книги из ГПНТБ / Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин

70

ю зс

72

путем решения системы уравнении, образуемых на основе условий сопряжения [53, 61]. Однако при увеличении числа поверхностен раздела свыше 5—7 система уравнении становится настолько сложной и выражения для поля получаются столь громоздкими, что возможность их практического использования, по-видимому, отпадает. Желательно поэтому получить рекуррентные соотноше­ ния. позволяющие представить решение задачи в компактном виде и применить единый алгоритм расчета независимо от числа слоев. Это осуществлено В. И. Дмитриевым, который получил рекуррент­ ные формулы для цилппдрпческп-слоистой среды при возбужде­ нии поля магнитным или электрическим диполем с моментом, ориентированным по оси цилиндров [41].

Основная идея метода заключается в переходе от дифферен­ циального уравнения второго порядка к уравнению первого поряд­ ка, от уравнения Бесселя к уравнению Рикаттп. В случае кусочнооднородной среды решение уравнения Рикаттп при использовании краевых условий позволяет получить простые рекуррентные соот­ ношения.

Из физической сущности задачи вытекают краевые условия,

которые заключаются в том, что при /?= Уг2+ г2^-0, т.е . при при­ ближении к источнику, поле должно стремиться к полю магнитного диполя в однородной среде, а при R-^-oo поле стремится к нулю. На поверхностях раздела при г= ат тангенциальные компоненты магнитного и электрического полей меняются непрерывно.

Ввиду осевой симметрии задачи будут существовать три ком­ поненты поля: Иг, И, и £<р. Будем искать решение задачи непо­ средственно для компоненты поля Еф, не вводя представления о

где /г2= сі)2е(л + іу(лю — квадрат волнового числа.

Произведя разделение переменных, ищем решение уравнения

74

Как известно, с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка тесно связано уравнение Рикатти

y, =--P(x)t? + Q(x)y + R(x).

Решение U линейного дифференциального уравнения сводится преобразованием вида

У~ — U'/f (х) U

крешению уравнения Рикатти. Таким образом, функция У (г) в соответствии с формулами (3.32) и (3.33) должна удовлетворять уравнению Рикатти

где Лі = ]/"X2— /гу; А и В — неизвестные коэффициенты.

В первой среде поле может быть представлено в виде суммы поля в однородной среде и функции, выражающей искажающее влияние цилиндрических неоднородностей. Компонента £Ф поля магнитного диполя в однородной среде

Используя известное представление eilir/R в интегральной форме, получаем на основании выражения (3.31) для однородной среды с параметрами скважины

Выражение (3.36) является условием возбуждения. Поскольку функция, учитывающая влияние неоднородности среды, может со­ держать только член с / ((7.і/'), окончательно имеем

КІ оРч°і) — 1iaih РчЩ)

7 э

делить F(r). Действительно, выражение (3.33) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого может быть записано следующим образом:

Следовательно, вычисление поля в любой области возможно, если известна функция У (г), являющаяся решением уравнения Рикатти (3.34). В кусочно-однородной среде уравнение (3.34) в соответствии с (3.33) удовлетворяет решению при am-i^Zns^am:

76

Обозначим Y^~„m)—Ym и ^о-=пт _ 1)= Ут -і- В соответствии с (3 .44) іимеем

Формулы (3.45) и (3.46) являются рекуррентными соотноше­ ниями, позволяющими последовательно определить все с'т, Ут и Е<р в любой точке пространства. Однако для решения уравне­ ния Рикатти и определения с'т и Ут необходимо задать начальное

условие. Подставляя выражение (3.42) в (3.33), можем найти зна­ чение Уг при г= а 11_1, т. е.

Yn j — ____ ККр ( К Оц—і)

(3.47)

ап—і Ку (К an_i)

Выражение (3.47) и будет требуемым начальным условием. Іаким образом, в я-слойной среде с'„(7,)=0, что связано с отсут­ ствием отраженной волны в последнем слое.

Зная, согласно (3.47), значение У„_і, определяемое только ра­ диусом ап-і и электрическими параметрами последнего слоя е„ и

Уп, с помощью формул (3.45) II (3.46) вычисляем все Ут и с'т вплоть до С' і.

,соответствии с формулами (3.40) и (3.29), учитывая, что

^имеем следующие выражения для компонент поля в пеп­

Вертикальная компонента поля, выраженная в единицах поля жвазистрационарного магнитного диполя, имеет вид

77

ной среды, полученную А. А. Кауфманом [53] н Г. Н. Звере­ вым [46], при /і = 4 —для четырехсложной среды, полученную Д. С. Даевым [30].

Методика численных расчетов для цилиндрических слоистых сред

Расчет поля на оси скважины при любом числе цилиндриче­ ских поверхностей раздела сводится к численному интегрированию выражения (3.49), где с\ определяется зависимостями (3.45)

и (3.46).

При численном интегрировании выражения (3.49) важно знать поведение подынтегральной функции Л]ф при малых и больших значениях переменной интегрирования. Можно показать, что при л—>-0 функция Х\с\ имеет конечное значение, а при больших зна­ чениях X функция л)’ф убывает по экспоненциальному закону.

Расчет поля по выражению (3.49) включает в себя три основ­ ные операции: расчет бесселевых функций от комплексного аргу­ мента, вычисление подынтегральной функции, собственно интегри­ рование. Как видно из формул (3.45) и (3.46), для вычисления подынтегрального выражения необходимо найти функции /0, А, Ко и К\ от комплексного аргумента. Стандартных программ для вы­ числения этих функций на ЭВМ нет. Вычисление бесселевых функ­ ций проводилось раздельно для малых и больших значений аргу­ мента. В интервале |Я,„а| от 0 до 4 расчет осуществлялся по фор­ мулам степенных рядов, обеспечивающих хорошую точность, до

СО

со

где Y = 0,5/ /2156 — постоянная Эйлера.

?8