книги из ГПНТБ / Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие

- 142 -

Автомодельные

течения являю тся „вырожденными", и то

озна­

чает,

что предыстория течения не влияе т на дальнейший

харак­

тер его р а звития.

Поясыш это на простом примере решения урав­

нения

теплопроводности:

3 f

_

d2f_

(3,1')

'at

~

д£2

Функция

f

, входящая в это уравнение, зависит

от

двух

иереме иных:

t и 3

По оказывается, при некоторых условиях

можно найти

такую

комбинацию независимых переменных

t

и \ ,

ное дифференциальное уравнение. Допустим,

мы нашли такую ком-

бинацию

у- ~ = г -

. Тогда ,

утверждая, что

?(?)

, запишем:

'"‘1

д ¥ д9

д? _

^

/Л , _

?

,

при

9 - Щ

J t~ - d j

dt

4t

П

* )

где штрих в индексе означает производную

по

аргументу

^

Также

£ У

/

{

Г

1

сЦ ~ дч

~ *

J W

И

f + l W ' - z O *

(3 .2 )

решение

которого

при

граничных условиях: при

У~0 , <f-fl

,

при

»■

,

. / -

»• / - может быть записано

та к:

( 3

. 3 )

Наиболее

примечательным в рассмотрение; примере является

то , что путем

формальной замены переменных удалось свести

машинного времени, и по настоящее

время

весьма

интенсивно

применяются в инженерной практике.

Изложению теории

автомодельных течений в пограничном слое

и методу интегральных соотношений посвящены следующие главы

курса.

§ Д. Автомодельные решения уравнений ламинарного

пограничного слоя

для смеси га зов

Рассмотрим задачу об обтекании какого-либо

тела, плоского

или осесимметричного, высокоскоростным потоком

газа с доста­

точно большим числом Рейнольдса,

таким

чтобы можно было

исполь­

зо ва ть

концепцию пограничного слоя. Для

„внешних" задач

доста­

точно большим числом Рейнольдса,

подсчитанным по характерной

длине,

являе тс я число

/?£/, ^ -10а

+ 10^.

В соответствии с рис.5 введем обозначения:

^о(х)~ Ра_

диус тела вращения,

3(х) - толщина пограничного слоя,

Цл(х) - скорость

внешнего невязкого

течения

около тела за -

- 145

-

Строго говори, ламы но

крайней

мере три

толщины пограничного

слоя: толщина пограничного слон

$(х)

профиля

скорости (та к

называемая динамическая

толщина

пограничного с ло я),

толщина

температурного пограничного слоя

Sf(x)

и толщина

погранич­

ного слоя для концентраций компонентов смеси

. Отметим,

что когда число Ирандтля

Рт

и число

Шмидта

Sm

одновре­

менно равны единице, эти

толщины

совпадают между собой для

й

д

■

( * • !)

Проинтегрируем

это

уравнение, вводя функцию тока

Ф(х,у)

уд о вле тв орягащую соо тн оше ииям:

*

а у

* _

> р ъ Г о - - ~ д Г '

( , ь 2 )

Р М = М '* Ш ) , ]

( „.а,

Ы ‘ , ч ) - - и М Г Щ

Определим вид независимой

переменной ^

, используя пер­

вое из соотношений ( 4 .2 ) :

jJUgf'ri

»

? "

-

1 4 6

-

Ф )

J

/mл

J о* d-Ч ■

( 4. 4)

И(х)

Ре

Вид функции

пока неизвестен;

он выбирается

в дальней­

шем при рассмотрении уравнения движения.

Рассмотрим уравнение

движения;

dVx

dvх

dp

д

/

,

dv*

д

$Vx \

(4 .5 )

P h W +P vi i f ' W

+W ( f i f I )

в котором

от

переменных

X

и

у

лерейдеМ к независимым пере­

менным

J?

и

Л

:

dv*

afog . ..

" РУ...

avx

r ’f г ' “Hi + , ,

гп

и< )

Pvx дх ~Рие$

+ие*

дх I ;

дух

/

{dNs**Ki ..§1.л Реие ро А_г "

РЬду

"

^

'

N

Ре ^ ие ’

( 4 . 6 )

ду i f д у г

Реие го _£_(МёРй JL а ,и / О '

N

p g \

N

ре “ в ' )

где использовано условие

д1 _ Peue ro

Р

<?у "

/У

ре

Подставляя

полученные выше

соотношения в уравнение

движении

( 4 . 5 ) ;

сокращая некоторые

члены,

получим

♦г

/

due Н /п'г Р*_\

~~це

dx / У ' Г W

^ ‘ 7)

Выберем

N(x)

таи,

чтобы

( P e W o f

JLeN

_

,

( 4 .8 )

V

N

I

реЫ'ие ~1’

откуда, имея в виду, что

-0

при Х = 0

, получим

Ш

к

' ^

t f i l

Л

( , л ' °

Гг % г , д? d_h _ L I k - ± J L [ L - M q +

* dS * dS д }1 2$ д ‘1 2S d lL S n n d \ J

COi

(^•15)

Pe>4rffie

'

искать

в следую-

Автомодельный

решение для этих

i ратшзниП

будем

щем виде:

‘

н , - и №дМ),\

(4 .1 6 )

(4 .1 7 )

(

с г\’ г

dS

djj.ey ft

2<>Ui ________

f

S ir ,r L)

fie

dS i'1

Pfe ^ e C j^ ke

И Л 8 )

явл ятьс я обыкновенными дифференциальными уравнениями,

если име­

ют место дополнительные ограничения:

C - f { (? )u /iu const, P i’ -f2(4) или const; SmL=fj(4)unu

const

pL ~ W ) u/:!> aJ‘r >k

p p - u fr ^ ji^ e - 'Щ и ш const,