, . . ., |
/); при этом |
z0 < p и |
c0z0 < |
P, |
где |
p — достаточно |
малая постоянная; c0, |
zQ— постоянные больше нуля. |
|
|
|
|
Функции К(зт’ mi...... (z) |
обладают |
следующим |
свойством |
(т, т ... , тЛ |
а |
|
0 |
при г |
0, |
где а > 0 — постоянная. |
As |
(г) |
z |
|
|
Доказательство. |
Рассмотрим систему уравнений |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
/ |
|
I |
а*/ |
г _ |
i |
Ф/s _ |
|
|
|
|
|
|
^ dz |
|
“ |
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
= — I j |
|
Psi (е—0 yt — ps (е—0 z — Fs. |
(28.5) |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для системы (28.5) выполнены условия теоремы 56. Поэтому существует система функций
-\-со |
УAt, П....... ch |
|
хи г) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ъ |
d m) (t, с1, • • |
м Cl, *1, ■■; |
Xt, z) (s = |
1, . .., n), |
(28.6) |
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющая |
системе |
(28.5). |
|
|
|
|
|
Ясно, что формы ylm) |
имеют вид |
|
|
|
|
|
(т) |
|
2 |
|
k(m*mv ■■■' mi) |
г |
т |
т\ |
|
S |
|
|
|
|
|
|
х 1 , . . |
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тД-mj-}-.....\-т^=т |
|
|
|
|
|
|
|
... |
ш, mi |
|
т, |
|
|
П), |
(28.7) |
где т ^ 1. |
, X; |
Щ , . . ., |
Ci (S— 1, . . ., |
в (28.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X/ = |
2й/; t = |
— In |
z. |
|
|
|
(28.8) |
Тогда получим семейство решений (28.4), удовлетворяющее системе (28.1), в чем можно убедиться непосредственной под становкой.
З а м е ч а н и е 1. Пусть функции (28.2) являются вещественными постоян ными. В этом случае систему (28.1) будем обозначать (28.1а). Обозначим, как и
выше, через Хъ . . ., кп корни уравнения |
\Р — ХЕ | = 0, |
\Р),-к = Pik• Легко |
видеть, что для системы (28.1а) (х,- = |
Re (Х{). |
имеет семейство ре |
Таким образом, при Re (Я(-) > 0 |
(i -g; I) |
система (28.1а) |
шений (28.4). При этом функции К^т' mi........m^ (г) являются полиномами от
носительно In г, коэффициенты которых являются тригонометрическими много членами.
З а м е ч а н и е 2. Приведем в системе (28.1а) матрицу Р к каноническому
виду. Тогда получим
2 % = = es-il/s-i + ^sl/s + PsZ + }>s ( s = l , . . . , л), |
(28.9) |
где е0 = 0.
Рассмотрим систему уравнений с частными производными, соответствующую
(28.9):
— — (gs-il/s-i + Xsy s + У s + Psz )■ |
(28.10) |
По теореме 57 эта система имеет решение в виде сходящихся рядов |
|
|
Ув = |
К |
....... т‘\г) |
с? |
|
|
m+ffij-j---- |-т^=1 |
|
|
|
|
. . ., х"н |
(S = 1, . . ., п), |
(28.11) |
?Лт, т., ... , тЛ . , |
|
, |
где К: |
1 |
1 (г) суть полиномы по степеням |
In z. |
I
Если tn + |
^ |
=f=А/ (j — 1, |
. . . , / ) |
при любых целых неотрицательных т, |
|
(=1 |
. |
. |
. |
|
„ |
~(т, т,, . . ., тЛ |
mv . . ., т1, |
|
т ; ^ |
таких, что т + |
тх + |
• • • + |
2, |
то величины К). |
1 |
и |
являются постоянными. |
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(In z)li zkl |
|
|
|
(28.12) |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где постоянные I/ |
выбраны так, чтобы функции (28.12) удовлетворяли системе |
|
|
|
dxI _ |
|
kjXj. |
|
|
|
|
|
dz |
6 / - i * / - i 4 “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функции (28.12) подставить в ряды (28.11), то получим семейство ре шений системы (28.9).
