Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин

.pdf
Скачиваний:
56
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
9.73 Mб
Скачать

Перенося силу Fln в точку Сх, заменяем ее силой Fln и парой

с моментом M Fl = Fln%; силу Flx переносим в точку Сх по линии ее действия.

Силе FTl в точке Сх эквивалентна сила FT Frl и пара с мо­ ментом Mp = FT l.

г т

т 1 3

_

_____

Парам сил с моментами Lx

и М х в точке Сх соответствуют

пары, моменты которых

 

 

 

 

I М I = I

М х I cos х;

\L\ = \L1\.

Таким образом, взаимодействие колеса с пневматической ши­ ной с поверхностью качения может быть описано следующими си­ лами и парами сил:

нормальной реакцией, определяемой уравнением (IV.9);

 

тангенциальной

реакцией FTl;

 

 

боковой

реакцией

 

 

 

 

F б = F \ +

Р sin х

= a n !

+ а п ' ! + a n t + a i n ’t + A sin f ,

(I V .

10)

моментом

 

 

 

 

 

 

 

M =

( a ^ y - f c t r r у ) c o s x ;

( I V . 1 1 )

моментом

 

 

 

 

 

 

 

L =

Lx -f- Mp = «31^ -{- Оз'1'i 'Ь

 

 

 

 

+

0ззХ + ^з'З'Х + \P cos t-

(IV.

12)

Как видим, реакции связей зависят от параметров деформации шины, которые могут быть учтены кинематическими уравнениями связей. Рассмотрим вывод этих уравнений.

Условие качения колеса с пневматической шиной без скольже­ ния в отличие от колеса с жестким ободом выражается двумя векторными уравнениям:

«к = 0 ,

___

л

где ѵк — линейная скорость точки к\

сок — угловая скорость площадки контакта. Раскроем значения этих скоростей.

Абсолютную скорость точки к выразим через векторную сумму переносной скорости ѵек, равной скорости точки Сх, недефор­ мируемой шины, и относительной скорости ѵгк точки к относи­ тельно С у .

ѵк

88

Здесь переносная скорость

 

°ек = ѴС + “

X 7К,

где ѵс — скорость

точки С оси

колеса;

о) — его угловая скорость

вращения;

гк — радиус качения колеса.

 

Так как

 

 

 

со =

к г\\) 4' пѲ +

^2ф‘>

гк — гкп’>

где k x, п, k 2, n ' — единичные векторы соответственно осей Cz^,

CN, Cz2 и CN',

то

ѵек ~ VCt Ѵс Гк ( k ^ + ПѲ + 7 2ф) tl' =

= ѴС — rK\p (k± X n') — ГКѲX П’) — Гкф (k2 X n'),

или, учитывая, что

k2cos Ѳ,

окончательно получим

Ѵек Ѵс Гкі|) COS 0 (k2 X n') — ГКѲ (п X n') — Гкф {k2 X n') =

=

ѵс +

гкф cos Ѳп — rj)k2

-f

гкфn.

(IV. 13)

Относительная

скорость

 

 

 

 

ѵГк =

+ ^ 2 (гкф sin 7) ві,

(IV. 14)

где е1 и е2 — единичные векторы осей С

и С1 т].

 

Таким образом,

 

 

 

 

= ѵс + гкф COS 0n — ф 2+

гкфП + |е х +

 

 

+

^ 2 — ('■K(PsinY)e1

=

0.

(IV. 15)

Спроектируем это уравнение на оси неподвижной системы координат Oxyz, связанной с плоскостью дороги. Воспользуемся для этого табл. 8 .

Тогда получим

хс -|- гкфcos Ѳcos ij3 — гкѲsin Ѳsin ф 4-

 

4- гкфcos яр — f cos яр — г] sin яр — гкф sin Y cos яр =

0;

Ус + гкф cos 0 sin яр + гкѲsin 0cos яр +

 

4- /"кФ Sin яр — I Sin яр 4~ 41 COS яр 4 “ гкф Sin Y sin 0 =

0.

