книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин
.pdfУмножив это выражение на величину с жесткости системы, найдем величину динамической нагрузки
Р==. ЩР«зб |
л — cos nt) — |
||
|
Щ -f - т г |
х |
н > |
cP и з б |
О—№ |
|
sin pt — cos pt -f Q. (V.28) |
|
|
||
т\ (^2 + Р2)
Сравнивая зависимости, определяющие величину действующих на систему динамических нагрузок при различных законах изме нения избыточного усилия, видим, что значения сил F получаются при этом разными.
Пример. Вычислить значения динамических сил и коэффициентов динамич ности для механизма подъема (см. рис. 2, а).
При постоянстве избыточного усилия максимальная нагрузка на упругое звено механизма согласно расчету получилась равной 8960 кгс; это значение со ответствовало моменту времени
|
|
|
t |
_ _я_ _ |
я |
|
___ |
|
||
|
|
|
|
р |
~ |
2 я |
~~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~Т~ |
|
|
|
|
Для лучшего сопоставления результатов значения F будем определять для |
||||||||||
одного и того же момента времени t. |
системы |
|
|
|||||||
Частота |
собственных |
колебаний |
|
|
||||||
|
|
m1m2 |
|
V |
|
400-ІО3-18 715 |
:^513= 2 2 ,6 ; |
|||
■ = |
ѵ |
|
|
17900-815 |
||||||
|
|
|
||||||||
период |
собственных |
колебаний |
системы |
|
|
|||||
|
|
Т = |
2 я |
|
6,28 |
= |
0,28 |
с; |
||
|
|
|
|
|
|
22,6 |
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
^ - = |
0,14 |
с. |
|
||
Значение силы F при Ризб (0 = |
Рпю t определяем по формуле (V. 19), при- |
|||||||||
нимая t„ = |
t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
0,0435-11 000 (1 — 0) + |
8000 = |
8480 кгс (83 000 Н); |
||||||
коэффициент динамичности |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
8480 |
= 1,06. |
|
|||
|
|
|
|
|
8000 |
|
|
|
|
|
Значение силы F при Яизб (t) = |
РИЗб sin kt |
принимая |
|
я |
3,14 |
2t„ |
~ 2-0,14 ~ |
определяем по формуле (V.28),
11, 2;
118
тогда |
kt = 11,2.0,14 = |
1,57; sin kt |
|
||
F = ■ 400 |
-103 •11 000 ( 1 — 0) -f 8000 = 8630 кгс (8460 H); |
|
17900 |
(513— 125) |
|
коэффициент динамичности |
|
|
|
8630 |
= 1,08. |
|
8000 |
|
Значение силы F при Рт q(t) ~ РкЗб (і —е м ) определяем поформуле (Ѵ.28), в которой
,
Для рассчитываемого привода |
|
|
|
||||
J = |
GD2 |
= |
20 |
= 0,51 кгм • с2 (5,0 кгм2); |
|||
4g |
- г - |
||||||
|
|
4 |
|
4 |
|
||
|
|
я п |
|
3,14-720 |
_ |
1 |
|
|
|
|
|
30" |
=75’5— ; |
||
|
|
|
|
47,5 |
1,23, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||
|
|
|
0,51 -75,5 |
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
е- м |
= |
е—1.23.0,14 ; : 0,84; |
|
|||
F = 2 0,0435-11 000 |
|
400-ІО2-П 000 |
|
||||
17 900(1,51 + 513) |
(0,84 + ° + !) |
||||||
|
|
|
|||||
|
8000 = 8020 кгс (78 600 Н ). |
||||||
Коэффициент динамичности |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8020 |
1,003. |
|
|
|
|
Дд ~ |
8000 |
|
|||
|
|
|
|
||||
По результатам вычислений можно заключить, что наиболь шие по величине динамические нагрузки, действующие на эле менты конструкции, возникают при Разб (t) = const, когда на растание движущего (тормозящего) усилия при включении меха низма происходит мгновенно.
