книги из ГПНТБ / Пекер Ж.К. Экспериментальная астрономия
.pdf72 |
ГЛАВА I I I |
|
|
2. К Венере и Марсу |
|
Сказанное о |
перелете с Земли на Луну |
(или на |
низкую круговую |
орбиту — для искусственных |
спутни |
ков Земли) можно отнести соответственно и к полету космического аппарата с орбиты Земли вокруг Солнца
к другой планете солнечной |
системы, |
например |
к Марсу |
или Венере. С точки зрения |
небесной |
механики |
эта про |
блема более сложная, чем проблема |
выведения |
спутника |
Земли . Д л я расчета |
траектории мы должны вначале ре |
|||||
шить |
кеплеровскую |
задачу |
двух |
тел — Земли |
и |
ракеты; |
затем |
решить ту ж е |
задачу |
для |
системы Солнце |
и аппа |
|
рат, причем сопряжение решений этих задач |
проводится |
|||||
в рамках задачи трех тел; в окрестности Марса |
осуще |
|||||
ствляют аналогичный переход к кеплеровской |
задаче |
|||||
двух |
тел: космический аппарат и Марс (то ж е |
относится |
к Венере или к любой другой планете) ; независимо рас сматривается задача коррекции (с помощью неныотоновских сил) траектории.
Конечно, из-за сложности этой задачи мы не сможем привести здесь ее полное решение. Однако кое-что мож но легко понять почти интуитивно.
П р е ж д е всего, |
скорость запуска должна быть близка |
к параболической |
или больше ее (гиперболическая ско |
рость): в этом случае небольшой дополнительной энер гии достаточно для достижения орбиты Марса, распо ложенного в бесконечности по отношению к гравита ционному полю Земли *.
В системе Солнце — космический аппарат начальная скорость аппарата в действительности будет по отноше
нию |
к Земле гиперболической, к которой |
добавлена |
||
скорость орбитального |
движения |
Земли вокруг Солнца. |
||
Д л я |
параболической траектории |
эта скорость |
на беско |
|
нечности равна нулю; следовательно, орбита |
объекта, |
|||
запущенного с Земли |
по параболической траектории, |
будет близка к орбите Земли. Различие между этими двумя орбитами возникло бы лишь вследствие несовпа-
* Автор хочет сказать, что Марс находится от Земли на столь большом расстоянии, что вблизи него поле тяготения последней не оказывает заметного влияния на движение космического аппарата.—
Прим. ред,
В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ |
73 |
дения барицентров систем Солнце — аппарат |
и Солнце — |
Земля . |
|
Однако необходимо правильно выбрать переходную орбиту. Решая задачу покидания Земли, направление и величину начальной скорости следует выбрать так, что бы аппарат вышел на гомановскую орбиту. Если пред
положить, что аппарат у ж е поднят на высоту |
Н, то |
пе |
||||||||
ред |
выходом |
на |
траекторию |
полета к |
Марсу |
аппарат |
||||
можно перевести |
на околоземную |
орбиту или |
сразу |
ж е |
||||||
перевести |
на |
эту |
траекторию; его можно запустить и |
|||||||
с промежуточной |
орбитальной |
станции, |
находящейся |
на |
||||||
круговой |
орбите: |
в любом |
случае |
мы |
можем |
считать, |
||||
что |
задача, |
связанная с |
преодолением |
сопротивления |
атмосферы, решена. Гомановская орбита наиболее це лесообразна для дальнейшего движения аппарата, у ж е достигшего высоты Н\ соответствующую скорость не трудно вычислить: она равна сумме скорости на почти параболической геоцентрической орбите и характеристи ческой гелиоцентрической скорости, и в системе, свя занной с Солнцем, значительно отличается от парабо лической скорости. В гелиоцентрической системе коор
динат |
параболическая скорость, соответствующая |
ра |
диусу |
орбиты Земли, равна (см. выше Стр. 35) |
|
|
^ « 42,1 км/с, |
(13) |
а характеристическая скорость для гомановской траек
тории З е м л я — Марс |
равна |
|
V |
U® |
^ М а р с |
На расстоянии, равном радиусу орбиты Марса, кос мический аппарат приобретает скорость (относительно Солнца)
