книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

Функционал J представляет собой вероятность попадания пра­ вого конца стохастического движения, описываемого системой (20.1), в область 5. Задача состоит в том, чтобы найти управления ии . . ., иг так, чтобы функционал J имел наибольшее возможное значение при условии |« /| ^ 1 .(/ = 1, . . ., г). Решение этой задачи в общем случае затруднительно. Дадим способы ее решения в некоторых конкретных случаях. Прежде всего найдем математи­ ческие ожидания и дисперсии компонент вектора X (t). Имеем

Из формулы (20.6) вытекает, что дисперсии компонент вектора X определяются через корреляционные и взаимно-корреляционные функции вероятностных процессов у ъ . . ., ут и не зависят от управлений иъ . . ., иг. Будем считать, что компонента х х век­ тора X (t) распределена по нормальному закону с математическим

стохастического движения системы (20.1) X (Т) в n-мерный слой

—г

Из (20.7) вытекает, что J г (U) имеет наименьшее возможное значение тогда и только тогда, когда | ах (Т)| достигает наимень­ шего возможного значения, так как J 2 (U) монотонно возрастает

200

при убывании аг (Т), если ах > 0 , и при возрастании аг (Т), если

“Г = — sign cv {T, t).

Если

то

и}0) = sign сч (7\ т).

Итак, в рассмотренных случаях

u P = - s ig n И 0) (Г)с1/(7’, *)]•

При этих управлениях оптимальное значение вероятности попа­

то оптимальных управлений существует, вообще говоря, бесконеч­ ное множество. В качестве одного из них можно взять то же самое управление, что и выше, однако задав его на [0, t0]. На проме­ жутке же По, Т] движение объекта при таком управлении должно быть автономным:

и( 10) = — Sign а[0)Су (Т, t), 16 [0, t0y,

«Г = 0 , te [U, т\,

где 10 — наименьшее значение t, при котором

201

Автономное движение объекта можно осуществлять не только на последнем участке движения, но и на любом другом участке Ui, t2 ] или на какой-либо совокупности таких участков, од­ нако участки автономного движения должны удовлетворять сле­ дующему необходимому условию. Обозначим объединение этих

участков через А, а дополнение до промежутка [0, Т] — через А.

Предположим, что случайные величины хх (Т), . . ., хп (Т) неза­

где p — вероятность события, заключенного в фигурные скобки. Множество 5 есть ^-мерный параллелепипед

l j Ху 5 ^ /у- ( / = 1 , . . ., k , l j >■ 0 ) .

Функционал J может быть представлен тогда в виде У(и) = Л ( и )/2(и )-.-Л (и ),

202

много оптимального управления для k >• 1. Для его отыскания можно предложить различные методы последовательных прибли­

жений. Отметим некоторые из них. Предположим, что U(0> = = («i°\ . . ., Ur0)) представляет собой оптимальное управление. Функции и}°> могут принимать одно из трех значений: — 1; 0; +1-

Выберем некоторую точку т £ [0, Т ] так, чтобы управление и)о) принимало то же значение в промежутке [т — е, т + е]. Иначе говоря, предположим, что точка т не является точкой переключения

для управления u f \ а величина е7- = «}0) (т) может быть равна либо + 1, либо— 1. Построим управление u f ] следующим образом: u f ] = —е/ при t £ \ t — е, f + е] и wj0) = п)0) при t £ [0, Т ]

иtZ (t — е, t + е).

Рассмотрим управление

и ™ = м °».......

Так как U(0) — оптимальное управление, то необходимо будет

в ряд по степеням б1; . . ., 8k и ограничиться лишь линейными членами разложения, то получим

20 3

Из последней формулы вытекает, что

sign ct = — sign at (Ui0)).

Предположим, что при любом достаточно малом е )> О

k

Из условия оптимальности управления U(0), как уже отмеча­ лось, следует, что

т + е k

JS CibijUp d t> 0 .

Х— Е 1 = 1

Значит,

t=l

Это выражение для оптимального управления фактически сов­ падает с тем, которое было получено при k = 1, если иметь в виду, что при k = 1 имеется лишь одна величина сх, знак которой совпа­

дает со знаком —ах (U(0)) и, следовательно, с —а(0) в том случае, когда участок автономного движения отсутствует и

При"* > 1 формулу (20.10) можно использовать для построе­ ния последовательных приближений.

204

образует второе приближение. С этим управлением поступаем так же, как и с U(I). В результате получаем последовательность

U(1), U(2), . . ., U(r), . . ., образующую последовательные при­ ближения, вопрос о сходимости которых остается открытым. Систему равенств (20.10) можно рассматривать как систему нели­ нейных интегральных уравнений, служащих для определения оп­ тимальных управлений. Тогда описанный выше способ последова­ тельных приближений можно рассматривать как обычный способ для решения этой системы интегральных уравнений.