Динамика механических систем при других характеристиках переходных процессов рассмотрена в работах [2 , 6 , 1 0 ].
22, ПУСКОВОЙ РЕЖИМ
При пуске механизма его динамическое нагружение обуслов лено действием избыточного усилия, равного разности между дви жущей силой и внешним статическим сопротивлением.
Для механизма подъема, изображенного на рис. 2 , а, макси мальная динамическая нагрузка при Ризб (t) = const опреде ляется по формуле (V. 13). Эта же зависимость может быть приве-
119
дена к формуле, удобной для расчета механизма вращения (см.
рис. 26).
Для этого избыточную силу следует заменить избыточным мо ментом М тб (t) = Мизб = const, массы т х и т 2—■соответствую щими моментами инерции и У2 и статическое сопротивление от веса Q груза —■моментом Мс от сопротивления трения в опор ных узлах поворотной части механизма и от ветровых нагрузок. Тогда формулу для определения динамической нагрузки M F на упругом звене механизма запишем так:
Мр = |
- (1 - |
cos pi) + Ме, |
(V.29) |
||
где р — частота собственных |
колебаний |
системы, |
|
||
Р = |
(Д + Д) |
|
|
||
ДД |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Максимальное значение динамической |
нагрузки |
|
|||
Мр шах — |
2J2Мизб |
Ь Мс. |
(V.30) |
||
Д + Д |
|||||
В этой формуле величиной |
|
|
|
|
|
g _ Мизб |
_ Мр шах — мс |
|
|||
Д ~г Д |
А Т А |
|
|||
определяется осредненная (без учета собственных колебаний) величина углового ускорения системы. Следовательно,
Мр max = 2 Д б "1“ Мс.
Рассмотрим механизм, предназначенный для трелевки древе сины (рис. 25). Представим его как трехмассовую систему, со стоящую из ведущей массы с приведенным к оси барабана момен том инерции J j (вала двигателя и присоединенных к нему частей механизма), массы барабана и вала II с шестернями редуктора с приведенным к той же оси моментом инерции / 2 и массы т груза, приведенной к окружности барабана. Приведенная жесткость первой упругой связи (элементов механизма, расположенных между двигателем и барабаном) равна с|; приведенная жесткость второй упругой связи (тягового каната) равна сг.
Кинетическая энергия этой системы определяется уравнением
Т = ~y Лфі + 4- Дф2 + - j- ms2',
потенциальная энергия
п = -J- И (Фі — ф2) 2 + ~ с2(ф2 — -щ }2,
где ф1( ф2 и s —■обобщенные перемещения соответствующих масс системы;
R 6 — радиус барабана.
120