Поскольку скорость |
орбитального движения |
Марса |
равна |
|
|
у = |
2 я - ! ^ ~ 2 4 к м / с |
(16) |
1 Марс
74 |
|
|
|
ГЛАВА I I I |
|
|
|
|
скорость |
|
аппарата |
относительно |
Марса |
будет равна |
|||
24,0 + 21,5 |
км/с. Нижний знак соответствует более пред |
|||||||
почтительному случаю; |
тогда ѵ » 2,5 |
км/с. |
|
|||||
Заметим, что аппарату предстоит еще войти в грави |
||||||||
тационное поле Марса и достичь |
поверхности |
планеты. |
||||||
Если предположить, |
что траектория |
аппарата |
проходит |
|||||
далеко от |
Марса, |
на |
расстоянии, |
|
где |
параболическая |
||
2,5 |
км/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,72 км/с |
|
3,64 км/с |
В. торможение |
|
3,64 км/с |
|
|
|
|
|
Действие |
\ / |
|
торможения |
s |
|
С |
|
Р и с . |
21. Маневр торможения, необходимый для перехода космиче |
|
ского |
аппарата на круговую орбиту спутника Марса Траектория Л |
по отношению к Марсу представляется почти прямой линией, хотя относительно Солнца она является дугой эллипса. Траектория А
отклоняется вследствие притяжения Марса па угол |
а. |
С — часть |
|
ареоцентрической |
гиперболической траектории, по которой |
двигался |
|
|
бы аппарат без торможения. |
|
|
скорость меньше 2,5 км/с (т. е. превышающем |
3 |
радиуса |
|
М а р с а ) , то эту |
траекторию необходимо будет |
изменить. |
На поверхности Марса параболическая скорость состав
ляет |
5,15 |
км/с (рис. 21). |
Следовательно, |
начальная |
||||
энергия должна быть уменьшена торможением |
аппарата; |
|||||||
если |
мы |
хотим достичь поверхности планеты, уменьше |
||||||
ние энергии при торможении должно |
соответствовать |
|||||||
скорости |
]/5,15 2 + 2,52 = |
5,72 |
км/с, |
в |
точности |
равной |
||
скорости, |
необходимой |
для |
того, чтобы вывести аппа |
|||||
рат на гиперболическую орбиту, в |
бесконечно |
удален |
||||||
ной точке |
которой скорость равна 2,5 км/с. Если |
ж е мы |
||||||
хотим |
лишь вывести аппарат |
на очень |
низкую |
круговую |
В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ |
75 |
орбиту вокруг Марса, то относительнуюареоцентриче-
скую скорость следует |
довести |
до величины 3,64 |
км/с; |
||||
таким образом, для выхода на |
такую |
орбиту |
необхо |
||||
димо уменьшить скорость на 5,72 — 3,64 |
= |
2,08 |
км/с. |
||||
З а д а ч а |
перелета к |
другим |
планетам |
рассматри |
|||
вается аналогично. Отметим, что для внутренних |
пла |
||||||
нет, таких, |
как Венера, |
перелет |
Земля — Венера |
анало- |
0 |
2,5 |
5 |
7,5 |
10 |
12,5 |
15 |
Р и с. 22. Связь |
между |
начальной скоростью |
и дальностью перелета |
|||
|
|
космического |
аппарата. |
|
|
гичен обратному |
полету |
Марс — Земля, который можно |
||
рассмотреть |
так |
же, как |
и предыдущий пример, изме |
|
нив лишь |
направление |
скорости на |
противоположное. |
|
На рис. 22 изображена зависимость величины стар |
||||
товой скорости от |
расстояния конечной |
цели полета. |
3.Применение двойных маневров
Вподобных задачах существует общая закономер^
ность: |
невозможно обойтись |
без искусственных |
ускоре |
|||
н и й — дополнительно |
к гравитационным, — которые при |
|||||
даются |
аппарату |
в |
определенных |
точках траектории. |
||
Эти добавочные |
ускорения |
следует |
сообщать |
аппарату |
как можно ближе к притягивающему центру, поскольку при этом увеличивается прирост кинетической энергии, пропорциональной ѵ 2 ; этот прирост тем больше, чем
76 |
ГЛАВА I I I |
б л и же точка |
коррекции к перицентру орбиты, в кото |
ром, согласно закону площадей, скорость наибольшая . Рассмотрим эту точку и оценим эффективность опе рации коррекции. Обозначим через і»( и ѵ2 скорости со-
Р и с. 23. Как сойти с круговой орбиты и удалиться в бесконечность.