Теорема 60
Если среди собственных чисел матрицы Р в системе (28.1а) имеется I с положительными вещественными частями, то суще ствует семейство решений системы (28.1а), представимое в форме рядов
|
|
у,= |
|
|
£ |
|
н Р т.....х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—4-m^=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+2 mlKl |
|
|
|
|
|
|
Ш/ |
|
|
|
|
|
X 2 |
|
/=1 |
(In г)1' |
|
'сГ‘ |
|
Cl , |
|
|
(28.13) |
сходящихся |
при |
j |
z | |
< z0; |
| с,- | |
< с0 (/ = |
1, . |
. ., |
п)\ |
z0 < |3; |
c0z0 «< р, |
где iVf”’ |
т1...... т^ |
(In г) |
являются |
полиномами |
отно |
сительно |
In z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же т + |
|
|
Ф |
Я/ (/ |
= |
1. |
• • •. |
О при т + |
Щ ^ 1» |
|
|
1= 1 |
|
Л |
« |
|
|
|
|
|
|
i~ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
то |
величины |
„ г(т>тЛ' • • • *ml) |
за исключением случаев л,- = л;-, |
N; |
1 |
7 |
являются |
постоянными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь тот случай, когда исходная система диффе |
ренциальных |
уравнений не представлена |
в |
нормальной |
форме: |
|
F s (2, Уъ ■■ |
Уь У х ], У\ |
\ |
■• |
y i ni), • |
• •, Ук \ |
■■■ |
|
|
|
|
...,*/Г А)) = |
0 |
(s — 1,’.. ., k). |
|
|
(28.14) |
Будем считать, что функции |
Fs |
являются |
однозначными, |
аналитическими |
в |
окрестности |
точки |
z = 0; |
у[!) — 0 (s = |
1, • • ., |
k, |
/ * |
о, • |
* *, |
tls) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и разлагаются в ряды следующего вида:
|
|
|
,(/) |
|
|
+ |
|
п |
i=i /=i |
|
|
|
ml / т , mi |
|
|
У |
т / > 1 |
«=1. 2, ... , ft Л Ч ^ ) |
(s = 1........Л). |
(28.15) |
Zj |
» |
/=О, 1....... «. |
|
|
Вторая сумма представляет собой совокупность нелинейных членов относительно искомых функций y lt уk и всех их производных до порядка tij (/ = 1, . . k), следовательно, сум мирование в этой сумме распространяется на все целые неотри
цательные числа m \(j = 0,1, . . пр, i = 1, 2, . . ., k), такие, что
Еm ’i = S S m 'i > 1•
i=l /=О
Коэффициенты рядов (28.15) являются однозначными аналити ческими функциями относительно z в окрестности z = 0 и пред ставлены в форме
|
|
|
|
|
|
|
р1Р {г) |
~ |
znU)■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—tfJsi » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(«() |
|
m /-_( ml) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р\ |
'4*) = z |
|
lPK |
|
|
|
где |
E |
,n'i |
распространены на |
все |
значения |
i |
= 1, . . ., /г и |
/ |
= |
1, |
. . ., «,•_!; |
р является также аналитическими функциями |
в |
окрестности |
z |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что в /-е уравнение системы (28.14) входит |
функция |
г/j”^ |
и р//1^ ф 0 при |
z = |
0. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
линейную |
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
Е г/е*(/)^ л = |
0 |
(s = 1, ..., |
k), |
|
(28.17) |
|
|
|
|
|
1=1 /=о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Q(sp есть свободные члены в разложении функций pjp |
по сте |
пеням z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение этой линейной системы в виде |
|
|
|
|
|
|
|
y . = c.zx {i = |
1, |
. ... k). |
|
|
(28.18) |
Подставим (28.18) в (28.17); тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
Е |
Е z% М |
|
= |
0 |
(s = 1, ..., |
k), |
(28.19) |
^ |
( к (К— 1) . . . |
(X — / -j- 1) для / = 1, ..., я,. |
