книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин
.pdfПеренося силу Fln в точку Сх, заменяем ее силой Fln и парой
с моментом M Fl = Fln%; силу Flx переносим в точку Сх по линии ее действия.
Силе FTl в точке Сх эквивалентна сила FT — Frl и пара с мо ментом Mp = FT l.
г т |
т 1 3 |
_ |
_____ |
Парам сил с моментами Lx |
и М х в точке Сх соответствуют |
||
пары, моменты которых |
|
|
|
|
|
I М I = I |
М х I cos х; |
\L\ = \L1\.
Таким образом, взаимодействие колеса с пневматической ши ной с поверхностью качения может быть описано следующими си лами и парами сил:
нормальной реакцией, определяемой уравнением (IV.9); |
|
|||||
тангенциальной |
реакцией FTl; |
|
|
|||
боковой |
реакцией |
|
|
|
|
|
F б = F \ + |
Р sin х |
= a n ! |
+ а п ' ! + a n t + a i n ’t + A sin f , |
(I V . |
10) |
|
моментом |
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
( a ^ y - f c t r r у ) c o s x ; |
( I V . 1 1 ) |
||
моментом |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
Lx -f- Mp = «31^ -{- Оз'1'i 'Ь |
|
|
|
|
|
+ |
0ззХ + ^з'З'Х + \P cos t- |
(IV. |
12) |
|
Как видим, реакции связей зависят от параметров деформации шины, которые могут быть учтены кинематическими уравнениями связей. Рассмотрим вывод этих уравнений.
Условие качения колеса с пневматической шиной без скольже ния в отличие от колеса с жестким ободом выражается двумя векторными уравнениям:
«к = 0 ,
___ |
л |
где ѵк — линейная скорость точки к\
сок — угловая скорость площадки контакта. Раскроем значения этих скоростей.
Абсолютную скорость точки к выразим через векторную сумму переносной скорости ѵек, равной скорости точки Сх, недефор мируемой шины, и относительной скорости ѵгк точки к относи тельно С у .
ѵк
88
Здесь переносная скорость
|
°ек = ѴС + “ |
X 7К, |
|
где ѵс — скорость |
точки С оси |
колеса; |
|
о) — его угловая скорость |
вращения; |
||
гк — радиус качения колеса. |
|
||
Так как |
|
|
|
со = |
к г\\) 4' пѲ + |
^2ф‘> |
гк — — гкп’> |
где k x, п, k 2, n ' — единичные векторы соответственно осей Cz^,
CN, Cz2 и CN',
то
ѵек ~ VCt — Ѵс Гк ( k ^ + ПѲ + 7 2ф) tl' =
= ѴС — rK\p (k± X n') — ГКѲ(П X П’) — Гкф (k2 X n'),
или, учитывая, что
— k2cos Ѳ,
окончательно получим
Ѵек — Ѵс — Гкі|) COS 0 (k2 X n') — ГКѲ (п X n') — Гкф {k2 X n') =
= |
ѵс + |
гкф cos Ѳп — rj)k2 |
-f |
гкфn. |
(IV. 13) |
Относительная |
скорость |
|
|
|
|
|
ѵГк = |
+ ^ 2 — (гкф sin 7) ві, |
(IV. 14) |
||
где е1 и е2 — единичные векторы осей С |
и С1 т]. |
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
= ѵс + гкф COS 0n — ф 2+ |
гкфП + |е х + |
|
|||
|
+ |
^ 2 — ('■K(PsinY)e1 |
= |
0. |
(IV. 15) |
Спроектируем это уравнение на оси неподвижной системы координат Oxyz, связанной с плоскостью дороги. Воспользуемся для этого табл. 8 .