89

Проекции единичных векторов на оси системы координат Охуг

Т а б л и ц а 8

 

 

 

Оси

 

Векторы

Ох

Oy

Oz

 

п

cos ф

sin ф

0

 

sin Ѳsin ф

— sin Ѳcos\|)

cos Ѳ

<?і

CÖS тр

— sin Ф

0

е-2

— sin Ф

COS Ф

0

Введем

в рассмотрение угол %= 90° — Ѳ и запишем послед­

ние уравнения в таком виде:

 

 

хс + гкф sin %cos Ф + ГЛ cos X sin ф +

 

+

Гкф COS Ф + I COS ф — T] Sin ф — rKcp sin у COS Ip =

0;

 

Ус = гкф sin x sin ф — rKx COS X cos ф +

 

- f

rKCp Sin Ф — I Sin Ф -f- T] cos ф + rsin у sin ф =

0

или, принимая ввиду малости углов cos ф = 1 , sin ф =

ф, cos у =

=1 , sin у = у и пренебрегая величинами 2 -го порядка малости,

получим

Хс +

ГкФ sin X + гкхф cos X +

 

+ гкф + | — тіф — rKcpY= 0;

(IV. 16а)

Ус +

гкфф sin X — rKx cos X +

 

 

Р гкфф — ^Ф + т1 = 0.

(IV. 166)

Третьим уравнением кинематических связей будет уравнение

(0К ® гк —Ь ® т к

где сож — угловая скорость площадки контакта в ее переносном движении вместе с колесом; сой{ = ф;

согк — угловая скорость площадки в ее относительном дви­ жении,

рк — радиус кривизны беговой линии в центре площадки контакта;

Рк = аі — by — сх;

а =

2

, 2

— ; с =

1

гі оі

о =

--------некоторые постоянные

1 1 2 ].

 

гк

 

Гк

ЛК

 

90

Таким образом, в окончательном виде третье уравнение кине­ матических связей запишем так:

Ф + Y

I _ 'кФ

= 0.

(IV. 17)

 

1 аЪ,by с%

 

Для получения дифференциальных уравнений движения колеса с жестким ободом, рассмотренных в предыдущем параграфе, были использованы уравнения Лагранжа с неопределенными мно­ жителями. Для тех же целей могут быть применены и уравнения Лагранжа—Чаплыгина вида

d

I

dL

\

dL

дФ = Qt + Яі,

(IV. 18)

dt

[

dqt

)

dqi

 

 

где L — Т П — функция

Лагранжа;

энергии си­

Т и П — кинетическая и

потенциальная

 

стемы;

Рэлея

(диссипативная функция);

Ф —■функция

qi и qt — обобщенные координаты и скорости элементов системы;

Qt — обобщенные силы;

Rt ■— обобщенные реакции неголономных связей. Так как обобщенная реакция неголономных связей пневма­

тика зависит, как было показано, от параметров деформации шины, то дифференциальные уравнения движения, полученные после раскрытия уравнений (IV. 18), можно решить только с уче­ том уравнений кинематических связей (IV. 16, IV. 17). Тогда мы получим полную систему уравнений, решение которой позволит найти зависимости qx (f), \(t), т](/), у (t).

16. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНЫХ МАШИН

Рассмотрим движение колесной системы по кривой, предпо­ лагая, что передние колеса образуют с прямой С]С2, проходящей через точки контакта передних и задних колес с поверхностью качения, угол ßci, а задние колеса — угол ßC2 (рис. 21). При этом допускаем, что прямые СіѴх и C2N 2 ввиду значительных радиусов

кривизны р! и р2 мало отличаются от касательных к следам колес

f i и /3.