Уравнения (28.19) являются линейными и однородными; сле довательно, для существования нулевого решения этих уравне
ний |
необходимо и достаточно, |
чтобы определитель, составленный |
из |
матрицы |
{с5г-|, |
элементами |
который являются выражения |
ni |
|
= |
csi, |
был равен |
нулю. |
|
^ /г/ (Я) |
|
1=0 |
|
|
этот |
определитель |
через |
А (X). Ясно, что А (Я) |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
k |
пс Пусть Ях, Я2, . . ., Я„ |
является полиномом по X степени п = ^ |
есть |
корни |
уравнения |
|
i= i |
|
|
|
|
|
|
|
|
А (Я) = |
0. |
|
(28.20) |
Теорема 61
Если среди корней уравнения (28.20) имеется I с положитель ными вещественными частями, то система уравнений (28.14) имеет семейство решений, зависящих по крайней мере от I произвольных
постоянных, обладающих свойством у-, (z) -> 0 при z -> 0. |
Это се |
мейство решений |
представимо |
в форме рядов |
|
ys — |
2 |
Ni......>........"'»(1Пг) х |
|
|
m-J-WjH----[- |
|
|
|
|
l |
|
|
|
m+ 2 mixi |
h \ |
( s = l , ..., k), |
|
X'z |
<=1 |
(28.21) |
сходящих при | ct | < с и | z | < |
z0, где с и z0 — достаточно малые |
положительные постоянные. |
рассматриваемую систему |
(28.14) |
Доказательство. Приведем |
к нормальной форме. Для этого исключим из уравнения с номе ром / старшие производные от искомых функций ys (s =j= /), после чего получим систему уравнений, в которой в /-е уравнение будет входить старшая производная порядка пулишь от функции у;-.
Затем введем новые искомые функции по формулам:
|
|
dx:, |
|
|
|
dxi,n |
2 |
%i, 1 У ь |
%i, 2 |
^ ^ |
» • * м |
n / - l |
^ ^ z |
9 |
откуда найдем производные функций |
у ъ |
. . ., |
yk по переменной z |
по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
yW _ |
. |
yf) _ |
J_ |
з _ |
Xlt 2) |
и т . д. |
|
В результате этой замены исходная система приведена к си стеме вида (28.1а). Следовательно, по теореме 60 преобразован ная система имеет семейство решений, зависящее от I произволь ных постоянных. Учитывая обратные преобразования к системе (28.14), найдем, что она имеет семейство решений, представлен
ное в виде |
рядов (28.21), в |
которых |
N ^ ' П'г |
” mi |
(In z) |
есть полиномы от 1п г. |
|
|
|
|
|
Остановимся на истории вопроса, рассмотренного в этой главе. |
В работе [49] было приведено уравнение |
|
|
|
|
, |
|
00 |
|
|
|
|
X -^Г = ах + Ьу + |
2 |
aikXlyk |
|
|
и показано, |
что при условии К Ф N оно имеет голоморфное реше |
ние, удовлетворяющее условию у |
= |
0 при х = 0. Пуанкаре |
[49 ] |
нашел семейство решений этого уравнения, представленное по степеням х и Xх, а в случае %= N — по степеням 1п х, где N — целое положительное число. В работе [49] результаты А. Пуанкаре были распространены на системы уравнений, подчиненных ряду ограничительных условий. В работе [48] была сделана попытка снять эти ограничения для системы двух уравнений; однако И. Корну не удалось решить этот вопрос до конца.
Проблемой представления решений в окрестности особой точки занимались Н. Бендиксон [7] и ряд других авторов. Лишь в ра боте [14] было дано полное решение проблемы Врио и Буке в клас сической постановке.
В данной главе приведены основные результаты этих исследо ваний с некоторыми изменениями, вызванными тем, что, как выяс нилось, существует круг задач теории автоматического регулиро вания, которые сводятся к изучению поведения решений систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки по добного типа.
