книги из ГПНТБ / Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие
.pdf
|
|
- |
100 - |
|
|
d r a , df iy + |
m t l . v |
( 2.6) |
|
■ If f |
dx |
dy |
dz |
|
(v) |
|
|
|
|
Подставляя соотношения ( 2 . 4 ) , ( 2 .6 ) в правую часть урав нения ( 2 .1 ) с учетом соотношения ( 2 .3 ) , отбрасывая в силу про извольности объема V тройные интегралы, получим закон изме нения количества движения для L -л компоненты газа в диффе ренциальной форме:
dt |
|
|
dx (fi-Vi |
+ dy {ft vi vcy)+dz (pi vi viz) = |
(2 .7 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dzti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= P - f r 7P i + ^ f + l f + ^dzt + P i f i + |
|
|
|
|||||||||
Просуммировав по всем компонентам смеси |
^ |
уравнений |
(2 .7 ) |
|||||||||
получим |
уравнения движения |
для смеси га зо в: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
w t № . ? r . . 1 . |
S f f |
|
|
|||
(Я) |
|
(Я) |
Я |
, я |
а |
, Я ч |
|
о Я ч |
( 2 . 8 ) |
|||
+ |
/ |
i |
F‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
приче^.1 |
в |
силу третьего закона Ньютона, L р^гL ~0 |
|
, а та к- |
||||||||
жа |
Ц Ш; Z / |
=0 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(О |
L L |
|
|
|
|
|
|
В дальней |
|||
|
Введем |
осредненные характеристики смеиит га зо в. |
||||||||||
шем будем называть |
средней |
скоростью смеси га зов величину |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
pi ^С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ~~~~P |
' |
|
|
|
|
(2 .1 0 ) |
||
|
Будем говор ить, что истинная |
скорость движения |
L - il ком |
|||||||||
поненты |
газа |
V/ |
отличается от |
средней |
скорости всей |
смеси |
||||||
п.ч некоторую |
величину |
С: |
которую назовем диффузионной |
|||||||||
- IOI -
скоростью движения i - й компоненты, т .е . поломим
( 2 . I I )
Подставляя последнее соотношение в ( 2 .1 0 ) , получим
p v ^ Z p iiv + Z ^ Z p iV |
+ Z p f r v I p s y f c - ( 2 Л 2 ) |
||||||||
z P v + Z p A - |
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, |
что |
|
(■ i |
= 0 |
• |
|
|
||
Определим результирующий вектор массовых сил, действующих |
|||||||||
на единицу |
массы газа: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X 0: F, |
|
|
|
|
|
|
о |
~Р |
- |
|
L |
|
|
(2 .1 3 ) |
|
|
|
r |
“ |
ft |
|
|
|
|
|
Внося во втором слагаемом в правой части уравнения ( 2. 8) |
|||||||||
знак суммы иод знак градиента, |
получим |
|
|
||||||
Z |
7Pi ~ 7( Z P l) z VP> |
(2 .1 *0 |
|||||||
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
где для идеального газа в |
соответствии с законом Дальтона |
мож- |
|||||||
но полонить |
Z-P; ~Р |
. |
Так |
определяется |
статическое |
да в- |
|||
|
( L ) |
|
1 |
|
га зо в. |
|
|
||
ление для смеси идеальных |
|
|
|||||||
Рассыотрнм |
выражение |
вида |
Jr^pi^i^ix |
> которое |
о |
||||
учетом ( 2 . 1 1 ) |
моемо |
представить |
еще та к: |
|
|
||||
- 102 -
гак как,
и С
ввда W
в соответствии с равенством ( 2 .1 2 ) , T.pjC^—0
L |
~ K p i^ ii ~0 . |
(ч |
|
% P & vlxY |
j r ( ^ L x ) |
Тогда сумму слагаемых
ш “ ° эаписа1ь ,сак
(2 .1 5 )
Б дальнейшем будем называть напряжением трения, приложен ного к площадке, нормалью к которой являе тс я ось X , следую щее выражение:
(2 .1 6 )
W i A -
Аналогично запишем
^ P i C^ CL
(i)(L)‘
Сучетом введенных понятий закон изменения количества
движения для смеси га зов может быть представлен в виде
$ - ( р ? ) + г |
г |
( / ^ |
М) |
+ р 7 у >1+ п ( р * ъ ) |
z |
||
п |
д г х , д г у |
d z z |
|
|
(2 .1 7 ) |
||
|
|
|
|||||
= Р Г ~7Р + а Г w |
|
Т г ' |
|
|
|||
Левую часть |
уравнения |
(2 .1 7 ) можно переписать: |
|
||||
до |
|
г д у |
|
д 7 |
