книги из ГПНТБ / Пекер Ж.К. Экспериментальная астрономия
.pdf32 |
ГЛАВА II |
спутнику |
(т. с. постоянно находящемуся над одноіі и |
той лее точкой поверхности Земли; такой спутник запус кается в плоскости экватора в сторону вращения Зем ли) соответствует расстояние от центра Земли до спут ника:
а = 42 160 км.
Следует отметить, что если плоскость орбиты такого спутника немного наклонена к плоскости экватора, то с
Земли |
будет |
казаться, что он |
совершает |
движение над |
||
одним |
и те ж е меридианом к северу |
и к |
югу от |
эквато |
||
ра. Добавим, что любое случайное |
отклонение |
орбиты |
||||
от круговой |
приведет"к тому, |
что |
скорость, |
согласно |
закону площадей ( I I закон Кеплера), будет изменяться вдоль траектории: такой спутник будет казаться дви гающимся по кривой, похожей на восьмерку. Форма этой кривой очень чувствительна к возмущениям, изме няющим орбиту. Эволюции ее представляют большой интерес: наблюдая за ними можно, в частности, устано вить эллиптичность экватора Земли .
При а = 384 400 км (среднее расстояние от Земли до Луны) период равен 27 сут 12 ч, что соответствует лун ному месяцу, если принять массу Лупы равной пулю; учитывая, что в действительности масса Луны ко нечна, получим
P = 2K(M@ + M(Lr'l:ahG-'l> |
(14) |
и легко найдем, что период равен 27 сут 7 |
ч 7 |
мин. Это |
|||||
очень |
близко к |
действительному |
значению |
27 |
сут |
||
7 ч 43 |
мин. |
|
|
|
|
|
|
Мы |
уже говорили, что низкие спутники |
(к |
ним |
от |
|||
носятся все широко известные спутники) движутся |
по |
||||||
почти |
круговым орбитам. На рис. 5 |
приведены |
значения |
||||
параметров строго |
круговых |
орбит |
низких |
спутников: |
|||
периода, круговой |
скорости, |
максимальной |
видимой |
уг |
ловой скорости, — и величина и х а р , смысл которой бу дет выяснен ниже (стр. 69). Заметим, что видимая ско
рость |
спутника (например, |
в градусах в |
секунду време |
ни) |
убывает значительно |
быстрее, чем |
круговая ско |
рость. |
|
|
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ |
КАК Н Е Б Е С Н Ы Е ТЕЛА |
33 |
4. Некруговые кеплеровские орбиты |
|
|
искусственных |
спутников |
|
Не приступая пока к изучению возмущении, состав ляющих основную цель исследования движения спутни
ков, обобщим полученные ранее |
результаты |
на случай |
||
некруговых орбит и |
найдем |
условия выведения |
спутни |
|
ка на орбиту. |
|
|
|
|
В общем случае орбиты искусственных спутников не |
||||
являются круговыми, |
хотя, |
как |
отмечалось |
выше, их |
Перигей |
Апогей |
Р и с. 6. Параметры, определяющие орбиту.
эксцентриситеты очень малы, так что они близки к кру
говым. Оставаясь |
в рамках кеплеровской задачи двух |
тел, предположим |
пока, что орбиты характеризуются |
лишь двумя параметрами: периодом и высотой перигея пли высотами перигея и апогея. В одной из точек этой орбиты происходит выведение спутника по окончании
полета |
ракеты-носителя. Величина и |
направление ско |
рости в |
этой точке полностью определяют орбиту. На |
|
чальную |
скорость и положение точки |
выведения можно |
принять в качестве исходных параметров |
(рис. 6). |
|
Напомним здесь ряд хорошо известных |
результатов |
|
теории кеплеровского движения. |
|
|
П р е ж д е всего, если точка выведения |
на |
орбиту ле |
жит на поверхности Земли и если в этой |
точке скорость |
не направлена строго горизонтально или по величине меньше круговой, то орбита обязательно пересечет по верхность Земли в другой точке (вследствие симметрии
2 Зак. 518
34 |
|
ГЛАВА II |
|
эллипса относительно |
большой осп), п |
дальнейший по |
|
лет будет невозможен; |
следовательно, |
точка выведения |
|
должна |
располагаться |
над земной поверхностью. Мы |
|
увидим |
дальше, что спутник выводится |
в точку выхода |
на орбиту по промежуточной «переходной» орбите с ис пользованием негравитационных сил.