По выражениям кинетической и потенциальной энергий, произ ведя действия согласно уравнениям (IV.5), находим дифферен циальные уравнения движения системы
Лфі + С 1 (Фі — Фа) = |
Миз6+ М с; |
(Ѵ.31) |
Лф2 — с[ (Фі— ф2) + с2 (фз — -^-) = 0 ; |
(Ѵ.32) |
|
т з - с ' 2 (ср2 _ ^ ) J - = _ P C) |
(Ѵ.ЗЗ) |
|
где Рс — сопротивление волочению |
груза (древесины); |
|
М с — момент сопротивления на |
барабане от силы Рс. |
|
иj |
аи ; , |
а. |
JL а, |
|
а23, запи- |
Обозначив -у- = |
|
||||
J1 |
J,'2 |
|
^2 |
т*\ |
|
шем эти уравнения в операторной форме: |
|
||||
|
|
||||
(р- |
|
11 2 |
Л'Гизб . |
м, |
(Ѵ.ЗІа) |
Г Он) Фі — Ö ф = |
ѵ1 |
ѵ1 |
|
||
|
|
|
|
||
(р2 + |
ап + а22) ф2 — а12ф — |
s = О |
(Ѵ.32а) |
||
(Р2 + й2з) S — а23^бф2 = |
|
(Ѵ.ЗЗа) |
|||
121
Умножим выражение (Ѵ.ЗІа) на величину (р2 а12 + а22), а выражение (Ѵ.32а) — на ап и полученные выражения сложим; тогда после преобразований находим
[(Р2 + flu) (Р2 + « 1 2 + «22)
йИа 22 „ _ Мизб+-Мс/„ 2
----- S —-----------J----- (р
— fluflul Фі —
, „ I „ \ ß12 -f- а22р
Умножая выражение (Ѵ.ЗІа) на а23Яб, |
(Ѵ.ЗЗа) — на |
ап и |
|
из первого вычитая второе, |
получим |
|
|
(Р2 + flu) «гзЯбФі — (Р2 + |
«2з) «iis = |
о23/?б + ^ |
«ц. |
Решая совместно последние два уравнения, приходим к выра жению
(Р6 ; р4а12 + р4а22 + р4аи + р2аиа12 + р2«ц« 22 — р2аца12 +
+ |
рЧ з + Р2«12«23 + |
Р2«22«23 + |
|
|||
+ Р2«11«23 + «11«12«23 + «11«22«23 —«11«12«23 ~ |
Р2«22«23 ~ |
«И«22«2з) Фі = |
||||
— ---' Збу|----- [р4 + |
Р2 (« 12 |
+ «22 |
+ «23)] + |
|
||
|
■^изб |
Мс (^12^23 |
t“ 0 22^2з) |
|
||
|
h |
|
|
|
|
|
U_^p2 |
М азб + |
М с |
|
Pc |
|
|
ß tiiW c |
о |
|
тРб «11« 2 2 |
• |
||
J2 |
|
h |
« 2 3 |
|||
Заменяя в этом выражении постоянные коэффициенты через их значения и переходя после преобразований к обычной форме за писи дифференциального уравнения, получим
IV |
С1 (^ 1 + ^ 2 ) т ^ б + С (^ 2 ~Ь т ^ б ) Л IV |
|
|
Фі + |
J1J2mR\ |
Фі + |
|
|
|
|
|
|
С1С2 ( Л + ^2 + ОТР б ) '■ |
С1С2 ^ и з б |
(Ѵ.34) |
|
----Фі = |
JxJ2mR6 |
|
|
JxJ2tnRg |
|
|
Поступая аналогичным образом, находим остальные диффе ренциальные уравнения:
VI |
С1 |
(А + ^2 ) тЩ>+ с2 (^ 2 |
т^б) Л 1 ѵ |
|
|
ф2 |
|
||||
|
JvL,mRl |
|
ф 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
C1C2 1 + *^2 + т Р б ) |
’• __ |
С1С2 ^ и зб |
(V.35) |
|
|
|
Jyf./nRl |
Фз~ |
JxJ2m Rl |
|
|