д 7 ^ |
д 7 \ |
d 7 |
Jt + d l v p v ) + p { g t + Ч х д х +уУ д у |
уъ д г ) ~ Р d t ~ |
||||||
У\д- |
|
|
|
|
|
|
|
"огда уравнение |
(2 .1 7 ) |
можно записать в упрощенной форме : |
|||||
J . 7 |
|
А й * & |
+ M i ■ |
(2 .1 8 ) |
|||
? W = P F - vP * s r + a f |
dz |
|
|||||
|
|
||||||
- 103 -
Левая часть уравнения (2 .1 8 ) представляет собой силу т е р
ции, отнесенную к единице массы газа, а правая часть - шелние
силы, действующие на единицу |
массы га за : это массовые |
силы, |
си |
||
лы давления и силы трения. |
|
|
|
|
|
§ 3 . Уравнение, выражающее закон |
сохранения энергии |
|
|||
Запишем закон изменения |
энергии |
применительно к |
L - fi |
|
|
компоненте смеси га за . |
|
|
|
|
|
Определение. Изменение |
энергии некоторой |
массы жидкости в |
|||
единицу времени равно работе |
всех внешних сил, |
приложенных |
к |
||
данной маеое жидкости, плюс количество тепла, которое получит
данная масса жидкости в единицу времени вследствие |
теплопро |
|||||||
водности, лучеиспускания (лучепоглощения) и химических |
реакций. |
|||||||
Введем |
понятие полной энергии |
единицы массы |
L-й |
компо |
||||
ненты |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
- |
внутренняя |
энергия |
единицы массы |
t -й |
компо |
||
|
|
ненты |
(без |
учета JJ^q |
) ; |
|
|
|
г |
- |
кинетическая энергия единицы массы |
i |
-й ком |
||||
|
поненты. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Полная |
энергия |
г. -й |
компоненты |
газа в объеме |
|
|
||
£ г = / Я > Л « V =f f f p d U i + f ) d V . |
|
( 3 - 0 |
||||||
|
(V.) |
|
|
(V) |
|
|
|
|
Определим |
скачала |
, 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
г
. . . р .
- Ж й Ы ^ * Ц л * * Ы ъ * ~ я г* * $ *
(v ; |
W |
- 104 -
I . |
Р а б о т а |
в н е ш н и х |
с и л |
может бить пред |
|
ставлена |
следующим;; |
соотношениями: |
|
|
|
I ) |
работа |
массовых сил |
|
|
|
2) |
работа |
сил давления |
|
|
|
5 ) |
работа |
сил |
трения |
|
|
|
а. |
к о л и ч е с т в о , |
т е п л а , |
п о д в е д е н - |
|||
н о е |
|
к |
с и с т е м е |
в |
е д и н и ц у |
в р е м е н и . |
|
|
I . |
|
Тепло, подводимое вследствие теплопроводности. Обо |
||||
чим з соответствии с рис.4 через |
(ji - |
вектор |
потока тепла |
||||
для |
4 |
|
компоненты, обусловленный теплопроводностью. Физи |
||||
чески |
|
|
обозначает количество тепла, |
проходящее в единицу |
|||
времени |
через единицу поверхности вследствие теплопроводности |
I-л |
компоненты. Тогда полный поток тепла через всю поверх |
н о с ть, |
окружающую данную массу газа л?; , будет равен |
j f a LndS ~ - ff^ in dS - - fffd iv lfy d V ,
(S) '■ |
(S) |
(V) |
|
|
|
|
|
|
- |
105 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
внутрь объема |
V |
|
попадает |
только |
то т |
поток |
тепла, |
|||||||
которой направлен по нормали 7Г |
к площадке |
dS ■ |
|
|
|
||||||||||
2 . |
|
Тепло, подводимое вследствие диффузии |
I |
-й |
компонен |
||||||||||
ты через |
поверхность |
S |
, |
окружающую данный объем V (рис. 4 ) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
сред |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н яя |
скорость |
6 |
-го |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
компонента |
отличается |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от средней |
скорости |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всей смеси, то через |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхность, окружаю |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щую выделенный |
объем, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может осуществляться |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ыассообмен, |