Тогда получим
хс -|- гкфcos Ѳcos ij3 — гкѲsin Ѳsin ф 4- |
|
4- гкфcos яр — f cos яр — г] sin яр — гкф sin Y cos яр = |
0; |
Ус + гкф cos 0 sin яр + гкѲsin 0cos яр + |
|
4- /"кФ Sin яр — I Sin яр 4~ 41 COS яр 4 “ гкф Sin Y sin 0 = |
0. |
89
Проекции единичных векторов на оси системы координат Охуг |
Т а б л и ц а 8 |
||
|
|||
|
|
Оси |
|
Векторы |
Ох |
Oy |
Oz |
|
|||
п |
cos ф |
sin ф |
0 |
|
sin Ѳsin ф |
— sin Ѳcos\|) |
cos Ѳ |
<?і |
CÖS тр |
— sin Ф |
0 |
е-2 |
— sin Ф |
COS Ф |
0 |
Введем |
в рассмотрение угол %= 90° — Ѳ и запишем послед |
|
ние уравнения в таком виде: |
|
|
|
хс + гкф sin %cos Ф + ГЛ cos X sin ф + |
|
+ |
Гкф COS Ф + I COS ф — T] Sin ф — rKcp sin у COS Ip = |
0; |
|
Ус = гкф sin x sin ф — rKx COS X cos ф + |
|
- f |
rKCp Sin Ф — I Sin Ф -f- T] cos ф + rKф sin у sin ф = |
0 |
или, принимая ввиду малости углов cos ф = 1 , sin ф = |
ф, cos у = |
|
=1 , sin у = у и пренебрегая величинами 2 -го порядка малости,
получим
Хс + |
ГкФ sin X + гкхф cos X + |
|
+ гкф + | — тіф — rKcpY= 0; |
(IV. 16а) |
|
Ус + |
гкфф sin X — rKx cos X + |
|
|
Р гкфф — ^Ф + т1 = 0. |
(IV. 166) |
Третьим уравнением кинематических связей будет уравнение
(0К ® гк —Ь ® т к
где сож — угловая скорость площадки контакта в ее переносном движении вместе с колесом; сой{ = ф;
согк — угловая скорость площадки в ее относительном дви жении,
рк — радиус кривизны беговой линии в центре площадки контакта;
Рк = аі — by — сх;
а = |
2 |
, 2 |
— ; с = |
1 |
гі оі |
— |
о = |
--------некоторые постоянные |
1 1 2 ]. |
||
|
гк |
|
Гк |
ЛК |
|
90
Таким образом, в окончательном виде третье уравнение кине матических связей запишем так:
Ф + Y |
I _ 'кФ |
= 0. |
(IV. 17) |
|
1 аЪ,— by — с% |
|
|
Для получения дифференциальных уравнений движения колеса с жестким ободом, рассмотренных в предыдущем параграфе, были использованы уравнения Лагранжа с неопределенными мно жителями. Для тех же целей могут быть применены и уравнения Лагранжа—Чаплыгина вида
d |
I |
dL |
\ |
dL |
дФ = Qt + Яі, |
(IV. 18) |
dt |
[ |
dqt |
) |
dqi |
|
|
где L — Т — П — функция |
Лагранжа; |
энергии си |
||||
Т и П — кинетическая и |
потенциальная |
|||||
|
стемы; |
Рэлея |
(диссипативная функция); |
|||
Ф —■функция |
||||||
qi и qt — обобщенные координаты и скорости элементов системы;
Qt — обобщенные силы;
Rt ■— обобщенные реакции неголономных связей. Так как обобщенная реакция неголономных связей пневма
тика зависит, как было показано, от параметров деформации шины, то дифференциальные уравнения движения, полученные после раскрытия уравнений (IV. 18), можно решить только с уче том уравнений кинематических связей (IV. 16, IV. 17). Тогда мы получим полную систему уравнений, решение которой позволит найти зависимости qx (f), \(t), т](/), у (t).
16. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНЫХ МАШИН
Рассмотрим движение колесной системы по кривой, предпо лагая, что передние колеса образуют с прямой С]С2, проходящей через точки контакта передних и задних колес с поверхностью качения, угол ßci, а задние колеса — угол ßC2 (рис. 21). При этом допускаем, что прямые СіѴх и C2N 2 ввиду значительных радиусов
кривизны р! и р2 мало отличаются от касательных к следам колес
f i и /3.