|
|
|||
122
IV |
, |
h ('l + J2) m*\ + C2 {h + «*б) J 1 |
1V |
|
S |
-\----------------------------------------------------------------------- |
5------------------------------------------ |
|
S |
|
|
JlJ2mRfr |
|
|
|
|
c\c'2 (A + J2 + mRl) |
c'/2Pm6 |
|
JxJ2m |
(V.36) |
J iJ'/nR в |
|
Все эти уравнения имеют одно и то же характеристическое уравнение, комплексные корни которого
^1 , 2 — |
С\ (Jl + h) m#6 + С2 (J2+ т ^б) Jl |
|
JIJ |
||
|
C'\ (Jl + h) m*l + C2 (J2+ mp2() J\
Jyl./nR^
■ r -
Ac[c2( Jl + J2 -^m R \)
(V.37)
J^JjnR^
Понижая порядок уравнения (V.34), примем
|
|
|
I V |
. . |
I V |
I V |
Ф і = Ф х; |
Ф і = Ф і; |
Ф і = Ф і; |
Ф і = |
Ф ; |
||
тогда получим |
|
|
|
|
|
|
, |
сі ( J i + |
h ) т ^ б + |
с2 (^2 + т ^ б ) h |
■; , |
||
Фі Ч------------------ |
|
г -г -р |
--------------- |
Фі + |
||
, |
с1с2 ( J 1 + J 2 + т ^ б ) |
, |
С1С2 ^ и з б |
|||
*і |
ГТД5 |
|
Фі — |
JlJ2mRg |
||
|
JlJ2mR6 |
|
|
|||
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
фх |
Сх sin kxt -ф- С2 |
cos h]t —|—C3 sin k3t ~j“ C^ cos k2t Ч- |
|
I |
4^изб |
|
|
j 1 ~r J-2~Ь тЩ |
Отсюда находим |
|
|
Фі = |
Cxk t cos k xt — C2kxSin kxt + C3k 2 cos k 2t — |
|
|
—■Cik2 sin k 2t\ |
|
Фх = — Cxk1 sin kxt — Czk1 cos kxt — C3kI sin k2t — Cjt2 cos k2t\
Фх = — CxkI cos kxt + Ctk1 sin ktt — C3kg cos k2t — C<xk3sin kxt.
Ш
Для данной механической системы при |
t — О |
|
Фі — 0; <рх = 0; ф 2 = 0; |
ф 2 = 0; |
|
Р Л |
s = 0. |
|
|
|
|
Далее с учетом этих начальных условий находим: из уравнения (Ѵ.31)
мѵ |
сі |
, сі |
|
Мр |
|
Ф і = —Г |
7 Фх Ч 7 Фг — |
; |
|||
из уравнения (V.32) |
|
|
|
|
|
ф2 = |
|
~ Г Фа' |
2 |
|
|
Ф і- |
~ г |
|
|
||
|
|
J 2 |
J 2 |
|
|
|
|
РсЯб |
|
Мс |
|
J%R(> |
|
|
ф* |
' |
|
|
|
' J, |
|||
из уравнения (Ѵ.ЗЗ) |
|
|
|
|
|
|
mRö Фг- |
mR\ |
|
0 . |
|
По этим значениям находим также
IV |
Фі = Фі: |
hCs ФГ |
Л фг = 0 ; |
|
Фі = |
Фі = ■ |
■фі + |
J2 |
2 |
|
|
•j -ф г |
|
|
V
Ф1 = : Фі = o.
Подставляя найденные начальные условия в приведенные
выше выражения фх (t), фх (t), і))1 (t) и грх (t), получим четыре уравнения для определения четырех постоянных интегрирова ния Сѵ С2, С3 и С4. Заменяя затем в общем решении постоянные интегрирования через их значения, найдем величину ускоре
ния ф]_:
Фі = |
Фі = |
Mpki |
(Mp- M c)kl |
|
h { k \ - % ) |
(h + h + mRl) (k\ - kf) |
|||
|
||||
