
книги из ГПНТБ / Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие
.pdf- 170 -
Вводя в выражение для теплового потока безразмерный коэффи циент теплоотдачи { S t - число Стентона)
можно получить
S t - { Cf ■ |
(2Лб) |
В отечественной литературе наряду с числом S't |
в теории |
теплопередачи рассматривается число НуссеЛьта, характеризующее отношение теплового потока, полученного вследствие теплоотда
чи , к тепловому потоку, обусловленному теплопроводностью;
|
^UX~ \д |
1 |
|
|
|
( ^ 17^ |
||
1где |
- коэффициент |
теплопередачи, |
определяемый |
соотноше |
||||
нием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fyWe-Hw) • |
|
|
(2 .1 8 ) |
|||
Подставляя выражение |
(2 .1 8 ) в |
( 2 .1 |
7 ) , при условии Рр-1 |
|||||
запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nux-jC fR e i . |
|
|
|
(2 .1 9 ) |
|||
Йодотавив |
эначение |
Cf |
иэ ( 2 . 7 ) , |
для |
пластины, |
смоченной с |
||
Одной отороны, получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
Н и - о , Щ й 4 ^ г |
|
|
( 2 . 20) |
||||
2 . |
Pv±t |
кРассмотрим решение |
уравнения энергии для |
|||||
пластины |
В форме {к.2 ), |
полагая |
Pr-Cpnst И С - |
~ |
||||
ь Cdnst |
к Поделив обе |
чаоти уравнения на |
, |
получим |
||||
|
|
|
* j l w - W r f > |
<2-a> |
где t обозначает производную по .
- 171 -
Поскольку нам известно решение для функции
Л |
|
|
|
|
-]. |
|
|
т ~ - т ° |
, |
где f |
|
|
, |
перейдеы в уравнении |
|
(2 .2 1 ) к новой |
переменной |
f |
, |
учитывая |
формулы перехода |
||
(2 .4 а ): |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цв L1' |
r 'f |
* iTU |
) |
(2 .2 2 ) |
|
где штрих обозначает |
производную |
по независимой переменной |
|||||
По форме записи |
полученное |
|
уравнение |
полностью совпадает |
с уравнением энергии для пластины в потоке несжимаемой жидкос ти (см.уравнение ( 1 .1 9 ) ) . Следовательно, и их решения при идентичных граничных условиях будут также совпадать. Например,
(2.28)
Тепловой поток может быть также представлен через чиоло Стен
тона |
- |
( 2 .2 4 ) |
|
|
fie1** (Hr'Mw) j |
где
где
S t - j C f - P r ^ I или через чиоло Нуссельта
M u r - iC f^ - P r t . |
( г - 2 5 ) |
Здесь коэффициент трения должен быть использован В форме (2.7).
- 172 -
5 3 • Обтекание острого коп;-,:са
Найдем коэффициент трения острого конуса при эго обтека нии потоком вязкой сжимаемой жидкости (р и с .? ). Поскольку вдоль образующей кругового конуса скорость внешнего потенциального течения сохраняется неизменной, то градиент статического дав-
п о . , . . ГГ -о |
п п т : г п г ч | П ! | |
11 ПП ПЯ И ’1Й11П!1 |
f 'V 7 ! P T СП ИЧИ И у ЛИ), |
|
<ip-n |
||
T . U . |
~ U ■ |
||||||
|
|
|
В |
этом' |
случае |
||
|
|
|
слон для конуса но (дер |
||||
|
|
|
ме ОУДУ'Т ПОЛНОСТЬЮ |
||||
|
|
|
совпадать |
с |
уравнения |
||
|
|
|
ми пограничного |
слоя |
|||
|
|
|
пластины (см .уравнения. |
||||
|
|
|
( 2 .1 ) |
и ( 2 . 2 ) ) . |
Гра |
||
|
|
|
ничные |
условия также |
|||
|
|
|
будут совпадать. Един |
||||
|
|
|
ственное |
отличие |
будет |
||
|
F iio .9 |
состоять |
в |
Оорме яере- |
|||
цепной |
координати |
у , общее |
выражение для которой |
согласно |
|||
соотношении (1 .1 2 ) |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
Реие го |
1 |
|
|
|
*) |
|
||
|
|
= - |
(23)У |
|
|
|
|
I |
|
|
|
1’де |
_ |
|
; |
.?/. , |
л ~ / |
|
$ |
^J реu-ejJ’e го а ! |
|||
|
|
||||
|
Е vЧисЛИЦ |
ИИ:1 |
И ИГ KC'Cj.-О ' ОТ: I *( !,'■ |
||
ли сио рис.г |
радиус |
конуса Гс{р = X-Sinp. |
(ЕЛ)
ерого конуса. |
С ог- |
. Подставляя |
это |
вырзшепне в ( 8 Л ) чип уоловчи, |
о ие-c o n s t} Р е -const-} |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
173 - |
|
|
|
|
ju e-Constj |
pe-const |
|
здо;и> |
о б р а зн е й |
конуса, ползш и |
||||||||
peut xsu>fi„_____ , |
g |
f |
f r T |
7 |
гр . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J p e |
|
|
|
|
J p / f - |
|||
|
|
|
|
|
|
? |
ПО |
У |
на сто |