Обозначая отрезок СХС2 через

/, по схеме, приведенной на

рис. 2 1 ,

находим

 

 

Хсі = Ха + I cosф;

 

Усі — Уа +

(IV. 19)

 

/sini|x

Если

sx и s2 — дуги кривых fi

и / 2, то из известных соотно­

шений следует, что

 

d x c i = —dsj, cos(ßCl —ф); }

(IV.20)

d y cl = d s t sin (ßci —ф) I

 

91

dxc2

= ds2cos (ßc2 + Ф);

(IV.21)

dyc2 = ds2sin (ßC2 -f -ip); I

 

здесь (ßci — ф) и (ßc2

Ф)— углы касательных C1N 1 и C2N 2

 

с горизонталью.

 

Дифференцируя уравнения (IV. 19), находим

 

dxci = dxC 2 dtyl sin ф; dyCl = dyc2 d^l cos ф

 

и, заменяя здесь dxC2 и сй/ С2 их значениями по формулам (IV.21),

dxci = ds2cos (ßc2 + Ф) — с?ф/ sin ф;

(IV.22)

dyci — ds2sin (ßc2 + Ф) — dtyl cos ф.

Далее приравниваем друг другу правые части первого уравне­ ния (IV.20) и первого уравнения (IV.22), второго уравнения (IV.20)

 

 

 

и второго

уравнения

 

 

 

(IV. 22).

Из

полученных

 

 

 

таким

образом

равенств

 

 

 

после

раскрытия

косину­

 

 

 

сов И СИНУСОВ УГЛОВ ( ß c j —

 

 

 

— Ф)

И C2 + ф)

 

и соот­

 

 

 

ветствующих

преобразо­

 

 

 

ваний

получим

 

 

 

 

 

dst

sin

(ßCl — ßc2) _

 

 

 

гіф

 

cos ßc2

 

= /;

 

 

 

 

 

 

 

 

(IV.23)

 

 

 

ds2

sin

(ßci — ßc2)

/.

Рис. 21. Качение колес по

круговой траек­

<іф

 

cos ßct

 

 

 

(IV.24)

тории

 

 

 

 

 

 

 

В этих выражениях

ds1

äs»

представляют собой радиусы

 

<іф

кривизны рх и р2 следов переднего и заднего колес; с учетом этого из выражений (IV.23) и (IV.24) находим

Рх =

/

cos ßc2

(IV.25)

(ßci — ßc2) ’

 

sin

 

Р 2 —

I sin

COS ß d

(IV.26)

(ß c i — ß c 2) '

 

Из полученных уравнений следует, что при постоянных зна­ чениях углов поворота передних и задних колес радиусы кри­ визны Рх и р2 также постоянны по величине, и, следовательно, следы колес являются в этом случае окружностями с общим цен­ тром вращения в точке О, а прямая СхС2 при движении колес будет вращаться вокруг вертикали, проходящей через точку О, с угловой скоростью 0),

92

В частных случаях при ± ß ci = ± ß C2 радиусы кривизны

Pi = Р3 = Р = со;

при ßC2 = —ßci

Рі = Рг = Р

1

I

2

sin ßci

 

Запишем теперь выражения (IV.23) и (IV.24) в таком виде:

dsx

 

dt

_

sin (ßci — ßc2)

_

 

 

#

cos ßC2

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

ds2

 

S i n ( ß C l — ßc2)

_

J

 

Ч Г

 

 

dty

 

cos ßCl

 

 

 

dt

 

 

 

 

и обозначим

 

 

 

diß

 

dt

Vi,

 

ds, = V*

= (o.

 

 

Ч Г

dt

 

где Sj и u2 — скорости

передних и задних колес.

Тогда последние выражения можно записать так:

 

ѵі

'sin (ßCl — ßCä)

= ^

 

 

(0

'

cosßC2

 

 

 

V 2

. Sin (ßCl — ßc2)

_

 

 

0)

 

COS ßci

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

Vx =

I COS ßca

 

.