ответственно до и после приложения импульса. Тогда разность энергий будет равна
|
ô £ = y (у\— |
і^) т = |
ѵЬѵт, |
(17) |
|
поскольку потенциальная |
энергия |
не |
изменяется. |
Но |
|
для сообщения |
импульса |
необходимо |
затратить |
энер |
|
гию |
|
|
|
|
|
ô ' £ |
= - i ( D 2 - r ) l ) 2 ' " = |
y ( ô w ) 2 m . |
(18) |
Следовательно, эффективность можно определить отно шением
|
# |
= - ^ ± ^ ~ |
2 ^ . |
|
(19) |
При заданном |
ôv, |
или ö'E, эффективность возрастает |
|||
с увеличением |
ѵ. |
Это свойство |
лежит |
в основе предло |
|
женных методов использования |
двойных |
маневров; |
для |
иллюстрации сути этих методов обратимся к примеру, рассмотренному Берманом.
Предположим, что мы хотим решить следующую за дачу: перевести космический аппарат, находящийся на круговой орбите, в бесконечность по параболической или гиперболической траектории. Простейшее решение дается траекторией типа а (рис. 23), в единственной точке А,
В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ |
77 |
которой сообщается ускорение. Существует другое ре шение, типа б, в котором коррекция производится д в а ж ды: в точках А и В. В маневре а
|
|
|
|
àvA = |
ü K p y r |
— Опт . |
|
|
|
(20) |
||
а в маневре |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аѵв |
= |
(ѵкт>ут |
— ѵ9ЛЛ,в) |
+ |
(ѵгпп |
— ѵзлл>А). |
|
(21) |
|||
Энергия |
ракеты |
на |
гиперболической |
орбите |
равна |
|
||||||
£ = і |
m |
|
o |
L |
= |
i w o L |
\ потен |
= - |
^ - j , |
(22) |
||
2 |
|
п ш |
потен |
2 |
°° |
|
/- |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
о |
1 |
2GM |
|
|
|
, о о ч |
|
|
|
|
|
ѵ 1 |
+ |
- ^ — |
• |
|
|
(23) |
Понятно, что в выражение (21) входят различные ско рости, соответствующие точкам А и В эллиптической орбиты:
|
|
|
элл. Л - |
/ 0 Л ( т - |
ѵ |
Ь |
^ |
_ |
( 2 5 > |
|
Скорость |
на |
круговой орбите |
о к р у г |
= |
|
|
|
|
||
|
Таким |
образом |
приращение скорости в маневре б |
|||||||
равно, как |
нетрудно |
вычислить, |
|
|
|
|
|
|||
б о б = о к р у г |
1 - 1 / |
2 ( т ; + 1 ) + |
|
|
|
|
(26) |
|||
С |
другой |
стороны, |
для более |
простого |
маневра |
типа а, |
||||
|
|
аѵа = ѵкруг |
- 1 + | |
/ 2 ( і |
+ |
^ |
) |
|
(27) |
|
Соотношение |
(26) |
получается |
из |
(27) |
если |
положить |
||||
гА |
= гд. |
Величина |
А = 8ѵб/5ѵа, |
которая |
|
определяет |