|
c,M. |
ciMc |
||
|
j\ (fel - kl) |
COS knt ■ |
||
|
■J1J2 (tf - kl) |
|||
124
( |
|
M pk\___________ ( Mp - M c)kj |
||||
\ j l ( k l — k i ) |
( j \ + |
J 2 + ^ б ) |
( fei — *2) |
|||
- c^ |
p______ |
___lcosfe.f |
I |
MP - Mc |
||
j\ (fe? - |
$ |
V 2 ( * ? - $ / |
1 |
^ |
Д + J2+ mR\ ■ |
|
Аналогичным образом решают уравнения (V.35) и (V.36) и
находят значения ср2 и s. Динамическая нагрузка для первого упругого звена исследуемой системы
или |
МFt |
мг |
Jіфі |
|
|
|
|
|
|
МРі = Мѵ |
М„к |
|
(Mp- M c) J lk\ |
|
k\-kl |
(J1+ J2^mR26)(k \ - 4 ) |
|
||
|
|
|||
ciMp |
м рҢ |
(MP- M C) J ^ |
|
|
COS A,t — |
■k\ |
(Ji+J2 + mRl)(k\ — l%) |
|
|
M * ? -* l ) j |
\-K |
|
||
clMp |
c,M |
|
(мр- м с) Jl |
|
Jl(kl-kl) |
l m c |
cos k±t |
(V.38) |
|
h ( k \ - k \ ) |
+ ^2 ~b т^б |
|
||
При COS k 2t — cos k xt = — 1 функция (V.38) получает |
один |
|||
из возможных максимумов: |
|
|
|
|
Mf |
= 2 Mr |
2 (М р -Л 4 с) / г |
(V.39) |
|
|
|
|||
Д + ^2 + т^б
Динамическая нагрузка для второй упругой связи (каната)
F2 = ms + Рс
или, подставляя сюда значение s, |
получим |
|
|||
(Рр — Рс) k2m |
С2 ^с |
COS V |
|||
?2 = |
|
+ ■ |
|||
(m + OTBP) ( ^ - fe2) |
^2Äe(*X-^) |
||||
|
|
|
С2^с |
COS k2t -j |
|
L(m + mBp)(fei - |
fe2 ) |
|
|||
|
|
||||
I |
(Pp |
Pc) m |
_j_ p |
(V.40) |
|
' |
m + mBp |
1 c’ |
|||
|
|||||
где m _ Д -b ^ 2 — приведенная |
масса |
вращающихся частей |
|||
B P ~ |
|
|
|
|
|
механизма. |
|
|
|||
125
При cos k J = cos k J = — 1 динамическая нагрузка получает максимальное значение:
__ 2 (Pp- P c) m4
(V.41)
2 max |
J, + J2mRl |
Момент на барабане от сил инерции
или, заменяя ср2 через его значение, получим
|
М„б = |
< т М р / 2 |
. ( С1 - \- 'с2 ) М с |
M cfe2 |
|
|
|
J2 (fe2 -fe2) |
^ - f e 2 |
||
|
|
|
|||
|
( м р - м с) ф 2 |
|
|
ciMp |
|
|
COS k J |
— |
/ 2 |
||
|
|
|
72 / . 2 i2 \ ' |
||
|
(J\ + ^2 + Ш^б) (kl —*2) - |
|
U? (*?-*£) |
||
(с1 + са)М с |
Mckj |
( m p - |
m c) 4 j 2 |
||
+ |
(kl —k\) |
|
|
|
cos kJ |
J 2 |
fei fe2 |
(^l + J2+ т^б) (fel ~' ^2 ) - |
|||
(Mp — Afc) J2
(V.42)
I ~h ^2 + тЩ>
Максимальное значение |
момент |
М иб имеет при |
|||
cos k J = — 1: |
|
|
|
|
|
M |
_ |
2 ( Mp — Mc) J 2 |
Mc; |
||
1,6 max |
/j + J2 + |
mR\ |
|||
|
|
||||
здесь отношением
Mp-M e
J1 + ^2 + m -^6
cos k J
(V.43)
определяется осредненная величина углового ускорения бара бана.