Обозначая отрезок СХС2 через |
/, по схеме, приведенной на |
|
рис. 2 1 , |
находим |
|
|
Хсі = Ха + I cosф; |
|
|
Усі — Уа + |
(IV. 19) |
|
/sini|x |
|
Если |
sx и s2 — дуги кривых fi |
и / 2, то из известных соотно |
шений следует, что |
|
|
d x c i = —dsj, cos(ßCl —ф); } |
(IV.20) |
|
d y cl = d s t sin (ßci —ф) I |
||
|
91
dxc2 |
= ds2cos (ßc2 + Ф); |
(IV.21) |
|
dyc2 = ds2sin (ßC2 -f -ip); I |
|||
|
|||
здесь (ßci — ф) и (ßc2 |
Ф)— углы касательных C1N 1 и C2N 2 |
||
|
с горизонталью. |
|
|
Дифференцируя уравнения (IV. 19), находим |
|
||
dxci = dxC 2 — dtyl sin ф; dyCl = dyc2 — d^l cos ф |
|
||
и, заменяя здесь dxC2 и сй/ С2 их значениями по формулам (IV.21),
dxci = ds2cos (ßc2 + Ф) — с?ф/ sin ф;
(IV.22)
dyci — ds2sin (ßc2 + Ф) — dtyl cos ф.
Далее приравниваем друг другу правые части первого уравне ния (IV.20) и первого уравнения (IV.22), второго уравнения (IV.20)
|
|
|
и второго |
уравнения |
||||
|
|
|
(IV. 22). |
Из |
полученных |
|||
|
|
|
таким |
образом |
равенств |
|||
|
|
|
после |
раскрытия |
косину |
|||
|
|
|
сов И СИНУСОВ УГЛОВ ( ß c j — |
|||||
|
|
|
— Ф) |
И (ßC2 + ф) |
|
и соот |
||
|
|
|
ветствующих |
преобразо |
||||
|
|
|
ваний |
получим |
|
|
||
|
|
|
dst |
sin |
(ßCl — ßc2) _ |
|||
|
|
|
гіф |
|
cos ßc2 |
|
= /; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.23) |
|
|
|
ds2 |
sin |
(ßci — ßc2) |
/. |
||
Рис. 21. Качение колес по |
круговой траек |
<іф |
|
cos ßct |
|
|||
|
|
(IV.24) |
||||||
тории |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этих выражениях |
ds1 |
äs» |
представляют собой радиусы |
|||||
|
<іф |
|||||||
кривизны рх и р2 следов переднего и заднего колес; с учетом этого из выражений (IV.23) и (IV.24) находим
Рх = |
/ |
cos ßc2 |
(IV.25) |
|
(ßci — ßc2) ’ |
||||
|
sin |
|
||
Р 2 — |
I sin |
COS ß d |
(IV.26) |
|
(ß c i — ß c 2) ' |
||||
|
Из полученных уравнений следует, что при постоянных зна чениях углов поворота передних и задних колес радиусы кри визны Рх и р2 также постоянны по величине, и, следовательно, следы колес являются в этом случае окружностями с общим цен тром вращения в точке О, а прямая СхС2 при движении колес будет вращаться вокруг вертикали, проходящей через точку О, с угловой скоростью 0),
92
В частных случаях при ± ß ci = ± ß C2 радиусы кривизны
Pi = Р3 = Р = со;
при ßC2 = —ßci
Рі = Рг = Р |
1 |
I |
|
2 |
sin ßci |
||
|
Запишем теперь выражения (IV.23) и (IV.24) в таком виде:
dsx
|
dt |
_ |
sin (ßci — ßc2) |
_ |
|
|
# |
‘ |
cos ßC2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
ds2 |
|
S i n ( ß C l — ßc2) |
_ |
J |
|
Ч Г |
|
|||
|
dty |
|
cos ßCl |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
и обозначим |
|
|
|
diß |
|
dt |
Vi, |
|
ds, = V* |
= (o. |
|
|
|
Ч Г |
dt |
|
где Sj и u2 — скорости |
передних и задних колес. |
||||
Тогда последние выражения можно записать так: |
|||||
|
ѵі |
'sin (ßCl — ßCä) |
= ^ |
|
|
|
(0 |
' |
cosßC2 |
|
|
|
V 2 |
. Sin (ßCl — ßc2) |
_ |
|
|
|
0) |
|
COS ßci |
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
Vx = |
I COS ßca |
|
. |
|
|
(0 sin (ßci — ßca) |
’ |
|||
|
По = |
I COS ß c i |
|
|
|
|
И ——775--- - w |
|
|||
|
|
|
sin (ßCl — ßc2 |
|
|
При ßC2 |
ßci |
|
|
|
|
|
|
|
/ cos ßci |
_ |
|
|
|
V = |
|
|
= cop. |
|
|
со 2 sin ßCl cos ßCl |
|||
(IV.27)
(IV.28)
(IV.29)
(IV.30)
Если |
ввиду |
малости |
углов принять sin (ßci — ßC2) = |
ßCi — |
||
•— ßC2; |
cos ßci = |
cos ßC2 |
= 1 |
и соответственно |
vx = v2 — |
v, то |
из уравнения (IV.27) следует, |
что |
|
|
|||
|
|
|
/- 5 - = |
ß ci-ß ci. |
(IV.31) |
|
93
Для колес с пневматической шиной углы ßci и ßC2 склады ваются из углов поворота этих колес ух и у 2 и углов их увода ösl и 6 s2, обусловленных боковой упругостью шин, т. е.