От системы интегральных уравнений (20.10) можно перейти к системе алгебраических уравнений для определения постоян­

Уравнения (20.11) получаются, если в формулы, определяющие величины с{, подставить выражение (20.10). Уравнения (20.11) можно решать каким-либо приближенным способом. Например, можно воспользоваться каким-либо методом направленного поиска минимума функции

можно рассматривать как n-е приближение к оптимальному про­ граммному управлению.

Исследуем далее тот случай, когда случайные функции у1(t),.. .

• • •> Ут (0 не зависят от t и, следовательно, являются случайными

ные, определяющие решение системы уравнений (20.1), либо детер­

205

С помощью этой функции можно построить функцию распределе­ ния G (X) случайной величины х х (Т). Пусть

ГП Т Г

Из (20.12) вытекает, что функция распределения G (X) может быть представлена также в виде

_ ( х - в{ ° ) - | 2 ^ й

^ —

Поставим задачу отыскания программного управления U(0), которое доставляет функционалу

/(U ) = /){|X1|< /}

наибольшее возможное значение. Обозначим через а и (3 соответ­ ственно наименьшее и наибольшее значение величины

< * + } 2 ah dt

О.

через а* обозначим точку промежутка [а, р], в которой функция

Тогда, если а* совпадает с одним из чисел а и р, то оптимальное управление дается формулой

Если же а < а* < р , то оптимальное программное управление может использоваться лишь на части траектории движения. Пусть

управление «}0) определяется формулой (20.13) в точках управле­ ния. В моменты, когда движение автономно, и]0) = 0. Тогда уча-

206

стки, на которых происходит управление, определяются равен­ ством

а{0} + | 2 b ju f dt = а*,

о/=1

Таким образом, и в этом случае при произвольных законах распределения случайных величин, входящих в систему (20.1), задача построения оптимального управления решается полностью.

Для величин х г (Т), . . ., хь. (Т) можно найти совместную функцию распределения G (+ , . . ., Kk) через функции F u . . .

. . ., Fm. С помощью этой функции можно построить функционал

Этот функционал есть вероятность попадания стохастического решения системы (20.1) при t = Т в область

1+ 1< tj (/ = 1, • • k), Л+ (—ОО, +оо) (/ = k + 1, . . .,п).

Для такого функционала можно, как и ранее, предложить метод последовательных приближений к оптимальному программному управлению.

21. Программная настройка коэффициентов усиления

Законы управления часто формируются как линейные комби­ нации некоторых выражений. Коэффициенты этих линейных ком­ бинаций называют коэффициентами усиления системы управле­ ния. После того как структура закона управления выбрана, основ­ ная задача при проектировании системы управления сводится к отысканию таких коэффициентов усиления, при которых каче­ ство системы управления будет наивысшим возможным или же будет удовлетворять заданным требованиям.

Во многих случаях коэффициенты усиления во все время дви­ жения сохраняют свое постоянное значение. Поставим вопрос, как найти закон программного изменения этих коэффициентов во времени, для того чтобы повысить качество системы управления. Дадим способ решения одной из таких задач.

Пусть движение управляемого объекта описывается системой

и вектор f (t) обладают теми же свойствами, что и в предыдущем параграфе. Пусть по-прежнему управления их (/), . . ., и, (t)

207

являются кусочно-непрерывными функциями, заданными на [О, Т], и удовлетворяют ограничению

гг

x s |<=о — Xs,

где xs (s = 1, . . п) — случайные величины.

Математическое ожидание as, дисперсия ds, фазовые коорди­ наты xs являются функциями времени и зависят от выбора управ­ лений иъ . . иг. Обозначим через Z(t, и) матрицу фундаменталь­ ной системы решений для однородной системы уравнений

Тогда

a = Z(t, U ) a o + J Z ( / f U ) Z - i (т , U ) [f (т ) + ( ( т ) Е (Y ( т ) )] dx,

(21.5)

СЦ есть элемент матрицы C; s, i = 1, . . ., n\ j = 1, . . ., m.

Если считать, что случайные величины xi, . . х„ попарно независимы между собой и с величинами у и . . ., ут, которые при каждом t также предполагаются взаимно независимыми, то будет

208

(х1 (Т), . . ., хп (Т)). Будем считать, что его компоненты распре­ делены по нормальному закону с математическими ожиданиями as

и дисперсиями ds. Пусть в фазовом пространстве задана некоторая область 5. Положим

J(V) = p \ x ( T ) e s } .

Вероятность попадания вектора X (Т) в область S будет функ­ ционалом, значения которого зависят от управлений иъ . . .,

Назовем управления ц?, . . ., иг оптимальными, если они до­ ставляют функционалу наибольшее возможное значение при усло­ вии (21.3).

Рассмотрим важный случай, когда область S определяется

Положим, что оптимальное управление по отношению к функ­ ционалу (21.7) существует. Естественно предположить, что для этого оптимального управления имеет место равенство

т г

J(U0) ^ J ( U ) ,

где б — некоторая положительная постоянная. Тогда каковы бы ни были допустимые управления vlt . . ., vn являющиеся кусоч­ но-непрерывными функциями, заданными на [О, Г] и удовлетво­ ряющими ограничению