 

(0 sin (ßci — ßca)

 

По =

I COS ß c i

 

 

 

И ——775--- - w

 

 

 

 

sin (ßCl — ßc2

 

При ßC2

ßci

 

 

 

 

 

 

 

/ cos ßci

_

 

 

V =

 

 

= cop.

 

 

со 2 sin ßCl cos ßCl

(IV.27)

(IV.28)

(IV.29)

(IV.30)

Если

ввиду

малости

углов принять sin (ßci — ßC2) =

ßCi —

•— ßC2;

cos ßci =

cos ßC2

= 1

и соответственно

vx = v2 —

v, то

из уравнения (IV.27) следует,

что

 

 

 

 

 

/- 5 - =

ß ci-ß ci.

(IV.31)

93

Для колес с пневматической шиной углы ßci и ßC2 склады­ ваются из углов поворота этих колес ух и у 2 и углов их увода ösl и 6 s2, обусловленных боковой упругостью шин, т. е.

ßci = Yi

6 si;

ßc2 — Y2 ~Ь öS2 -

На основании зависимости (IV.31) получим

I

(Ѵі

Ѵг) — ^sl 6 s2 -

В частном случае, для колесной машины только с передними

управляемыми колесами (у2

= 0 )

 

І - Т -

Yi = 6 si — 6 S2.

(IV.32)

17. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

Присутствие нелинейных членов в дифференциальных уравне­ ниях может быть обусловлено нелинейной характеристикой упру­ гих звеньев системы; нелинейной характеристикой привода или нагружением исполнительных органов исследуемой системы внеш­ ними нагрузками, зависящими от скорости процесса; нелиней­ ным характером сопротивлений, когда кинетическая энергия дан­ ной системы зависит от ее положения.

Линеаризация математической модели сводится к отбрасыва­ нию нелинейных членов в дифференциальных уравнениях движе­ ния. Линеаризация физической модели означает замену нелиней­ ных характеристик линейными и рассмотрение таких условий движения, которые позволяют без существенных погрешностей исключить все факторы, вызывающие нелинейность.

На рис. 22, б показан пример нелинейной упругой характе­ ристики, которая описывается уравнением второго или более высокого порядка. С некоторым приближением эта характери­ стика может быть описана линейными зависимостями, если задан­ ную кривую представить в виде двух (или более) «кусочно-линей­

ных»

характеристик

с угловыми коэффициентами сг = tg оц и

сг =

tg а 2. Значения

этих угловых коэффициентов численно

равны жесткости системы, а силы упругости определяются выра­ жениями

F = сгх при 0 ss: X х0;

F = С]Х + с2 х0) при X > х0.

Для широко применяемых в кранах асинхронных двигателей с фазными роторами естественная характеристика может быть представлена состоящей из трех последовательно расположенных отрезков прямой (рис. 22, а). Каждая из этих прямых описывается уравнениями

MR(n) — Мд 1 ст1п при п > Пі,

Мл (п) = Мд2 -f- ст2п при % > п > « 2;

Мд (л) = Мдз + ст п при п < п2,

94

где

/Ид («) — крутящий момент двигателя по характери­

 

стике;

 

п — число оборотов вала двигателя;

 

стХ\ ст2 >стз — угловые коэффициенты заменяющих прямых

 

и 2, 3 .

Аналогичные соотношения справедливы и для приведенных параметров системы. В частности, окружное усилие на колесе механизма передвижения крана

Р к = Мл (п)І2-ч,

где іт и 1]— соответственно передаточное число и к. п. д. от вала двигателя к валу колеса;

г — радиус колеса.

Решение динамической задачи при подобной замене действи­ тельной характеристики двигателя «кусочно-линейной» характе­

ристикой разбивается на три последовательных этапа, для каждого из которых решают дифференциальное уравнение, соответствую­ щее выделенному участку характеристики. При этом решения, полученные для первого этапа, являются начальными условиями для дифференциальных уравнений второго этапа, а решения вто­ рого этапа — начальными условиями для дифференциальных уравнений третьего этапа.

