книги из ГПНТБ / Гущо Ю.П. Фазовая рельефография

верхние™ (рис. 3-5,е). Для того чтобы сдвинуть груз, к нему необхо­ димо приложить силу Р, равную силе трения. Частицы среды, опи­ сываемой моделью Сеп-Венана, будут перемещаться друг относи­ тельно друга (материал потечет) только при нагрузках, больших определенного напряжения, называемого пределом текучести мате­ риала.

При напряжениях ниже предела текучести тело Сен-Венапа ведет себя как упругое.

Комбинации этих трех простых тел позволяют представить моде­ ли любых других сложных тел. Так, интересующую нас модель Кель­ вина—Фонта изображают в виде параллельно соединенных моделей

ческом описании проявления и стирания поверхностного рельефа и определении его формы сводится к простран­ ственной задаче о деформации поверхности упруговяз­ кого несжимаемого плоского слоя конечной толщины

в начальный момент скорости частиц жидкости равны нулю, заданы поверхностная плотность сил ро(х, у, z, t), плотность объемных сил F0(x, у, z, I) и начальное искривление свободной поверхности £о(*, у)-

В декартовых координатах линеаризованные уравне­ ния движения упруговязкой среды, которые получены нами из более общих тензорных уравнений, приведен­ ных в [Л. 64], имеют вид:

dt Р

о

(3- 1)

Р

о

дуг

dt Р

о

70

Сформулируем граничные условия. Считая движе­ ние среды медленным, амплитуды деформации малыми и искривления поверхности пологими, получаем на сво­ бодной границе (г = 0 ) следующие уравнения:

Условия (3-3) отражают равенство касательных на­ пряжений на свободной поверхности:

~ Р»*’ Рцъ ~ РоУ

Для нормальных напряжений на поверхности будем иметь Рпп — Рйг- Или в развернутом виде

+ dt = Р ^

Вуравнениях (3-1) —(3-7) приняты следующие

тяжести; р = Рг+gpz\ рг— гидродинамическое давление; а — коэффициент поверхностного натяжения.

71

Чтобы сформулировать задачу для ньютоновской среды, достаточно всюду в уравнениях (3-1) —(3-7) по­ ложить G=0.

Используя двойное преобразование Фурье по коор­ динатам х, у и преобразование Лапласа по времени t, задачу можно свести к обыкновенным неоднородным уравнениям с неоднородными граничными условиями. Решение этих уравнений находим затем относительно изображения скорости частиц uz. Применяя обратное преобразование к vz с учетом уравнения (3-5), получаем точное выражение для уравнения поверхности дефор­ мируемой среды, которое приведено в приложении 4.

внешних сил на деформируемый слой, если модель слоя описывается уравнениями движения Ньютона, Гука или Фойта. Полученное фундаментальное решение довольно сложно. Однако эта сложность объясняется не недостат­ ком метода решения задачи, а многообразием физиче­ ских явлений и факторов, которые в ней учтены. По­ следнее обстоятельство позволяет использовать эти ре­ зультаты при решении широкого класса практических задач рельефографии, причем в зависимости от кон­ кретных условий можно вводить те или иные упро­ щения.

Пространственная задача (3-1) —(3-7) о деформа­ ции поверхности вязкой и упруговязкой сред конечной толщины решена или хотя бы поставлена ранее не была. Однако в литературе рассматривались ее различные ча­ стные случаи. В приложении к изучению волн на воде для модели идеальной и ньютоновской жидкостей эта задача изучалась Стоксом, Лэмбом, Сретенским, Оборотовым, Никитиным и др.

Применительно к целям рельефографии частные слу­ чаи ее рассматривались для модели упруговязкой среды в [Л. 50, 54, 55, 65—68, 82], а для вязкой в [Л. 70, 79, 80].

3-3. Стирание рельефной записи

Воспользуемся результатами предыдущего парагра­ фа для изучения стирания рельефа.

При этом рассмотрим только стирание первоначаль­ но заданного рельефа, когда внешние силы отсутствуют.

72

Это случай особенно характерен для стирания рельефа с рифленых носителей и для стирания рельефа, нанесен­ ного с помощью электрического поля.

При заданном начальном рельефе t${x, у) и при от­ сутствии внешних сил [ро{х, у, i)= F0{x, у, z, /) = 0] из выражения (П4-1) получим точное уравнение (П5-1), описывающее стирание рельефа. Выражение (П5-1) можно упростить, учитывая ограниченный диапазон из­ менения физических параметров в рельефографии. В приложении 5 метод вычисления расчетных формул показан на примере ньютоновского бесконечно толстого слоя (d— ноо). Из анализа характеристического уравне­ ния (П5-3), в частности, следует, что деформируемый слой при d— >-оо работает как система, поглощающая энергию, в которой колебания поверхности практически отсутствуют. В слоях конечной толщины из-за влияния жесткой основы колебания поверхности должны зату­ хать в еще большей степени. Характеристическое урав­ нение отражает вид процессов линейной системы неза­ висимо от рода внешнего воздействия. Поэтому сделан­ ный вывод является общим и существенно облегчает исследование проявления и стирания рельефной записи.

