книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

интегрированию системы (32.12). Однако можно указать ряды [13], пригодные для создания аппарата приближенного построе­ ния таких матриц.

Для решения различных проблем анализа и синтеза систем автоматического управления широко применяются также элек­ тронные вычислительные машины.

Если функция (32.15) обращается в нуль, то решение будет периодическим. Легко видеть, что нулевое значение функции (32.15) является экстремальным. Следовательно, вопрос об оты­ скании периодических движений сводится к отысканию точек минимума функции (32.15), в которых она обращается в нуль.

Решение проблемы отыскания экстремума функций многих переменных имеет фундаментальное значение для всей современ­ ной техники и экономики. Ниже изложены методы отыскания точек, в которых функция многих переменных достигает мини­ мального значения. Пусть функция / 0 (.хи . . ., хп), принима­ ющая вещественное значение, задана при любых вещественных значениях своих аргументов. Будем считать эту функцию в даль­ нейшем непрерывно дифференцируемой при всех конечных зна­ чениях х ъ . . ., хп.

311

Точку (•*ri°\ . . xh0>) называют оптимальной точкой функ­ ции / 0, а значение функции в этой точке — оптимальным значе­

о том, в каком направлении при движении точки из (хх, . . ., хп) функция f о возрастает с наибольшей скоростью. Известно, что такое направление определяется направлением градиента функ­ ции /о, т. е. вектором, компонентами которого служат частные

производные / 0, вычисленные в точке (хх, . . ., хп):

у' t i ^

При этом считается, что вектор z, определяющий направление луча (32.18), удовлетворяет условию

£ /? = 1. s~l

Формула (30.20) дает выражение компонент единичного век­ тора, направленного по градиенту функции / 0. Очевидно, что направление, в котором функция / 0 при движении из точки

{х1г . . ., хп) имеет наибольшую скорость убывания, обратно направлению вектора (32.20). Это свойство градиента / 0 положено в основу ряда методов численного отыскания точек, в которых / 0 имеет минимум. Остановимся на некоторых широко распростра­ ненных методах такого рода.

312

1. Метод наискорейшего спуска. Для того чтобы осуществить этот метод, необходимо вычислить градиент функции / 0. Это вычисление проводится приближенно по формулам

где h >- 0 есть некоторая постоянная. Из (32.21) вытекает, что для отыскания приближенного значения градиента функции / 0 необходимо вычислить п + 1 значение функции / 0. Это обстоя­ тельство оказывается в ряде практических случаев весьма суще­ ственным. С помощью градиента (32.21) строим луч

значения функции в этих точках между собой. Вычисления ве­

построена. Далее эту точку принимают за исходную, вычисляют в ней градиент функции / 0 и ищут минимальное значение функции на луче, проведенном в направлении, обратном градиенту, и т. д.

2. Метод градиента. В отличие от рассмотренного этот метод не предполагает отыскания числа k 0. Делается единственный шаг б по лучу (32.22) и, если значение функции уменьшается, полученная точка принимается за исходную, в ней вычисляется градиент и снова делается шаг б по лучу (32.22). Если при этом значение функции на каком-либо шаге не уменьшается, число б

б

заменяют на -g- и процесс вычисления продолжается.

3. Метод случайных направлений. Как было отмечено, для применения градиента функции требуется на каждом шагу вычис­ лений не менее чем п + 1 раз определять значение функции. Метод случайных направлений свободен от этого недостатка, но обладает известной нерегулярностью. Выберем начальную точку

(xlf . . ., хп) и / случайных векторов Н1( . . ., Н;. С помощью

313

этих векторов построим /-мерное многообразие, содержащее точку

(хи . . ., хп):

Функцию /о минимизировать, вообще говоря, легче. Пусть каким-либо образом, например с помощью предыдущих методов,

берут в качестве начальной, строят новые / случайных направле­ ний, через упомянутую точку проводят /-мерную гиперплоскость и процесс вычисления повторяется. Компоненты векторов Н(. на каждом шаге вычисляются как случайные числа, распределен­ ные по какому-либо закону. В ряде случаев при достаточно боль­ шом п этот метод оказывается предпочтительней предыдущих.

4.Итеративный метод. Отличие этого метода от предыдущего

восновном сводится к тому, что направления выбираются не случайно, а задаются и остаются неизменными во все время вы­ числений. Зададим п линейно-независимых векторов Нх, . . ., Н„. Зафиксируем число I <фп и занумеруем последовательности чи­

переменных. Минимизируем ее каким-либо способом, _в результате

чего построим в этой гиперплоскости точку (хх, . . ., хп), которую примем за начальную. Через нее проводится гиперплоскость вида

На третьем шаге используется третий набор независимых векторов Нх..........Н„ и т. д.

