книги из ГПНТБ / Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с

проекции оси. Очевидно, также легко отметить положение точ­ ки А на том же уровне по другую сторону от оси. В обоих слу­ чаях для построения проекций такой точки нужно знать вели­ чину радиуса вращения.

Сопоставляя особенности вращения вокруг осей различного положения, нетрудно прийти к следующему выводу.

При использовании метода вращения наиболее удобными осями вращения являются проецирующие прямые. При враще­ нии вокруг таких осей легко отметить любое положение вра­ щающейся точки и измерить угол ее поворота.

Прямые линии уровня в качестве осей вращения целесооб­ разно использовать при вращении точки или ряда точек объекта до совмещения с плоскостью уровня, в которой лежит ось вра­ щения. В таком положении проекции вращающейся точки легко определить, зная величину радиуса вращения.

По этим же соображениям прямые общего положения не могут быть осями, используемыми в методе вращения. Точнее, вращение вокруг прямых общего положения может реализовать­ ся на комплексном чертеже только после преобразования пос­

При этом ось вращения целесообразно провести через какую-ли­ бо точку вращаемого отрезка, например через один из его кон­ цов. Тогда новое положение вращаемой прямой будет опреде­ ляться двумя точками, одна из которых лежит на оси и потому неподвижна, а другая вращается. В данном случае точка А ос­ тается неподвижной, так как она лежит на оси вращения, а по­ ложение отрезка определяется положением точки В.

На чертеже вращению точки В соответствует перемещение ее горизонтальной проекции по дуге и смещение ее фронтальной проекции по прямой, перпендикулярной к одноименной проекции оси вращения. Конечное положение точки В определяется поло­ жением ее горизонтальной проекции В °, при котором горизон­

тальная проекция отрезка становится характерной для прямой фронтального уровня, т. е. перпендикулярной проекционным связям.

Вращая такой же отрезок вокруг фронталы-ю-проецирующей прямой, можно привести его в горизонтальное положение. В этом случае конечное положение определяется положением

69

фронтальной проекции вращаемого отрезка, характерным для горизонтали (фронтальная проекция перпендикулярна проекци­ онным связям).

Вращение вокруг проецирующей прямой — наиболее упот­ ребительный способ определения длины одного или нескольких отрезков, принадлежащих заданному объекту.

Пример 2 . Приведение плоскости общего положения в поло­ жение проецирующей. При вращении плоскости общего поло­ жения вокруг проецирующей прямой с указанной целью конеч­ ное положение плоскости определяют с помощью линии уровня, проведенной в данной плоскости. Здесь используют следующее соображение: прямая линия уровня, оставаясь параллельной одной из плоскостей проекций, может стать перпендикулярной другой в результате поворота вокруг соответствующей проеци­ рующей оси. При этом плоскость, в которой взята упомянутая линия уровня, также станет перпендикулярной той же плоскости проекций.

Приведем плоскость Б общего положения (задана двумя па­ раллельными прямыми) во фронтально-проецирующее положе­ ние поворотом вокруг горизонтально-проецирующей оси т (рис. 84). Ось проведена через горизонталь /і в данной плоско­ сти. Конечное положение плоскости определяется положением этой горизонтали, при котором последняя проецируется в точку на фронтальную плоскость проекций. Для такого положения характерно совпадение горизонтальной проекции с проекцион­ ной связью. Для достижения такого положения горизонталь по­

70

ворачиваем на угол у. Очевидно, на такой же угол поворачива­ ется вокруг оси любая точка, принадлежащая плоскости, кото­ рая вращается вместе с горизонталью /г. В частности, на угол у перемещается точка 4, взя­ тая в дайной плоскости. Пло­

скость S , став фронтально­ проецирующей, на фронталь­ ной плоскости проекций имеет вид прямой, которая проведе­ на через фронтальные проек­ ции повернутых горизонталиh

иточки 4.

Врезультате такого по­

сти Е, проведенной через оси этих конусов. Очевидно, эти точ­ ки можно легко определить, если всю систему повернуть вокруг одной из указанных осей, например вокруг оси т, до положе­ ния, когда плоскость S станет плоскостью фронтального уровня. При этом экстремальные точки находятся на контурных обра­ зующих. На рис. 85 показано, как найденные точки обратным вращением приводят в исходное положение. Линия пересечения поверхностей построена так же, как на рис. 60.