Ясно, что при очень большой начальной скорости ап парат может выйти из гравитационного поля Земли и удалиться в «бесконечность» (т. е. в данном случае ока заться в поле тяготения Солнца) . Напротив, если на чальная скорость невелика, то аппарат вернется на Зем
лю, |
поскольку «перицентр» * эллиптического |
движения |
|
лежит «ниже поверхности», т. е. внутри |
Земли. |
|
|
|
Более того, отметим, что в этом случае |
(типичном |
|
для |
баллистики) можно вообще не |
пользоваться ре |
зультатами астрономической задачи двух тел, а считать
«поле тяготения» однородным в окрестности |
точки |
||||||||
старта. |
При таком |
предположении |
траектория |
оказы |
|||||
вается |
параболой. |
Точность этого |
приближения |
опре |
|||||
деляется точностью, с какой поверхность Земли |
можно |
||||||||
считать |
плоскостью. |
|
|
|
|
|
ѵ0 < |
|
|
Когда скорость |
недостаточна |
(Ѵ0 = |
я/2, |
у к р у Г ) |
|||||
или направлена |
негорпзонталыіо |
(Ѵо<.л/2), |
мы |
имеем |
|||||
дело с задачей |
баллистики, |
рассматривающей, например, |
|||||||
движение снарядов. Можно |
вычислить, |
на |
каком рас |
стоянии** от точки старта снаряд упадет на Землю . Вы
числения проще |
провести, |
используя |
законы |
Кеплера. |
||||
Из |
хорошо известного |
выражения |
|
(27), приведенного |
||||
ниже, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ffi0 = |
п |
, |
I — а г |
sin2 |
К 0 |
/ , г > |
|
|
2arccos |
- ( 2 - а 2 |
) а 2 sin* Ко |
(15) |
|||
|
|
™ |
|
V1 |
|
|||
где |
а |
определяется равенством |
|
|
|
|||
|
|
|
a = |
ü ( A W - |
|
|
(16) |
* В небесной механике термином «перигей» обозначают точку орбиты, ближайшую к центру Земли, а не к какой-либо точке ее поверхности. Поэтому более общий термин «перицентр» в данном случае эквивалентен термину «перигей». — Прим. ред.