78 |
|
|
|
|
ГЛЛВЛ |
111 |
|
|
|
|
|
|
эффективность |
двойного |
маневра, |
зависит от |
параметров |
||||||||
|
|
|
|
a = |
|
2 ( l |
|
|
|
|
|
(28) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß = |
2 ( - ^ + l ) . |
|
|
(29) |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
і - |
т |
/ р |
+ |
Ё |
Е І , |
|
|
(30) |
|
|
|
|
|
|
У а — 1 |
|
|
|
|
||
Рассмотрим некоторые частные случаи. Прежде |
всего |
|||||||||||
при Ѵсс/Ѵи « |
0 |
(окончательная |
траектория — параболи |
|||||||||
ческая) |
а —2 |
и эффективность |
двойного маневра |
за |
||||||||
висит только |
от ß: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ь=у=—[(1 |
|
- Ѵ$-Ѵ$=%, |
|
(зі) |
|||||||
и возрастает |
с |
увеличением ß. При изменении гв/гА |
|
от |
||||||||
единицы |
до |
|
бесконечности |
А |
|
изменяется |
от |
1 |
до |
|||
і / ( | / 2 — |
l ) . С |
ростом |
а |
(гиперболическая |
окончатель |
|||||||
ная траектория) эффективность двойного маневра |
|
(при |
||||||||||
равных |
значениях |
ß) падает. Если а—* сю, то А—»1 |
не |
зависимо от значений ß. Таким образом, двухимпульсный переход типа б всегда предпочтителен, тем более, когда конечная скорость приближается к параболи ческой, а промежуточная орбита имеет, насколько возможно, низкий перигеи Л; лишь ограничения, связан ные с другими факторами, в основном с сопротивлением атмосферы, не позволяют располагать точку выведения слишком низко.
4. Сложные орбиты
Очевидно, задачи, рассмотренные выше, крайне усложнятся, если их решать в рамках задачи п тел, учитывать вращение планет и планетоцентрическую ши роту ракеты в каждый момент времени. В качестве при мера приведем геоцентрическую траекторию «Пионе-
|
|
В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ |
79 |
ра-4», |
хорошо |
знакомого астрономам, поскольку он час |
|
то упоминается на ежегодных конгрессах |
К О С П А Р ; |
||
кроме |
того, на |
рис. 24 показана траектория |
«Луны-3», |
Р и с. 24. Траектория «Луны-3» в системе координат, связанной с по ложением Луны в момент ее облета (ТАСС).
Р и с . 25. «Проекция траектории |
«Луны-1» на плоскость эклиптики |
(по Д о м а н ж е |
и Мюллеру) . |
огибающая Луну. Естественно, такие траектории имеют более простой вид в гелиоцентрической системе коорди нат, в чем нетрудно убедиться на примере «Луны-1» (рис. 25).