ßci = Yi |
6 si; |
ßc2 — Y2 ~Ь öS2 - |
На основании зависимости (IV.31) получим |
||
I |
(Ѵі |
Ѵг) — ^sl 6 s2 - |
В частном случае, для колесной машины только с передними
управляемыми колесами (у2 |
= 0 ) |
|
І - Т - |
Yi = 6 si — 6 S2. |
(IV.32) |
17. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
Присутствие нелинейных членов в дифференциальных уравне ниях может быть обусловлено нелинейной характеристикой упру гих звеньев системы; нелинейной характеристикой привода или нагружением исполнительных органов исследуемой системы внеш ними нагрузками, зависящими от скорости процесса; нелиней ным характером сопротивлений, когда кинетическая энергия дан ной системы зависит от ее положения.
Линеаризация математической модели сводится к отбрасыва нию нелинейных членов в дифференциальных уравнениях движе ния. Линеаризация физической модели означает замену нелиней ных характеристик линейными и рассмотрение таких условий движения, которые позволяют без существенных погрешностей исключить все факторы, вызывающие нелинейность.
На рис. 22, б показан пример нелинейной упругой характе ристики, которая описывается уравнением второго или более высокого порядка. С некоторым приближением эта характери стика может быть описана линейными зависимостями, если задан ную кривую представить в виде двух (или более) «кусочно-линей
ных» |
характеристик |
с угловыми коэффициентами сг = tg оц и |
сг = |
tg а 2. Значения |
этих угловых коэффициентов численно |
равны жесткости системы, а силы упругости определяются выра жениями
F = сгх при 0 ss: X х0;
F = С]Х + с2 (х — х0) при X > х0.
Для широко применяемых в кранах асинхронных двигателей с фазными роторами естественная характеристика может быть представлена состоящей из трех последовательно расположенных отрезков прямой (рис. 22, а). Каждая из этих прямых описывается уравнениями
MR(n) — Мд 1 — ст1п при п > Пі,
Мл (п) = Мд2 -f- ст2п при % > п > « 2;
Мд (л) = Мдз + ст п при п < п2,
94
где |
/Ид («) — крутящий момент двигателя по характери |
|
стике; |
|
п — число оборотов вала двигателя; |
|
стХ\ ст2 >стз — угловые коэффициенты заменяющих прямых |
|
и 2, 3 . |
Аналогичные соотношения справедливы и для приведенных параметров системы. В частности, окружное усилие на колесе механизма передвижения крана
Р к = Мл (п)І2-ч,
где іт и 1]— соответственно передаточное число и к. п. д. от вала двигателя к валу колеса;
г — радиус колеса.
Решение динамической задачи при подобной замене действи тельной характеристики двигателя «кусочно-линейной» характе
ристикой разбивается на три последовательных этапа, для каждого из которых решают дифференциальное уравнение, соответствую щее выделенному участку характеристики. При этом решения, полученные для первого этапа, являются начальными условиями для дифференциальных уравнений второго этапа, а решения вто рого этапа — начальными условиями для дифференциальных уравнений третьего этапа.