73

— показатель роста экспоненты или величина, обратная механической постоянной времени ты(/г, /г);

стирании рельефной записи представляет собой экспо­ ненту, затухающую с постоянной времени тм(п, /г). Это

значит, что каждый гармонический сигнал с частотой Qnjt затухает со своей постоянной времени. График ха­ рактерной переходной функции изображен на рис. 3-6. Из графика видно, что длительность времени стирания

74

налы всех частот затухают с одинаковой постоянной времени t g ,m = p/2G. В этом случае форма рельефа в лю­ бой момент времени будет точно соответствовать на­ чальному рельефу у>(х, у).

Показатель <пам(/г, /г) сложным образом зависит от

частоты Qnii и толщины слоя d. Для оценки этих зави­ симостей построим сначала график функции Fn;t от нор­ мированной частоты г„/£ (рис. 3-7). Из-графика видно, что Fnh растет от 0 до 1 с ростом rnh. При увеличении гПк больше я величина Fnu практически не меняется.

Поскольку /г) пропорциональна Fnll, то для

каждой фиксированной частоты Q„n график рис. 3-7 ха­ рактеризует одновременно и зависимость шам(«, k) от

Рис. 3-S. Вид типичной амплитудно-частотной характеристики упру­ говязкого слоя.

Показатель ш (/г, k) для заданной толщины слоя

пропорционален произведению QllkFnh. С ростом Йп& до значений dQnn я*it можно приближенно считать, что

®ам {п, /г) пропорционален й^, а при dQnH> я показа­ тель юам (п, /г) пропорционален Qnh.

Увеличение шам(/г, /г) с частотой говорит о том, что

гармоники более высокого порядка затухают заметно быстрее первой. Поэтому длительность стирания записи tCT во всех случаях с точностью до нескольких процен­ тов можно оценить с помощью постоянной времени за­ тухания гармоники основной частоты йн по формуле

75

Вид типичных амплитудно-частотных характеристик упруговязкого и ньютоновского слоев для режима сти­

для которых стирание рельефа согласно (3-9) происхо­ дит по законам:

Fi0= (ch pd sh pd—pd) / (ch2 pd + p2d2) .

Из сравнения показателей роста для выражений (3-19) и (3-20) следует, что при равной толщине слоя пространственный рельеф вида (3-17) стирается с по­ стоянной времени, в 2 раза меньшей, чем «линейчатый»

рельеф вида (3-18) при d ^ n / У 2р, и в У 2 раза мень­ шей при сГ^п/ V 2 р.

Для упруговязкого слоя при 4G> y2a.$Fn постоян­ ные времени стирания пространственного и линейчатого рельефов одинаковы и равны p./2G.

76

3-4. Проявление и стирание рельефа при действии

нормальных поверхностных сил

Данный способ проявления н стирания записи при­ меняют в рельефографин весьма часто, например при записи электронным лучом на «толстых» слоях, при фотопластической записи, при всех видах записи с помо­ щью электрического поля и в других случаях.

Точное решение задачи (3-1) — (3-7) при

приведено в приложении 6. Там же представлено при­ ближенное расчетное выражение (П6-2). для переходно­ передаточной функции.

При воздействии на слой периодической нормальной плотности сил вида

п= \ k=\

из (П6-1) и (П6-2) получим формулу, описывающую проявление и стирание рельефа:

ООСО

сил пк-н гармоники. Остальные обозначения приведены в § 3-3. Обозначим для простоты

сом(«, /г)=<ом; <лр(п, k)=coP.

При условии <в3;= сом и з (3-23), раскрывая неопреде­ ленность вида 0/0, получаем:

.77

Типичный график зависимости глубины канавки Апп от времени построен на рис. 3-10. Зависимость Л„л(/) по аналогии с кривой послесвечения люминофоров в теле­ видении принято называть кривой свечения. Она имеет максимум в момент времени to, который назовем опти­ мальным временем проявления, а А0— оптимальной глу­ биной канавки.

В интервале времени от 0 до /0 происходит проявле­

При со0=1 величина то=1. Величина то зависит толь­ ко от безразмерного коэффициентасоо и, как видно из

графика рис. 3-11, монотонно возрастает с его ростом. При со0> 1 формула (3-26) принимает более простой вид:

То = 1п Юо-

Подставив (3-25) —(3-27) в (3-23), получим формулу для определения оптимальной глубины канавки

(3-29)

При соо= 1 величина Кпи = е~Л-

78

Выражение (3-28) в литературе называют формулой чувствительности. Оптимальная глубина канавки Ао является наибольшей величиной глубины, которую мож­ но получить при заданном режиме проявления.

Безразмерная функция Кпи, как и то, зависит только от соо и, как следует из ее графика (рис. 3-11), убывает от 1 до 0 при возрастании <а0 от нуля до бесконечности. Она учитывает влияние на чувствительность записи по­ стоянных времени тм и тр. Если релаксация сил отсут­

вательно, при оценке чувствительности деформируемых слоев необходимо учитывать релаксацию плотности си­ лы при проявлении.

Более подробный анализ t0 и Л0 можно сделать, если известна природа поверхностных сил.

Проанализируем с помощью переходно-передаточной функции RP временные и частотные характеристики соб­

рис. 3-12. При «мгновенном включении» постоянной (во

79