314

Третий и четвертый методы вычисления минимума функции / 0 имеют особенно наглядный вид, когда / = 1. В этом случае мини­ мизацию каждый раз нужно проводить для функции одной пере­ менной, в которую обращается функция / 0 на прямой, проходя­

щей через точку (хи . . ., хп). Минимальное значение функции на прямой можно искать методом наискорейшего спуска.

Перейдем к рассмотрению непрерывных способов минимиза­ ции функций многих переменных. С этой целью используем си­

Теорема 75

Если выполняются условия:

1)функции /s (s — 1, . . ., п) заданы при любых вещественных значениях своих аргументов, вещественны и непрерывно диффе­ ренцируемы по своим аргументам;

2)градиент функции /„ обращается в нуль в единственной

найдена. Покажем тогда, что теорема 75 имеет место. Иначе говоря, что для каждого s > 0 можно указать такое Т (е), что при t 5s Т (е) будет

s=l

Ы 5

Действительно, если такого Г > 0 не существует, то будет спра­ ведливо следующее рассуждение. Подставим уравнение интеграль­ ной кривой (32.26) в функцию / 0 и продифференцируем ее по вре­ мени. Получим

/о (х, (0, (0) < /о (*! (Т), . . ., х„ (Г)) < X. (32.29)

Если бы (32.28) нарушалось при некотором t — t, то для этого момента времени имело бы место неравенство

/ 0 (х2 (0, . . ., х„ (0) Ss X,

что противоречит (32.29). Таким образом, неравенство (32.28) имеет место при всех t ^ Т, следовательно, Т можно взять в ка­ честве числа Т (е). Этим теорема доказана полностью.

Следствие 1. Если градиент функции / 0 обращается в нуль в единственной точке, являющейся оптимальной точкой функ­ ции / 0, и имеет место неравенство

s = 1

316

при

£ *2— + оо, s=l

Вообще говоря, интегральная кривая (32.30) может достигать оптимальной точки за конечное время. При этом дополнительно предполагается, что частные производные функции / 0 удовлетво­ ряют условию Липшица.

Если в системе (32.31) сделать замену независимой переменной t по формуле

то получится система дифференциальных уравнений, удовлетворя­ ющая всем условиям теоремы 75. Последняя замена независимой переменной нужна лишь для того, чтобы интегральные кривые системы (32.31) стали продолжимыми по отношению к (—оо, + оо). Любое решение преобразованной системы будет обладать свойством

xs (т) xf> при т ->■ +°о.

Следовательно, и любое решение системы (32.31) будет обладать таким же свойством.

Следствие 2. Если / 0 достигает в некоторой точке (a:J0), . . ., х^0))

минимума, то эта точка для системы (32.31) является устойчивой по Ляпунову. Если же в достаточно малой ее окрестности градиент функции f 0 не обращается в нуль нигде за исключением самой этой точки, то она будет асимптотически устойчивой. И, наконец, если градиент / 0 обращается в нуль в единственной точке и выпол­

П р и м е р 1. Пусть f0 дважды непрерывно дифференцируема и имеет вид

пп

i = i

317

при fi = 0 будет стремиться к (х{°).......... х!г°^) — точке, которая при этом значе­ нии (л является оптимальной точкой функции f0. При достаточно малом р. любое

решение системы, начинающееся в достаточно малой окрестности точки (х(0*, . . ,

в точке х0. В противном случае интегральные кривые указанного уравнения бу­ дут примыкать к каким-либо стационарным точкам функции f0 (х), являющимся точками покоя уравнения. Этот алгоритм непрерывной минимизации можно рас­ пространить на отыскание оптимальных точек функций многих переменных.

Обратимся к рассмотрению проблемы минимизации функций многих переменных при наличии ограничений. Рассмотрим огра­ ничения вида

/о (xlt . . ., хп) при условии (32.32), если существует такое е > О, что при всех (хь . . ., хп), удовлетворяющих (32.32) и условию

Определение 34

Точку . . ., л40)) назовем оптимальной точкой функции/0, если неравенство (32.34) имеет место при любых (xv . . ., хп),

движении в каком направлении из точки (xlt . . ., хп), совме­ стимом с (32.32), функция f 0 (х±, . . ., хп) имеет наибольшую скорость возрастания? Ответ на этот вопрос дает следующая тео­ рема.

318

Теорема 76

Пусть функции fj (/ = О, . . . . I) непрерывно дифференци­ руемы. Тогда направление, в котором скорость возрастания функ­

Доказательство. Возьмем некоторую дифференцируемую кри­

Задача состоит в том, чтобы выбрать направление, даваемое век­

упомянутого выше подпространства. Другой вектор А содержится в этом подпространстве. Следовательно, LA = 0, откуда

319