Решение задач Задача 3.1

Центрально сжатый стержень, составленный из двух жестко соединенных между собой швеллеров, имеет различные опорные закрепления в двух главных плоскостях OxyиOxz (рис.3.4). Материал стержня – малоуглеродистая

сталь с расчетным сопротивлением R= 200 МПа, пределом текучести_т=

= 230 МПа и пределом пропорциональности _пц= 200 МПа. Нормативное значение продольной силыР_н= 550 кН, коэффициент надежности по нагрузке_f= 1,2 , коэффициент условий работы_с= 1.

Р

асчетное значение сжимающей силы

Р=Р_н_f= 5501,2 = 660 кН.

Подберем сечение стержня из условия устойчивости в двух главных плоскостях.

Приняв в первом приближении коэффициент продольного изгиба равным = 0,5, определим по формуле (6) необходимую площадь сечения стержня

П

Рис.3.4

о сортаменту принимаем сечение 2^[[ 27и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения:F= 235,2 = 70,4 см²,i_z= 10,9 см,= = 262 см⁴,z₀= 2,47 см.

Определим момент инерции и радиус инерции сечения относительно главной оси Oy.

см⁴;

.

Вычислим приведенные длины и гибкости стержня в двух главных плоскостях:

в плоскости Oxy

в плоскости Oxz

Таким образом, стержень может потерять устойчивость в плоскости Oxz,

в которой гибкость имеет большее значение. По таблице коэффициентов продольного изгиба для = 69,5 с помощью линейной интерполяции находим

Проверяем устойчивость стержня



Имеется значительный запас устойчивости. Поэтому во втором приближении примем сечение 2^[[ 20, для которого определяем

,J_z=15202 = 3040 см⁴,W_z= 2152 = 304 см³,

,z₀= 2,07 см, ,

,= 0,715 .

Проверим условие устойчивости



Условие устойчивости выполняется. Принимаем сечение 2^[ 20.

Определяем критическую силу и критические напряжения. Так как гибкость = 82,8100, то критические напряжения определим по формуле (3.5)

Соответствующее значение критической силы равно

По формуле (3.7) определяем коэффициент запаса устойчивости

П

Рис.3.5

роизведем расчет стержня на прочность при продольно-поперечном изгибе в плоскостиOxyпри совместном действии продольной силы и поперечной нагрузки (рис.3.5). Нормативные значения нагрузок равныР_н= 550 кН,Р_1н= 5 кН.

Для обеспечения заданной величины коэффициента запаса прочности по нагрузкам п_Р= 1,5 умножим величины нормативных нагрузок на этот коэффициент:

Р=п_Р Р_н= 1,5550 = 825 кН,Р₁=п_РР_1н= 1,55 = 7,5 кН .

Определим наибольший изгибающий момент М_пи прогибv_пот действия поперечной нагрузкиР₁= 7,5 кН. На рис.3.5 приведены эпюры изгибающих моментов от силыР₁и единичной безразмерной силы , приложенной в середине пролета. «Перемножая» эти эпюры по правилу Верещагина, получим

где Е = 2,110⁴кН/см²– модуль упругости. Размерность длины в числителе переведена в сантиметры.

Определим критическую силу Эйлера в плоскости изгиба

Н

аибольший суммарный прогиб и суммарный изгибающий момент от совместного действия продольной силыРи поперечной силыР₁определяются по формулам (1.9) и (1.10).

Рис.3.6

Для опасного сечения стержня определяем нормальные напряжения в нижних и верхних волокнах

По формуле (3.11) производим проверку прочности по наибольшим сжимающим напряжениям

_нб= 206,3 МПа_т= 230 Мпа .

Условие прочности выполняется.

Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении приведена на рис.3.6.