|
|||
н а : |
|
|
|
|
|
|
Ре U-e |
|
JJ W |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
( 3 . 3 ) |
|
|
|
|
|
|
fte |
* |
|
Ре |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
М е с т л u ii |
к о з ф ф и ц п е и т |
т р е п и я |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
к о я у с а |
|
|
|||||
Зм'ш слу.м |
л о к з л ы ш Л |
коэф ф ициент |
т р е н и я |
д л я |
к р у г о в о г о кону- |
||||||||
са |
2*w |
_ 2ftw(~dp)y:Q_ 2ft \у г/п /^ |
|
||||||||||
С, |
|
||||||||||||
РеЧ |
- |
—pf |
u‘ |
|
-р ,ие |
|
|
||||||
'f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2ft w |
г"г \ Г22 PEsftP |
ft*t |
|
|
|
||||||||
peu j ( 0 ) b |
^fte * |
|
ре |
|
|
|
|||||||
П о с к о л ь к у |
f " ( 0 ) = j r |
|
|
, |
TO |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
п (к) |
/ Г |
0,664 |
ft w Pw |
|
|
/ |
|
|
|
(3 .4 ) |
|||
с - |
Cr T^ |
fte Ре |
|
c |
* |
|
|
|
|
||||
Li |
|
|
|
|
|
|
|||||||
бра к и ш а я |
полу ПС IIMOC |
Bi .paiiH-iii;;c |
д;: |
|
|
п |
0,664 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с с о с т в е п vTii .V Кщи; i |
лира;:ечнизы |
для |
|
стшш Lr - |
г——. * |
||||||||
. ft'wPw |
/ |
|
, |
но: 1^- '1.ИМ |
iLEI тер |
|
|
|
|
||||
fte Ре |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
С г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(k) |
- |
- 1 |
I'-p |
• |
|
|
|
|
|
( 3 .5 ) |
|
|
Lj. |
L/ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||
П о л и ! i ii |
К О З Ф •i u H |
|
о |
|
|
|
|
Зи'ию.чи:.: ноли os попритилле hup трения конуса. С одной сто-
|
|
|
|
|
|
- 174 |
- |
|
|
|
|
рады, |
будем |
вычислять |
силу трения |
по |
формуле |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
( 3 . 6 ) |
|
|
|
f~Tfi ~ t |
Cf & |
ue W> |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
Cf |
~ полный |
коэффициент |
трения |
конуса |
с образующей |
I , |
||||
$&нс~ пло,щадь |
бокоЕоП поверхности конуса, Sfa-Xl |
. |
|||||||||
С другой |
стороны, |
силу |
трения |
можно подсчитать, |
испольауя |
ло |
|||||
кальный коэффициент трения Cf |
: |
|
|
|
|
|
|||||
Frp |
|
(S)dS |
|
** ro (*)<** - |
|
|
|
||||
|
Щ . |
|
/ |
|
^ |
|
|
|
|
(3 -7 ) |
|
|
Приравнивая |
выражения ( 3 .6 ) |
и ( 3 . 7 ) , получим |
|
|||||||
г Е * |
|
|
X . Ш |
д М ' , |
и■ |
|
|||||
i f |
h < 4 , * l ’ s i*fk г |
Ж Г '5Л А <Та ‘ dx - |
|
||||||||
- г 7 й’*м з p j S * ? , |
|
с Г Т |
|
|
|
||||||
или |
|
' |
' |
д(а% т) W W r? |
|
|
|
||||
|
|
|
(3 .8 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О п р е д е л е н и е |
т е п л о в о г о |
п о т о к а |
д л я |
||||||||
|
|
|
|
|
к о н у с а |
|
|
|
Поскольку уравнения пограничного слоя для конуса и пласти ны совпадают, а также совпадают граничные условия, то и их ре шения будут Идентичны. В частности, выражение для удельного потока тепла в стенку для конуса можно ва ять таким жй, как И для пластины, т.е •_
- 175 -
„(к). Ъц
|
|
J " |
- |
ue |
pr .f”(0)b(Pr) |
|
|
|
|
Поскольку |
напряжение |
трения |
для конуса |
в |
/ Г раз |
больше, |
|||
Чен напряжение |
трения |
пластины, |
то и тепловой |
поток будет боль |
|||||
ше в Я |
раз: |
1т |
* « |
|
|
этой случае |
для конуса |
безраз- |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
Мерные |
критерии |
теплоотдачи можно выразить |
та к: |
|
Nu.}- j - C f пласт. Р(,х Р г^ b/iu м /* - jC f }Щ P r t
*
^ 4. Течение в окоеотности критической Фочки п ри .умеренных ОЛбрХзв.уковмХ с ко ро с тях [ п ри отсутствии диссоциации)
Рассматриваемая задача чрезвычайно важна в практических Приложениях, гдё прйходйтоя иметь дело со спускаемыми аппара тами, движущимйсй со сверхзвуковой окоростью. О точки зрения концепции пограничного слой течение газа непосредственно вбли зи ТоЧки торможекия можно При некоторых условиях счита ть ламй-
ЯёрЯыМ квиду малости окорОстй движения, что предопределяет Срённимльную маЛостЬ числа Рейнольдса и ламинарный характер
течеИия.
