книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

следовательно,

вектора (32.37) к векторам grad/, . Отсюда получаем систему I алгебраических уравнений для определения Ях, . . ., А,,:

в противном случае из них можно было бы выбрать независимую систему. Матрицу системы (32.38) обозначим через С; ее опреде­

Знак * означает транспонирование матрицы. Из (32.39) вытекает,

Вообще говоря, интегральная кривая может достигать опти­ мальной точки в конечное время. Здесь предполагается также, что правые части системы (32.40) удовлетворяют условию Лип­ шица.

Доказательство. Каждая из функций fj, определяемая фор­ мулой (32.32), является интегралом системы (32.40). Следовательно,

3 2 0

любая интегральная кривая, начинающаяся в точке (хг, . . ., хп), удовлетворяющей (32.32), во все время движения будет удовле­ творять (32.32). Вычислим полную производную от / 0 в силу системы (32.40). Тогда получим

— ferad /о. grad, /о) = — (grad /0 — A, grad, f0) =

— — (grad< /о)2-

Предположим, что любое движение системы (32.40) продолжимо при t £ [0, оо). Возьмем е > 0 и покажем, что существует такое Т (е), что при t > Г (е) будет

S = = 1

Доказательство этого утверждения осуществляется точно так же, как и в теореме 75, с той лишь разницей, что числа К и б опреде­ ляются с учетом (32.32). Следовательно, теорему 77 можно счи­ тать доказанной.

то, повышая размерность исходного пространства, ограничения вида (32.41) можно свести к ограничениям вида (32.32), полагая

интегральной кривой интеграл сохраняет постоянное значение, то вдоль указан­ ной кривой функция f0 будет монотонно убывать. Следует иметь в виду, что числа

Приложение 1

ПОСТРОЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ

Настоящее приложение содержит условие существования про­ граммного движения в линейной управляемой системе, подчи­ няющегося линейным граничным условиям общего вида. Наряду с этим дано полное описание множества допустимых управлений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Далее все такие управления будем называть допустимыми, если

x = P { t ) x .

Положим

Обозначим через Z постоянную матрицу, столбцы которой пред­ ставляют собой набор всех линейно-независимых решений урав­ нения

Теорема 1

Если матрица

т

В + Z* J А (0 У-1 (/) Q (t) Q* (t) [Y-1 (t ) f A* (t) dtZ (6)

о

неособая, то при любом выборе векторной функции F и вектора Н существует решение (2) системы (1), удовлетворяющее условию (3). При этом каждое допустимое управление представимо в форме

о

Теорема 2

Если матрица (6) неособая и матрица А (0) имеет ранг п, то каждому управлению (7) отвечает единственное решение (2), удовлетворяющее условию (3). Если же ранг матрицы А (0) есть k < п, то каждому управлению (7) отвечает семейство реше­ ний (2), удовлетворяющее условию (3), зависящее от п — k произ­ вольных постоянных.

Теорема 3

Если матрица (6) особая и имеет ранг /, то решение (2), удовле­ творяющее условию (3), существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы В' также будет равен I. В этом случае каждое допустимое управление представимо в форме (7), однако вектор С зависит от п — k — I произвольных постоянных. Каждому та­ кому управлению при k = п отвечает единственное решение (2), при k < п — семейство решений, зависящее от п — k произволь­ ных постоянных.

Здесь через В' обозначена матрица, получаемая из В приписы­

32 4

Приложение 2

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ПЕРЕХОДА С ПОМОЩЬЮ ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

и [у] — постоянный вектор пространства Ег. Вектор и [у] условно

как релейно-импульсное, если это управление является импульс­ ным и если компоненты векторов и [у] могут принимать лишь

и только тогда, когда строки матрицы линейно-независимы в промежутке (0, Т),

что, в свою очередь, эквивалентно неособенное™ матрицы Jт ВВ* dt, где В* —

0

транспонированная по отношению к В матрица. Это показывает, что условие теоремы 1 может быть выражено аналитически через матрицы Р и Q.

325

Теорема 2

Чтобы существовало релейно-импульсное управление, пере­ водящее систему (1) из любого начального состояния х = х 0 при t — 0, xjj < h2 в состояние х = 0 при t = Т, необходимо и до­

статочно, чтобы было выполнено условие теоремы 1. Здесь h — достаточно малая положительная величина.

З а м е ч а н и е . Если положение равновесия системы (2) асимптотически устойчиво по Ляпунову, то при выполнении условий теоремы (1) при помощи релейно-импульсного управления эту систему за конечное время можно перевести

где р, — малый параметр; F — вещественная непрерывная, п- мерная вектор-функция, непрерывно дифференцируемая по отно­ шению к компонентам вектора х.

Теорема 3

Если выполнены условия теоремы 1, то можно указать такие два числа / г > 0 и р 0 > 0 , что система (3) может быть переведена из любого начального состояния х = х0 при t = 0, х^ < h2 в со­

стояние х = 0 при t = Т для любого выбранного |р | < р 0.

П р и л о ж е н и е 3

К ТЕОРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

Будем считать, что элементы квадратной матрицы Р и компоненты

326

непрерывно дифференцируемую, заданную при /£ [О, Г], удовле­ творяющую системе (1) и совокупности краевых условий

Предположим, что решение (2) системы (1), удовлетворяющее условию (3), существует. Тогда это решение представимо в форме

(5). Подставляя (5) в (3), находим

т

\{dG(x)]Y(x) dxY-1 (t)x(t) +

о

Тт

Сделаем в левой части (6) следующие преобразования. Разобьем интеграл от t до т на два:

и затем в интеграле Jт dG (т) JX сделаем замену порядка интегри-

оо

рования. Далее, полагая

г

Л(т)=|[Л?(е)]К(0),

X

327

Система (7) может рассматриваться как система линейных алгебраических уравнений, служащая для определения вектора г. Известно, что эта система имеет решение тогда и только тогда, когда будет выполнена система равенств

Теорема 1

Для того чтобы существовало решение (2) системы (1), удовле­ творяющее условиям (3), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие (9).

Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравне­

прерывно дифференцируемой относительно компонент вектора х и параметра р.

I

+ у (О^о"1|R — | Л (т) Y~X(т) [F (т) + pG (т, х, р)] dx \ . (11)

328

Теорема 2

Если квадратная матрица Л 0 порядка п является неособой, то существует такое р 0, что при любом | р | < р 0 система (10) имеет единственное непрерывное решение (2), удовлетворяющее усло­ вию (3).

Нелинейный оператор, стоящий в правой части (11) в про­

прерывное решение х = х (t) системы (11); дифференцированием этой системы можно показать, что это решение непременно удовле­ творяет также дифференциальным уравнениям (10). Подставляя (11) в (3), найдем, что это решение будет также удовлетворять усло­ вию (3).

Пусть по-прежнему m = п и матрица Л 0 имеет ранг (п — k),

где А ! и А 2 — некоторые постоянные матрицы, определяемые единственным образом на матрице А 0; С — ^-мерный вектор с про­ извольными вещественными компонентами си . . ., ck.

Из (9) получим

Далее будем исходить из того, что для системы (10) при р = 0 существует решение (2), удовлетворяющее условию (3). Тогда условие (13) примет вид

329