Метод плоскопараллельного перемещения (вращение без указания оси)

Рассматривая рис. 83 и 84, нетрудно заметить, что при вра­ щении любого объекта вокруг проецирующей прямой одна из его проекций поворачивается, не меняясь по величине или фор­ ме, а у другой проекции все точки смещаются в направлении,

71

перпендикулярном одноименной проекции оси вращения. Так, на рис. 83 и 84 при вращении вокруг горизонталы-ю-проецирую- щих осей горизонтальные проекции заняли новое положение, но не изменились по величине и форме, а на фронтальных проекци­ ях все точки сместились в горизонтальном направлении.

Рис. 86. Метод плоскопараллелыюго перемещения

На основании этого проекцию, вид которой не меняется при вращении, можно вычертить в нужном положении на любом удобном месте чертежа, а затем сместить все точки другой ис­ ходной проекции до соответствующего положения. Это соответ­ ствует перемещению объекта, при котором все его точки дви­ жутся в параллельных плоскостях уровня (плоскопараллельное перемещение). Иначе говоря, здесь происходит вращение вокруг некоторой не указанной оси.

На рис. 8 6 приведен пример использования плоскопараллель­ ного перемещения для определения натуральной величины плос­ кой фигуры.

Треугольник А В С приводим из общего положения во фрон- тально-проецирующее. С этой целью, как и при простом враще­ нии вокруг горизонталыю-проецирующей оси, в треугольнике проводим горизонталь, с помощью которой и выбираем новое положение горизонтальной проекции треугольника. Проекция А\ В\ С J на данном этапе построений является «ведущей». Пос­

ле вычерчивания ее на произвольно выбранном месте на пересе­ чении проекционных связей и линий, по которым смещаются точки фронтальной проекции, находим точки А ^, В£ и C j , кото­

рые определяют новую фронтальную проекцию данной фигуры, спроецировавшуюся в отрезок прямой.

Далее из промежуточного фронтальио-проецирующего поло­ жения перемещаем заданную фигуру в окончательное положе­ ние — в плоскость горизонтального уровня. На этом этапе по­ строений «ведущей» является фронтальная линейная проекция А ° В° С% , которую вычерчиваем перпендикулярно проекционным

72

связям. В соответствии с ней строим горизонтальную проекцию А ° В° С° , показывающую натуральную величину фигуры.

Описанный метод позволяет избежать наложения одноимен­ ных проекций в исходном и повернутом положениях, что особен­ но важно при двукратном преобразовании комплексного чер­ тежа.

Вращение вокруг прямой линии уровня (метод совмещения)

Прямые линии уровня целесообразно использовать в качест­ ве осей вращения при вращении плоского объекта (фигуры или угла) до совмещения с плоскостью уровня, в которой лежит выбранная ось вращения (см. стр. 68—69). Разумеется, ось проводят в плоскости данного объекта, и конечная цель враще­ ния — определение его натуральной величины.

На рис. 87 показаны две прямые общего положения, пере­ секающиеся в точке К- Вращая плоскость, образованную этими прямыми, до совмещения с какой-либо плоскостью уровня, мож­ но определить величину угла а между заданными прямыми.

Наложим на прямые горизонталь h и повернем вокруг нее заданную плоскость до горизонтального положения. Очевидно,

ко было отложить вдоль перпендикуляра к горизонтальной про-

73

Глава V ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫ Х ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПО КО М П Л Е КС Н О М У ЧЕРТЕЖУ

Определение длины отрезка

Отрезок прямой частного положения проецируется в нату­ ральную величину на плоскость, которой эта прямая параллель­ на (см. гл. I, п. 2). Длину отрезка общего положения можно оп­ ределить по двум его проекциям любым из рассмотренных ме­ тодов (см. гл. IV):

заменой одной из плоскостей проекций (см. стр. 61);

горизонтальную, а затем на фронтальную проекцию заданной прямой. При этом используем равенство отношения натураль­ ных величин и отношения любых одноименных проекций отрез­

бого нужного положения вдоль данной прямой.

Определение длины отрезка равнозначно определению рас­ стояния между двумя точками.

Определение расстояния от точки до прямой

Такая задача сводится к двум простейшим: а) из точки про­ вести перпендикуляр к заданной прямой; б) определить длину

75

отрезка этого перпендикуляра между заданными точкой и пря­ мой.

Чтобы провести перпендикуляр из точки К па прямую т (рис. 89), поворачиваем всю систему в такое положение, при котором прямой угол можно показать в натуральную величину;

это возможно, если одна из сторон угла займет частное поло­ жение. В данном примере поворачиваем систему так, чтобы данная прямая линия заняла положение горизонтали. Взяв на прямой произвольный отрезок 1 -2 , проводим преобразование чертежа методом плоскопараллельного перемещения. «Ведущей» при этом является фронтальная проекция, которую располагаем перпендикулярно к проекционным связям. На основании свойств проецирования прямого угла (см. гл. I, п. 7) проводим из точки К перпендикуляр K L , натуральная величина которого в данном примере найдена вращением вокруг горизонтально-проецирую- щей прямой (см. стр. 69).