1 : 0 з а к о н е р а с п р е д е л е н и я с к о р о с т и
в н е ш н е г о п о т о к а
Рассмотрим обтекание затупленного теЛа *ипа цилиндра илй Сферы Сверхзвуковым потоком гааа; Иввеотйб, Что при числах
|
1 7 6 |
- |
|
|
М о о > ^ |
р а с п р е д е л е н и й д а в л е н и и в б л и зи т о ч к и |
тор м ож ени и |
с д о |
|
с таточно ;'! |
с т е п е н ь ю т о ч н о с т и можно |
р а с с ч и т а т ь |
по т е о р и и |
Н ь ю то |
н а [io] |
: |
|
|
|
|
^--pao-ftao-u2'c^-cos£8 |
|
(4 .1 ) |
|
|
|
|
|
,г |
_ х _
Поскольку вблизи точки тормоыеи пи sin9 - д и COS^d - 1-j,j~)
Rl
то
|
|
|
|
|
2 |
(/. |
f |
\ |
|
|
|
|
Р ~ Р О О |
|
J_ |
|
|
|
|||
|
|
—рос L-t О О |
( 1 |
р£ J ) |
|
|
||||
где р о о j |
|
|
|
|
|
R* |
плотность и |
скор ость |
||
^ |
Li оо |
- давление, |
||||||||
бегающем |
п о т о п е , |
с оответс тве нн о . |
|
' |
cLu$ |
dp |
||||
Jsk |
к в к |
ьне |
пограничного елся |
J |
\ ~ ~ |
*""* } r~ |
||||
|
^ |
|
|
|
|
|
|
L i \ |
(J. X |
|
2p<*> U c |
|
•, |
то |
п осл е |
и н т е г р и р о в а н и я п о у ч а е м |
|||||
|
|
|
л л
(4 .2 )
ь и з
=
_ 6 -V _ * Р сл и ,х Г Рое ^
‘ |
|
h |
|
|
|
|
Н о л и с ч и т а т ь , ч т о в б л и з и к р и т и ч е с к о й т о ч к и р од cs |
||||||
т . е . л л о т н е г а . Jig |
р а в н а |
г ;л с т ..о с т ;: |
|
я д л а о а т к ч е с к и з а т о р |
||
м о ж е н н о го п о т о к а з а с к а ч к о м рл л с т н е к п я , |
то |
| |
||||
---------------- I |
( |
|
к |
|||
21»* ^ |
£_ |
12кР° |
m L- |
х |
||
ид ~- |
Ре |
‘ 2 ‘ 1 |
> |
|
('1 .3 ) |
|
г , / ~ " |
|
R |
||||
хЗКл'.б MO.ialO ПОУЧИТЬ |
|
|
|
|
|
|
|
due |
|
|
|
|
|
|
a х-r = a.x) |
|
|
|
||
где |
2 k p oo M pa |
j |
|
|
||
|
|
( Ч . ч ) |
||||
a =^ |
' |
|
R |
|
||
|
|
|
Нока-жек! ,что при линейном законе распределения скорости Mien-
Hero |
потока уравнения |
пограничиогб |
слоя'допускают автоиодель- |
|
н |
v iip n n n . |
' |
' ■■-'• 1" |
■Vl". . |
|
j S ме Н ИЯ . |
|
|
|
|
- |
177 - |
|
|
|
2. А в т о м о д е л ь н ы е |
р е ш е н и я |
||||
Если предположить отсутствие диссоциации, т . е . рассматри |
|||||
ва ть одиокоыпонентный га з , |
то |
уравнения |
ламинарного |
погранич |
|
ного слоя для данного случая |
будут |
явл ять с я частным |
случаем |
||
уравнении ( L 2 I- I2 2 ) |
|
|
|
|
|
2S |
*Ue[r>z |
Ре) |
(4 .5 ) |
||
ие |
dx |
|
р |
' } |
|
|
|
(4 .6 )
где в уравнении энергии в правой части отс утс твуе т слагаемое,
U*
содержащее |
, |
поскольку в окрестности |
критической |
то ч- |
||
ки |
. Кроме |
то го , |
в уравнениях ( 4 .5 ) и ( 4 .6 ) |
следу |
||
ет положить |
|
|
|
|
Hie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 .7 ) |
|
|
|
|
|
|
( 4 .8 ) |
Уравнения |
( 4 .5 ) |
и |
( 4 .6 ) |
будут явл ять с я |
системой двух |