** В данном |
случае имеется в виду угловое расстояние, т |
е. |
угол между направлениями из центра Земли в точки старта и |
па |
|
дения. — Прим. |
перев. |
|
|
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
35 |
||||
Максимальное расстояние достигается при |
|
|||||
и его значение |
равно |
|
|
|
||
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
Фо, ...к = = 2 |
a r e s i n - g ^ ö - . |
(18) |
|
Вернемся |
к |
кеплеровекпм орбитам |
спутников. |
Тип |
||
орбиты |
характеризуется |
значением |
постоянной |
энер |
||
гии Іѵ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = v \ - 2 G - £ - . |
|
(19) |
|
Если h |
^ 0 |
(гиперболические |
или параболические |
орби |
ты), то орбита аппарата незамкнута. Направление ско
рости на бесконечности зависит от направления |
началь |
|||||
ной |
скорости *, |
а величина ее |
зависит только |
от |
значе |
|
ния |
начальной |
скорости. |
Д л я |
параболической |
орбиты |
|
скорость на бесконечности |
равна нулю, для |
гиперболи |
ческой эта скорость равна квадратному корню из по стоянной энергии:
|
|
|
|
v „ = v J \ - 2 G ^ - f . |
|
|
(20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
и ог о / |
|
|
|
|
При h |
< |
0 орбита |
является |
эллипсом, |
который |
опреде |
||||||
ляется |
величинами |
V0 , г0, |
ѵ0 |
(вывод этих хорошо |
извест |
|||||||
ных соотношений |
интересующийся читатель может най |
|||||||||||
ти в учебниках, где излагается теория конических сече |
||||||||||||
ний, пли |
в курсах |
механики). |
|
|
|
|
||||||
Большая |
полуось |
эллипса |
равна |
|
|
|
||||||
|
|
а |
= |
- |
С |
^ |
= Ш |
ѳ / ( |
2 ^ |
- 4 |
(21 |
|
а период |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
2л |
[GM®)'/j |
а% = |
2nGM® |
[—yf- |
- |
vö) |
. (22) |
||||
Эксцентриситет |
e |
находится |
из соотношения |
|
|
|||||||
* А |
также |
ее |
численного значения. — Прим. |
ред. |
|
|
2*
36 |
|
ГЛАВА II |
|
|
|
|
где |
С — постоянная |
площадей, входящая |
во |
второй за |
||
кон |
Кеплера: |
|
|
|
|
|
|
С = |
= |
const = |
r0 o0 sin V0. |
|
(24) |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
' - ' - |
О 9 |
' • ^ |
- • s j |
- |
<*> |
|
^ ( |
Концы большой осп находятся па следующих расстоя
ниях от фокуса: |
|
|
|
|
г„ип = |
а ( 1 — е), |
/-,„„ = а ( 1 + |
е) |
(26) |
и называются соответственно перигеем |
п апогеем |
ор |
||
биты. |
|
|
|
|
Теперь изучим |
движение |
спутника по |
эллиптической |
орбите. Положение спутника па орбите удобно описы
вать в |
полярных |
координатах |
г и |
ср |
(этот угол |
назы |
||||||
вается |
«истинной |
аномалией») |
*. |
Связь между |
этими |
|||||||
координатами |
задается |
соотношением |
|
|
|
|||||||
|
|
|
г = |
п |
( 1 |
~ е |
2 |
) |
. |
|
( 9 7 |
) |
|
|
|
|
I + |
е cos |
ф |
|
|
ѵ ~ |
' |
||
Величины /• и |
ср являются |
функциями |
времени, а |
вели |
||||||||
чина скорости |
и находится |
из |
равенства: |
|
|
0 = |
( О у М е ) ' А ( | - - 1 ) , / а . |
(28) |
|||
Реальная эллиптическая |
орбита |
должна |
удовлетворять |
||
еще одному условию |
(первое |
условие h < |
0) : |
||
гтщ |
= |
а(1 - |
е ) > |
/?ф , |
(29) |
обеспечивающему движение спутника над поверхностью Земли.
Полагая |
заданным |
r0 = |
R$-\-Ha, |
где |
/ 7 0 — в ы с о т а |
|||||
точки |
выведения спутника, |
и считая переменными толь |
||||||||
ко ѵ0 |
и |
Ѵо, мы получим двухпараметрнческое |
семейство |
|||||||
кривых, |
достаточно |
просто |
описывающих |
возможные |
||||||
орбиты. |
г0 — |
R&, то |
|
|
|
|
|
|
||
Если |
из |
первого |
условия, |
которому |
||||||
должна |
удовлетворять |
орбита, следует: |
|
|
||||||
|
|
о 0 |
< |
V2GMq/R@ |
= 1 1 , 2 |
км/с = |
ѵр< о |
|
* Он отсчптывается от направления на перигеи. — Прим. перео.