Отрезок 1-2 можно привести в частное положение, используя метод замены плоскостей проекций. Приведя его в положение линии уровня (см. гл. IV , п. 1), можно провести последующие построения, как указано выше. Можно также вслед за первой заменой выполнить вторую замену для получения точечной про­ екции данного отрезка (см. гл. IV, п. 1). Разумеется, тем же преобразованиям следует подвергать также проекции точки К. После получения точечной проекции отрезка 1-2 (на перпенди­ кулярную к нему плоскость) искомое расстояние определяем от­ резком, соединяющим эту точечную проекцию с одноименной проекцией точки К.

76

Определение расстояния от точки до плоскости

Данная задача сводится к следующим последовательным по­ строениям: а) из точки опустить перпендикуляр на плоскость (см. стр. 27); б) найти его основание, т. е. точку пересечения проведенной прямой с данной плоско­ стью (см. стр. 23); в) определить на­ туральную величину полученного от­ резка (см. стр. 75).

Впримере, показанном на рис. 90,

вуказанном порядке определено рас­ стояние от точки А до плоскости Ѳ. При построении точки пересечения перпендикуляра с заданной плоско­ стью использована вспомогательная горизонталыю-проецирующая пло­ скость Б. Натуральная величина рас­ стояния А К определена методом пло-

Задача упрощается, если плоскость находится в проецирующем положе­

нии. В этом случае искомая величина определяется расстоянием от линейной проекции плоскости до одноименной проекции точ­ ки. Поэтому систему с плоскостью общего положения преобра­ зованием комплексного чертежа можно привести в положение, при котором плоскость станет проецирующей. Это можно сде­ лать заменой плоскости проекций (см. стр. 63).

Определение расстояния от точки до кривой поверхности

Определим кратчайшее расстояние от точки до поверхности вращения (рис. 91). Расстояние от точки до поверхности сферы (рис. 91, а) измеряется отрезком прямой ОК , соединяющей дан­ ную точку с центром сферы. Точку N — точку пересечения этой прямой со сферической поверхностью — легко определить, если прямую О К привести в положение линии уровня. В данном при­ мере вращением вокруг горизонталыю-проецирующей оси т всю систему приводим в положение, при котором прямая О К стано­ вится фронталыо. Изображение сферы при этом, естественно, не изменится, так как ось вращения проходит через ее центр. Если теперь через прямую О К (в положении О К 0) провести вспомо­ гательную плоскость (что необходимо для определения точки пересечения прямой с поверхностью), использовав для этого плоскость фронтального уровня, то последняя пересечет сферу

77

по окружности, совпадающей с контуром фронтальной проекции сферы. Поэтому после этого преобразованияточку N легко най­ ти на контуре указанной проекции. Одновременно определяем натуральную величину отрезка K N . Этот отрезок можно пока-

Рнс. 91. Определение расстояния от точки до поверхности вра­

щения:

а — до поверхности сфе­ ры; б — до поверхности конуса

зать в исходном положении вращением в обратную сторону (см. чертеж).

Вообще расстояние от точки до любой поверхности вращения можно определить, как радиус сферы, касательной к заданной поверхности, с центром в данной точке. Для этого нужно повер­ нуть систему так, чтобы точка К (рис. 91, а) оказалась в одной плоскости уровня с осью вращения заданной поверхности, т. е. проделать то же, что и в описанном примере со сферой. В новом положении сфера, касательная к заданной поверхности, изобра­ жается на одной из проекций окружностью, касательной к кон­ туру этой поверхности (на рис. 91, а — на фронтальной проек­ ции). Радиус R этой окружности равен искомому расстоянию, а точка касания является ближайшей точкой поверхности к дан­ ной точке К.

На рис. 91, б приведен пример определения расстояния от точки до поверхности конуса вращения. Это расстояние можно определить, как для любой поверхности вращения, но в данном случае достаточно провести перпендикуляр К°№ к образующей конуса, лежащей в одной плоскости с его осью и точкой К. Для этого вся система повернута вокруг оси конуса до такого же по­ ложения, как в предыдущем случае.

Подобная задача усложняется, если нужно определить рас­ стояние от точки до поверхности наклонного конуса (рис. 92).

В первую очередь следует найти образующую конуса, лежащую

водной плоскости с его осью O S и точкой К, т. е. линию пере­ сечения этой плоскости с поверхностью конуса. Для этого возь-

78