Рассмотрим механическую систему, движение которой в общем случае описывается нелинейными дифференциальными уравне­ ниями. Система состоит из массы тг колесной тележки, движу­ щейся по горизонтальной плоскости со скоростью V, и массы т

95

груза, свободно подвешенного к тележке. В процессе движения

происходит качание груза, отклоняющегося

от вертикали на

угол ф (рис. 2 2 ,

б).

 

 

 

Абсолютная скорость груза ѵа равна геометрической сумме

скорости ѵе = V груза

в его переносном движении и скорости

ѵг = ф/ в его относительном движении

 

 

ѵ\ =

V2 -)- ф2/2 -(- 2/фПсоз ф.

 

Кинетическая энергия такой системы определяется уравне­

нием

 

 

 

 

Т —

mxü2 -f

rnv2 -f

mPф2 + mlepv cos ф.

Как видим,

кинетическая энергия данной

системы зависит

не только от скоростей ее масс, но и от ее положения (cos ф).

Произведя действия,

указанные в уравнении (IV.5), получим

 

~ = = { m T + tn)v + m/ф cos ф;

d

= {Щ -\- m )v

mlq> cos ф m / ф 2 sin ф ;

ЧГ

 

 

 

 

д Т

— ml

шіѵсоэф;

 

<3(р

 

 

d дТ

~~dt дер

Обобщенная сила

: ml2ф + tnlv cos ф • т/фп sin ф;

д Т = — mkpv sin ф.

дер

<2 Ф = — mgl sin ф.

Подставляя эти выражения в уравнения (IV.5), получим

 

(mT- f т) V+

m/ф cos ф тІц>2 sin ф 0;

|

 

 

ml2ф +

tnlv cos ф = — mgl sin ф.

j

 

При

малых углах

качания груза можно принять cos ф

1;

sin ф

ф, а величину

более высокого порядка малости ф2

sin ф

считать равной нулю. Тогда от точных дифференциальных нели­ нейных уравнений перейдем к приближенным, но теперь линей­

ным дифференциальным

уравнениям

 

 

(тх -}- т) и -\- т/ф = 0 ; |

 

т /2ф -f mlv -f mgl(p —

0 .j

Умножая первое

из

этих уравнений

на ml, а второе — на

(т Т + т ) и вычитая

из

первого второе,

после соответствующих

преобразований получим

•П т " ,

g

щ т

ф +

-у-ф = 0 .

 

 

Часть

ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ

вторая

НАВЕСНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

 

КОЛЕСНЫХ МАШИН

Г л а в а

V. ДИНАМИКА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

18. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИГАТЕЛЕЙ И ИХ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

Двигатели внутреннего сгорания. К этим двигателям относят карбюраторные двигатели и дизели. Работа двигателей регули­ руется подачей топлива; всережимный центробежный регулятор допускает изменение скоростного режима до максимального числа оборотов холостого хода.

На механической характеристике двигателя внутреннего сго­ рания (рис. 23, а) могут быть отмечены два четко выраженных участка — первый от 0 до номинального числа оборотов пп и вто­ рой — за номинальными оборотами двигателя. Последний уча­ сток характеристики соответствует зоне устойчивой работы дви­ гателя; эту ветвь называют регуляторной, она может быть прибли­ женно описана уравнением прямой

Мд = аг Ьг(о.

Первая, безрегуляторная, ветвь характеристики соответствует зоне неустойчивой работы двигателя и может быть описана урав­ нением параболы

 

Мд = а + Ьа — со)2,

где

о) — угловая скорость коленчатого вала дви­

аи

гателя;

Ьх, с, ах и Ьх — постоянные коэффициенты.

Перегрузочная способность двигателей определяется отноше­ нием максимального (пускового) момента Мп к номинальному моменту Мн:

для двигателей внутреннего сгорания Кп = 1,05 ч-1,15.

7 Л . А. Гоберман

97

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