|
|
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ |
|
КАК |
НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
37 |
|||||||||||
при любом |
Ѵ'о- Эллиптическая |
|
орбита |
существует |
тогда |
||||||||||||
и только тогда, когда ѵ0 меньше |
«параболической» ско |
||||||||||||||||
рости |
U p , |
о- |
В |
последующем |
мы |
используем |
несколько |
||||||||||
иные |
обозначения, |
в |
частности |
|
|
приняв |
новую |
единицу |
|||||||||
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окружность |
|
|
|
||||
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
\ |
|
|
Орбиты: |
|
|
|
||
|
|
|
|
*/ |
|
і |
- ^ |
|
\ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7 |
^^гч= |
|
|
Эллиптическая |
|
|
|||||||
|
|
|
|
I |
/ |
|
|
s |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / |
а;=0,2 |
|
V Y 1 Параболическая |
|
|
||||||||
|
|
|
|
о ІС^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^^Вертикальная |
|
\ \ \ |
Гиперболическая |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
линия |
|
|
\ \ |
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
{свободное |
|
V |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
падение) |
|
\ |
|
N |
|
|
|
|
||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
\/\\\ \ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
\ |
\ |
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
" |
|
|
|
|
|
Р и с . |
7. |
С |
помощью |
функции z(r|) |
|
|
можно |
предсказать |
характе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ристики |
орбиты. |
|
|
|
|
|||||
Введя |
безразмерные величины |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
У = (ѵо/ѵр, о)2 > |
|
е = Я 0 / і ? ф , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
* = |
sin2 |
V 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно |
равенство (25) |
представить |
так: |
|
|
||||||||||||
2 = 1 _ |
е |
= |
= |
4л-г,(1 + |
е)2 |
( |
- |
|
^ |
- |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 , п / ( 1 + Е ) [ 1 - ( 1 + е ) / / ] . |
(30) |
||||||||
Отсюда |
сразу ж е |
вытекает, |
что |
эксцентриситет |
|
орбиты |
определяется двумя величинами: х (направление выве
дения) |
и произведением |
(1 + |
г) у |
— ц. |
|
|
|
||
Из этого |
соотношения |
следует, |
что для |
произвольной |
|||||
высоты |
Н0 |
параболическая |
скорость ѵРі |
я |
достигается |
||||
при г) — 1 и |
равна |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
»Р.я = |
О р . о / / 1 + |
ВДе- |
( 3 |
1 ) |
|||
График |
функции г/х = |
4ц(1—т|) |
изображен |
на рис. |
7, |
38 |
ГЛАВА II |
При 1] = Va z/x = 1, так что скорость определяется ра венством
* - № ) * ( ' + £ ) " * - ' • » ' • |
< 3 2 ) |
На рис. 5 приведено значение этой величины |
при / 7 о = 0 . |
Заметим, что при х = 1 (горизонтальное |
выведение) |
эта величина будет строго соответствовать круговой ор
бите. Когда |
ѵ 0 переходит через это |
значение, |
тип орби |
ты меняется: |
при ѵ0 > ѵ к р у г один |
из двух |
фокусов — |
Р и с. 8. Семейства орбит, соответствующие горизонтальному вы ведению.
центр Земли — оказывается |
ближайшим к точке выведе |
|||||||
ния, |
которая |
оказывается |
перигеем |
орбиты; |
при |
ѵо — |
||
— уКруг оба фокуса орбиты совпадают в центре |
Земли; |
|||||||
при |
Уо <С üKpyr центр Земли оказывается дальним |
фоку |
||||||
сом, |
а |
точка |
выведения — апогеем |
орбиты |
(рис. |
8). |
||
Если |
X < |
1 (наклонное выведение), то орбита |
нико |
|||||
гда |
не будет круговой; при убывании |
ѵ 0 большая |
ось эл |
липтической орбиты поворачивается и эксцентриситет
проходит через минимальное |
значение, не |
достигая |
|
нуля (рис. 9). |
|
|
|
Обратимся теперь ко второму условию, |
которому |
||
должна удовлетворять |
орбита: |
|
|
/"min = |
а(1 — е) > R®. |
(33) |
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
39 |
При X = 1 можно написать (см. рис. 6)
(34)
Так как
(35)
Р и с. 9. Семейства орбит, соответствующие наклонному выведению. Круговая орбита невозможна.