Рассмотрим механическую систему, движение которой в общем случае описывается нелинейными дифференциальными уравне ниями. Система состоит из массы тг колесной тележки, движу щейся по горизонтальной плоскости со скоростью V, и массы т
95
груза, свободно подвешенного к тележке. В процессе движения
происходит качание груза, отклоняющегося |
от вертикали на |
|||
угол ф (рис. 2 2 , |
б). |
|
|
|
Абсолютная скорость груза ѵа равна геометрической сумме |
||||
скорости ѵе = V груза |
в его переносном движении и скорости |
|||
ѵг = ф/ в его относительном движении |
|
|||
|
ѵ\ = |
V2 -)- ф2/2 -(- 2/фПсоз ф. |
|
|
Кинетическая энергия такой системы определяется уравне |
||||
нием |
|
|
|
|
Т — |
mxü2 -f |
rnv2 -f |
mPф2 + mlepv cos ф. |
|
Как видим, |
кинетическая энергия данной |
системы зависит |
||
не только от скоростей ее масс, но и от ее положения (cos ф).
Произведя действия, |
указанные в уравнении (IV.5), получим |
|||
|
~ = = { m T + tn)v + m/ф cos ф; |
|||
d |
= {Щ -\- m )v |
mlq> cos ф — m / ф 2 sin ф ; |
||
ЧГ |
||||
|
|
|
||
|
д Т |
— ml2ф |
шіѵсоэф; |
|
|
<3(р |
|
|
|
d дТ
~~dt дер
Обобщенная сила
: ml2ф + tnlv cos ф • т/фп sin ф;
д Т = — mkpv sin ф.
дер
<2 Ф = — mgl sin ф.
Подставляя эти выражения в уравнения (IV.5), получим
|
(mT- f т) V+ |
m/ф cos ф — тІц>2 sin ф — 0; |
| |
|
|
|
ml2ф + |
tnlv cos ф = — mgl sin ф. |
j |
|
|
При |
малых углах |
качания груза можно принять cos ф |
1; |
||
sin ф |
ф, а величину |
более высокого порядка малости ф2 |
sin ф |
||
считать равной нулю. Тогда от точных дифференциальных нели нейных уравнений перейдем к приближенным, но теперь линей
ным дифференциальным |
уравнениям |
|
|
|
(тх -}- т) и -\- т/ф = 0 ; | |
||
|
т /2ф -f mlv -f mgl(p — |
0 .j |
|
Умножая первое |
из |
этих уравнений |
на ml, а второе — на |
(т Т + т ) и вычитая |
из |
первого второе, |
после соответствующих |
преобразований получим
•П т " , |
g |
|
щ -р т |
ф + |
-у-ф = 0 . |
|
|
|
Часть |
ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ |
вторая |
НАВЕСНОГО ОБОРУДОВАНИЯ |
|
КОЛЕСНЫХ МАШИН |
Г л а в а |
V. ДИНАМИКА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ |
18. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИГАТЕЛЕЙ И ИХ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
Двигатели внутреннего сгорания. К этим двигателям относят карбюраторные двигатели и дизели. Работа двигателей регули руется подачей топлива; всережимный центробежный регулятор допускает изменение скоростного режима до максимального числа оборотов холостого хода.
На механической характеристике двигателя внутреннего сго рания (рис. 23, а) могут быть отмечены два четко выраженных участка — первый от 0 до номинального числа оборотов пп и вто рой — за номинальными оборотами двигателя. Последний уча сток характеристики соответствует зоне устойчивой работы дви гателя; эту ветвь называют регуляторной, она может быть прибли женно описана уравнением прямой
Мд = аг — Ьг(о.
Первая, безрегуляторная, ветвь характеристики соответствует зоне неустойчивой работы двигателя и может быть описана урав нением параболы
|
Мд = а + Ьа — со)2, |
где |
о) — угловая скорость коленчатого вала дви |
аи |
гателя; |
Ьх, с, ах и Ьх — постоянные коэффициенты. |
Перегрузочная способность двигателей определяется отноше нием максимального (пускового) момента Мп к номинальному моменту Мн:
для двигателей внутреннего сгорания Кп = 1,05 ч-1,15.
7 Л . А. Гоберман |
97 |