3. Устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней.

Основные понятия и формулы

При изучении равновесия идеально прямого гибкого стержня из упругого материала, находящегося под действием центрально приложенной к верхнему сечению сжимающей силы Р(рис.3.1) возможны следующие три случая.

1

. Сжимающая продольная силаРневелика. Если стержень с помощью какой-либо поперечной нагрузки слегка отклонить, а затем эту нагрузку снять, то стержень вновь примет первоначальную прямолиней-ную форму равновесия (рис. 3.1,а). В этом случае (Р <Р_кр) прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой.

2

Рис.3.1

. При достижении силойРкритического значенияР = Р_кртеоретически возможны как прямолинейная, так и искривлённая формы равновесия (рис.3.1,б). Однако, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой.

3. При дальнейшем даже незначительном увеличении сжимающей силы (Р >Р_кр) происходит резкое нарастание прогибов и возникают значительные дополнительные деформации и напряжения изгиба. При этом равновесие сжатого стержня является неустойчивым (рис.3.1,в).

Критическая сила Эйлера Р_крпри различных случаях закрепления концов стержня определяется по формуле

, (3.1)

где величина l₀=lназывается приведенной длиной стержня, а– коэффициентом приведения длины, который зависит от вида опорных закреплений стержня.

Выражения для критических сил и значения коэффициента приведения длины в основных случаях опорных закреплений приведены на рис.3.2. В зависимости от условий закреплении стержня потеря устойчивости может происходить в одной из двух главных плоскостей инерции ОхуилиOхz.

Критические силы, соответствующие потере устойчивости стержня в этих плоскостях, определяются по формулам

,. (3.2)

Рис.3.2

Критические напряжения определяются по формуле

, (3.3)

где =l₀/i – гибкость стержня,i– радиус инерции поперечного сечения.

Формулы Эйлера для критической силы и критических напряжений для стержней из малоуглеродистой стали с пределом пропорциональности _пц=

= 200 220 МПа можно использовать в пределах упругости при гибкости100.

При работе стержня за пределом упругости и значениях гибкости 60 < 100 можно использовать эмпирическую формулу Ф.С. Ясинского

, (3.4)

где для указанной стали a = 310 МПа,b = 1,14 МПа, или квадратичную зависимость

, (3.5)

где _т– предел текучести,_пц– предел пропорциональности стали.

При гибкости < 60 можно принять_кр=_т.

Условие устойчивости записывается в виде

, (3.6)

где – коэффициент продольного изгиба (0 << 1), величина которого определяется в зависимости от материала и гибкостистержня.

Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить как отношение критической силы Р_крк заданному нормативному значениюР_нпродольной сжимающей силы

. (3.7)

Продольно-поперечным называется изгиб стержня, возникающий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок (рис.3.3).

Уравнение изогнутой оси в этом случае имеет вид

, (3.8)

г

Рис.3.3

де,М_п– изгибающий момент от действия только попереч-

ной нагрузки, v =v_п+v₁– суммарный прогиб стержня от совместного действия продольной силыР и поперечной нагрузки.

Точное решение уравнения (3.8) можно представить в форме метода начальных параметров. Приближённое решение уравнения (3.8) можно представить в виде

, (3.9)

где v_п – прогиб в произвольном сечении стержня от действия только поперечной нагрузки,Р_кр– критическая сила Эйлера в плоскости изгиба.

Суммарный изгибающий момент от совместного действия продольной силы Р и поперечной нагрузки определяется по формуле

М = М_п+Рv . (3.10)

Проверка прочности стержня при продольно-поперечном изгибе может быть сведена к требованию, чтобы наибольшие сжимающие напряжения в опасном сечении от действия нормативных нагрузок, умноженных на заданную величину коэффициента запаса по нагрузкам n_P, не превышали опасного напряжения, равного для пластичного материала пределу текучести_т

. (3.11)