[см. формулу (21) и определение параметров е и г)], то отсюда
|
|
|
|
1 |
+ |
е |
> е + |
2, |
|
(36) |
или |
при малом |
е |
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
(37) |
|
|
|
|
^ |
|
Т |
+ |
7 = ¥ - Т е - |
|
||
Следовательно, |
орбита |
|
пересечет |
Землю |
при |
значении |
||||
ѵ 0 , |
меньшем |
следующей |
величины: |
|
|
|||||
|
и п а д = |
( 2 С М ѳ а д ѵ ' [ ( 4 - - - і е ) ( 1 + |
s)-f. |
(38) |
40 |
ГЛАВА II |
М о ж но было бы интуитивно почувствовать, что эта ве личина немного меньше круговой скорости.
При X ф 1 вычисления несколько усложняются. Мы предоставим их проделать интересующемуся читателю. Приведенное выше условие перестает быть справедли вым, если выведение происходит не в апогее. Нетрудно убедиться, что в любом случае вектор скорости в точке выведения должен лежать вне конической поверхности,
Р и с . 10. Определение условии выведения на возможные орбиты.
касающейся земного шара, с вершиной в точке выведе ния (рис. 10).
Заметим, что во всех этих задачах угол между век тором скорости и вертикалью входит только под знаком квадрата синуса. Иными словами, орбиты с углами вы
ведения |
Ѵо и я — |
Ѵ0 не отличаются друг |
от друга. |
При |
отсутствии |
возмущений проблема |
орбитального |
движения спутника исчерпывается рассмотренными выше задачами . Специалисты по небесной механике быстро бы
утратили к ним интерес, если бы |
не существовали |
вы |
|||||
сокоточные йетоды |
наблюдений, |
позволяющие |
изучать |
||||
возмущения |
орбит, |
и |
если бы не |
возникла |
задача |
орби |
|
тального |
перехода, |
т. |
е. перехода |
с одной |
орбиты |
в |
поле |
тяготения на другую под действием добавочных сил, при ложенных к спутнику в заданной точке,
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
41 |
5. Возмущения кеплеровских орбит
Среди возмущений наиболее важными являются те, которые вызываются несферичностыо Земли.
А. Возмущения, вызываемые несферичностыо Земли.
К центральной силе следует добавить притягиваю щую силу, направление которой изменяется. Упрощенно можно считать, что эта сила вызывается в основном экваториальным вздутием Земли . Ясно, что изучение возмущений движения искусственных спутников, вызы ваемых подобными силами, чрезвычайно важно для гео дезии. Следует подчеркнуть, что возмущения движения искусственных спутников вследствие несферичности Земли ввиду небольших расстояний спутников от Земли имеют преобладающее влияние среди всех других гра
витационных возмущений, о которых |
речь |
пойдет ниже. |
Д л я расчета возмущенных орбит |
нам |
понадобится |
потенциал Земли, определенный равенством (4). Считая
отношение Rix достаточно малым, представим |
равенство |
||
(7) в таком виде: |
|
|
|
7=т(1 |
+ Т ^ Ѳ > + 4 ^ ( Ѳ ) + . . . ) • |
(39) |
|
Функции fi(Q) |
являются |
полиномами Л е ж а н д р а |
от аргу |
мента cos Ѳ: |
|
|
|
|
Ш |
= Pi (cos6), |
(40) |
где |
|
|
|
|
(20|_ |
_ |
(41) |
|
2 (il |
2 ( 2 / - 1 ) |
|
|
|
Равенство (4) легко преобразуется в следующее соотно шение
= VQ + (Vl + V2+ . . . ) = V 0 + $ . (42)