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых
функций |
т |
» f ( i) |
|
с независимой |
переменной |
^ |
в ка |
честве аргумента |
только |
в |
том случае, если C-F{0)uflU COnstf |
||||
Pr |
unu |
const |
, |
y-~F3(f}um |
const , |
а |
также во |
ли £ £ . |
~ const . |
|
|
|
|
|
|
ue |
dS |
|
|
|
|
|
|
Покажем, что последнее условие выполняется. Зепишем
s due_ s du-e dx. - 5 dx
u e dS "a-x dx dS ‘ X dS ‘ |
' ’ |
1178
П оскольку S ~fpeueJJ'erokd>( ’ a fl окрестности критике скоп
т о ч к и |
Гд(К) * |
X |
, 1 0 SzpefaCL f |
• Вычисляя у |
||
'Получаем |
|
|
duf _ £ |
|
|
|
|
|
|
J S |
|
;(4 .1 0 ) |
|
|
|
|
|
' г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 этом случае уравнения движения |
газа вблизи кртшше'скоп то ч - |
|||||
кй запишутся |
та к: |
|
|
|
||
|
( |
|
- |
jrl’ |
( 4 . П ) |
|
|
|
|
||||
|
' |
Ы |
ч |
д ' - - о , |
|
<', л г ) |
|
Г |
РГ |
|
|
|
|
где |
< т Д . |
|
|
|
|
;У
Выразим плотность через теплосодержание. Из уравнения состояния можно получить ЧЮ P f - ^ - p f h , и p - ^ - p h ,
л
(4 .1 3 )
р hg h?\He 2Не) |
2Не ^ |
- c ‘ - f
£ |
|
В окрестности критическом точки Неа :~hnяе + ~£п~- ha |
Г. |
н,
, г I , результирующая система уравнения пограничного слоя в
1\а
автсмодальних переменных имеет вид
(4 .1 4 ) (А . 15)
( & * 7 ♦ * ' = « .
- т > -
Введем, вместо функции |
Ю) |
|
функцию Ь(Х) |
, где |
Hi) . |
|||||||
и*-Н*> - Ф) -Щ . t -с*( |
. |
|
|
|||||||||
Тогда вместо |
системы |
(4 .1 4 ) |
и |
(4 .1 5 ) подучим |
систему. |
ура-вив*- .. |
||||||
|
содержащую параметра |
С |
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С4..Ж)) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 .1 7 ) ' |
|
Ьта система уравнений при граничных условиях |
f t(dj'zff(0)-0'f |
|||||||||||
2(0) =9w |
(при |
? = 0 |
) , |
|
|
|
|
( п р и ? - * - 0 0 ), |
||||
при P r |
= f |
была |
численно решена Коэном и Решатко для |
различ |
||||||||
нее/. значений |
параметра f |
* |
• |
В |
та бл.7 |
приводятся некоторые |
||||||
результаты э тих расчетов;. |
< |
|
означает производную о т |
функ- |
||||||||
|
|
|||||||||||
ции по |
|
|
( . . ц Л |
у- |
1 м i S d U f Не |
* |
|
|
||||
координате f -?• (. |
|
р |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7 |
||
А |
|
i ‘ U |
|
|
i |
|
|
0, 8 |
0 , 4 |
0 |
- I |
|
0,5 |
Pi-g't(o) |
t |
|
0,816 |
0 ,9 2 6 |
1 ,1 2 |
1,315 |
1 ,2 5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
*-<!* |
i f |
|
0 ,7 0 4 |
0 ,7 1 4 |
0,736 |
0 ,763 |
0 ,5 8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если известно |
решение для функций |
Ф ) |
и Ф ) , то |
. |
трение и теплопередача определяются в соответствии о законом |
|
|||
Ньютона и Фурье по |
формулам |
' ' |
■ |
|