Входить |
глубже |
в |
детали |
здесь не представляется |
возможным |
. |
" |
- |
- |
80 |
ГЛАВА I I I |
|
5. |
Влияние |
ошибок выведения |
Выше мы упомянули о важности проблемы исправ |
||
ления ошибок |
выведения |
посредством коррекции орби |
ты, проводимых по командам с наземных станций сле жения, или, если аппарат с экипажем, самими астро навтами. Разумеется, расчет коррекций, которые могут потребоваться, должен проводиться до полета. В одних случаях достаточно лишь небольшого изменения траек
тории, в |
других — требуется |
более значительная коррек |
ция. Мы |
не имеем возможности обсуждать эту проблему |
|
в общем |
виде и ограничимся |
одним простым примером. |
Предположим, что ошибка в величине скорости и угле
выведения (отсчитываемого от |
горизонтального |
направ |
||||||||
ления) составляют 1% и Г |
соответственно. |
Каковы |
||||||||
будут |
ошибки |
в расстояниях |
апогея и перигея? Вели |
|||||||
чина |
скорости |
выведения |
находится |
из |
равенства |
|||||
|
|
|
2С/ѴІД, |
|
п |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
-R^7T-V°=T:GM®- |
|
|
|
|
( 3 2 ) |
||
На круговой орбите Ra = RSl-\-H, |
что |
приводит |
к тео |
|||||||
ретическому |
значению |
ѵ0 |
= у к р у г |
. Нетрудно убедиться, |
||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яа |
- |
(Яда + Н ) |
' = |
Ч2 |
|
„ Ч |
|
|
|
|
а |
|
V ® |
— |
|
2 — |
= |
0,02. |
(33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
"о |
|
|
|
Если точка выведения совпадает с одним из концов
главной оси, то при уменьшении скорости выведения |
на |
||||
1% высота перигея |
уменьшится |
на 2% (при небольших |
|||
высотах Н, не превышающих 140км) . Таким |
образом, |
||||
необходима очень высокая точность выведения. |
Ошибка |
||||
в величине угла выведения приведет к ошибке |
в значе |
||||
нии эксцентриситета е. В приведенном выше случае |
Ѵ0 |
||||
можно, вообще говоря, найти из |
равенства |
|
|
||
е2 = |
1 — s i n 2 1 / 0 |
= |
cos2 У0 . |
|
(34) |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
de = — sin |
V0 |
dV0 |
|
(35) |
de
т Й Д г ^ о - |
(36) |
|
ВВЕДЕНИЕ В АСТРОНАВТИКУ |
|
81 |
||||||
В окрестности Ѵ0 |
= л/2 имеем |
|
|
|
|
||||
|
sin V0 |
~ 1, |
cos2 VQ |
л |
-Vo |
|
|
||
|
2 |
|
|
||||||
поэтому ошибка очень мала. |
|
|
|
|
|
||||
При |
идеальном |
выведении е = |
0; ошибка |
в Г при |
|||||
водит к |
значению |
эксцентриситета |
|
е — 0,003. |
Следова |
||||
тельно, ошибка В |
|
/'щах И /'min |
равна |
|
|
|
|
||
|
(/?© + |
//) в « |
0,00029/?®, |
|
|
||||
т. е. апогей и перигей изменятся на |
0,03%, |
что состав |
|||||||
ляет ~ 2 км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, что подобные расчеты совершенно |
необходимы |
||||||||
при рассмотрении |
|
полетов к Венере |
или к Марсу. В этом |
случае ошибки могут быть очень значительными, по скольку цель очень удалена.
Однако мы |
уже достигли |
замечательных |
успехов |
|
в овладении |
методами |
таких |
расчетов: из |
табл. 2 |
(стр. 153), где приведено большое количество |
удачных |
|||
запусков, это видно очень |
хорошо. |
|
6.Заключение
Самые большие электронные вычислительные маши ны космических центров С С С Р и США (а также Ев ропы и — в ближайшем будущем — других стран) круг лосуточно работают, рассчитывая орбиты текущих и планируемых полетов. В этих сложных непрерывных вычислениях используются горы перфокарт и магнит ных лент. Отметим, что такие расчеты, в которых с вы сокой точностью вычисляются все возмущения и, разу меется, учитывается возможное изменение плоскости орбиты под влиянием каждого возмущения, значительно
усложняют задачу. Читатель должен |
понять, |
что мы |
||
попытались лишь |
ориентировать |
его |
в этой |
области |
науки. Благодаря |
искусственным |
спутникам |
и плане |
|
там небесная механика Л а г р а н ж а |
и Леверрье |
получила |
великолепное поле для приложении, требующих как тонкости, так и точности, в которых расчеты проклады вают путь для дальних экспедиций Магелланов кос мического пространства. Космические исследования