Пример. Вычислить по формуле (V.41) динамическую нагрузку, действую
щую на канат трелевочной лебедки (см. рис. 25, |
а), имеющей следующие пара |
||||||
метры: |
Jд = 2,5; JМуф = 0,075; J і = |
0,012; |
/ ц |
= |
0,030; / 1Ш= 0,06; J 2Ш= |
||
= 1,0; |
Jзш = 0,50; |
Уг—5 = 160; |
т = |
1,53; |
с д |
= |
0,50-106; СмУф = 0,15• ІО6; |
с\ — 4,15 • 10е. |
У I, J II, J 1Ш, / |
2Ш, Jзш и J4-5 |
соответственно момент инерции |
||||
Здесь Jд , / муф, |
|||||||
двигателя, соединительной муфты, валов и зубчатых колес редуктора, зубчатого
колеса с барабаном в кг-см-с2, т — масса груза; сд, сМуф, сі и сц — угловые жесткости вала двигателя, соединительной муфты и валов с зубчатыми колесами
редуктора в кгс-см/рад. |
мощность |
двигателя |
N = 80 |
кВт; _п = |
|||
|
Для |
рассматриваемого механизма |
|||||
= |
1000 об/мин; передаточные отношения — /12 = |
2,25; /23 = 4,13; (14 = іці^з — |
|||||
= |
9,30; |
к. п. д. — ті12 = т]23 = 0,98; |
Пі-4 = |
т)12ті23 = 0,96; |
радиус |
барабана |
|
Дб = 350 |
мм; сопротивление трелевки груза |
Рс = 1000 кгс. |
|
||||
126
Приведенные к барабану моменты инерции
J \ = |
( J d + |
'муф + |
J i |
+ |
Л ш ) гн + 4 = 2.645 (9,30)20,96 = |
||||
|
|
|
= |
222 кг-см-с2 (22,3 кгм)2; |
|
||||
|
|
= |
( J U |
+ |
^ 2 ш |
+ |
^ З ш ) *23ТІ 2 3 + |
^ 4 — 5 = |
|
= |
1,53 (4,13)2 0,98 + |
160 = 186 кг-см-с2 (19,0 кгм2). |
|||||||
Момент на валу двигателя |
|
|
|
|
|
||||
Л4Д = |
975— = |
975 |
^ |
= 7 8 |
кг-м = 7800 |
кгс-см (795 |
Н-м); |
||
д |
п |
|
1000 |
|
|
' |
' |
||
движущий момент на барабане |
|
|
|
||||||
Л4Р = |
Мдг14т)14 = 7800-9,30-0,96 = 69 500 |
кгс-см (7070 |
Н-м); |
||||||
избыточное усилие привода, приведенное к барабану, |
|
||||||||
Ртб = Рр - |
Рс = |
MJL _ |
р с = |
— 1003 = 980 кгс (9600 Н ). |
|||||
Искомая динамическая |
нагрузка |
|
|
|
|||||
„2-980-1,53 (35,0)2
F2 шах “ 2 2 2 + |
1 8 6 + |
1870 |
+ 1000 - 2600 |
кгс (25 600 Н)- |
Коэффициент динамичности |
|
|
|
|
к |
F 2 |
шах |
2600 |
|
|
|
|
2,60. |
|
|
|
|
1000 |
|
23. ТОРМОЗНЫЕ РЕЖИМЫ
Рабочее торможение. В этом случае на эквивалентной схеме механизма вращения, изображенной на рис. 26, движущий мо мент М р (/) заменяют тормозящим моментом М Т (t), направлен ным в сторону момента сопротивления М с, а угол скручивания упругого звена равняется
|
Ф = — (ф2— Фі)- |
|
|
|
|||||
Рабочее торможение механизма про |
|
||||||||
изводится |
обычно |
при |
выключенном |
|
|||||
двигателе, |
когда |
скорость |
движения |
|
|||||
груза (при подъеме) или иного элемента |
|
||||||||
машины постепенно снизится до нуля. |
|
||||||||
В этом случае |
закон |
изменения функ |
|
||||||
ции |
М т(t) |
определяется, |
в |
основном, |
|
||||
характером |
нарастания |
тормозящего |
|
||||||
усилия на тормозе. |
|
|
|
|
|
|
|||
Приведенные к оси поворота массы |
|
||||||||
вращающихся |
частей |
механизма |
при |
Рис 26 Эквивалентная схе. |
|||||
торможении будут несколько больше, |
|||||||||
чем |
при пусковом |
режиме |
(так |
как |
ма двухмассовой системы ме- |
||||
в |
формулах |
приведения |
величина |
ханизма вращения |
|||||
127