вызванный |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диффузией |
L-й компо- |
||||
|
|
|
Р н с .4 |
|
|
|
|
|
центы. |
|
|
|
|
||
Поскольку эта масса переносит тепло, |
то |
его |
необходимо |
||||||||||||
учи ты ва ть |
в |
общем балансе |
тепла. Обозначим поток диффузии че |
||||||||||||
рез JL |
. Тогда |
|
|
|
- |
масса |
L -го |
компонента, |
|||||||
протекающая |
из |
внешнего |
пространства в |
объем |
V |
через |
еди- |
||||||||
ничную площадку |
с нормалью |
—► |
|
|
времени. |
|
|
|
|||||||
П в единицу |
|
|
|
||||||||||||
В этом случае тепло, |
переносимое |
вследствие |
диффузии, |
' |
|||||||||||
можно определить как |
-ffj. |
Jl-dS |
, |
где знак |
" - |
" покааы- |
|||||||||
|
|
|
|
$ |
U1 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ва е т, что |
походное направление потока диффузии направлено в |
||||||||||||||
сторону, |
обратную направлению нормали |
П |
к |
площадке dS . |
|||||||||||
Величина |
Ъ-i |
|
явлпется |
удельным |
теплосодержанием единицы мас |
||||||||||
сы газа |
i |
-й |
компоненты. |
В |
дальнейшем будем полагать, |
что |
|||||||||
( s ) |
( У ) |
|
|
- 106 |
- |
|
3, |
Тепло, выделяемое в объеме |
У вследствие химически |
||
реакций, |
приводящих к |
образованию |
t - г о |
компонента. |
. Обозначим через |
(0^ массу |
с -го компонента, которая об |
||
разуется в единицу времени в единице объема вследствие химнчес
них |
реакций, |
через |
- количество топла, которое ввделяется |
||||
или |
поглощается |
в |
результате |
образования единицы массы |
i - r o |
||
компонента. |
, |
* |
|
|
|
|
|
|
Величина |
шюгда называется „скрытой" теплотой |
обра |
||||
|
п- |
||||||
зования i -й |
компоненты. Полное |
количество тепла ,’ которое вы |
|||||
деляется (поглощается) в объеме |
У вследствие образования |
L -й |
|||||
компоненты, можно представить |
как fffOO.h: dV■ |
|
|||||
t |
(3 Ч ) |
+Pi(h%).
Просуммировав у уравнений ( 3 .3 ) , получим уравнение энергии для омеси га за :
- 107 -
Введен некоторые определения. Рассмотрим сумму вида
- - 1 р м 4 ^ т ) - ш 4 у £ $ , р 1 * Ц р & ■
‘ V
Обозначим p \ S-tp i(U i* 1 ) t I j l L ~P
U)
но записать, что
l p № ¥ ) - - ? v + p b p ( v * J r ) -
Рассмотрим выражение (U [+ ~
Тогда mos-
(Э .5)
= £ /> ;№ + т ) ( ^ ) |
^ |
(3 .6)
( 3 .8 )
- 108 -
' v |
~ |
h |
^ |
y7(. Cu CL +c t u C, - |
|
- |
( t i x C£ |
* P i Cis Ci 1) . |
(3 .9 ) |
||
Аналогично |
|
|
|
|
|
I r t J V; = Г у 7 * Г ( ? iy C i +A f i / i 7 ) ,
£ ^ = ^ * £ R * ^ A / < 7 ) -
Вводя полученные соотношения в уравнение анергии ( 3 .4 ) ,
получим ^
щ-[р(0* .} ) ] ^ [ р ( ^ l~)v] ~JlF 7-di v(p7)~
+ h ^ * h c^ |
+k ^ j * p f j ^ |
|
|
+ Z * f o ' + Ы п + Ъ я |
(3 .1 0 ) |
||
Ш |
ft) |
|
|
Введем дополнительные обозначения. Раскрывая символ ди-
виргеиции в правой части уравнения (3 .1 0 ) и приводя подобные слагаемые, получим суммы следующего вида:
где под у .мокко понимать поток тепла, обусловленный тепло
проводностью и очень сложный молекулярным движением. Обычно
для |
cuecell га зов в первом приближении полагают, что |
(£=~XVT , |
|
где |
Л - коэффициент теплопроводности, пилящ ийся |
функцией |
|
температуры и |
состава га за . |
|
|
|
О учетом |
сделанных замечаний, запишем уравнение движения |
|
смеси га зов в следующей форме: |
|
||
£ [ p ( V * т ) 1 + M p ( V + Т ) ? 1 : f 7 7 - d i v ( P7 ) + |
|||
+ |
|
|
<8‘ i a |
■
Следует сказать, что наиболее часто в практических прило жениях уравнение энергии используют в несколько иной форме.
Оказывается удобным ввести в рассмотрение понятие полного теп лосодержания смеси га зо в, которое в нашем случае можно опредо-