книги из ГПНТБ / Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с

Комплексный чертеж рассмотренной поверхности показан на рис49, б. Положение профильных секущих плоскостей отмече­ но на фронтальной проекции; полученные с помощью этих плос­ костей линии на поверхности видны в натуральную величину на

профильной проекции. Фронтальные проекции плоскостей и со­ ответствующие им линии на профильной проекции отмечены одинаковы ми буквам и.

Графическую поверхность задают двумя семействами линий уровня, как правило, когда нужно выявить и наглядно показать разный характер изменения кривизны в двух направлениях. Ли­ пни одного семейства, пересекаясь с линиями другого, образуют каркас. Пример поверхности, заданной каркасом, приведен на рис. 50 (а — наглядное изображение; б — комплексный чер­ теж). Элемент поверхности сконструирован так, что его край­ ние сечения Ѳ1 и Ѳ5 и среднее сечение Ѳ3, принадлежащие к се­ мейству профильных сечений, представляют собой дуги окруж­ ности. Характер кривизны и ее изменение в направлении, перпен­ дикулярном указанным сечениям, выявлен с помощью семейства горизонтальных сечений Г 1, ..., Г5. Секущие плоскости и получен­ ные с их помощью линии на поверхности, как и в предыдущем примере, обозначены одинаковыми буквами.

39

Глава III ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ,

ПЛОСКОСТЬЮ И ПОВЕРХНОСТЬЮ

Линии пересечения поверхностей придают графическому изо­ бражению наглядность, делают его «выпуклым». Однако для облегчения чтения чертежа бывает достаточно показать линию пересечения приближенно, зная ее форму и опорные точки. В центре внимания будут случаи, когда требуется достаточно точ­ ное построение линии пересечения для дальнейшей работы над изображением, например, для развертывания поверхности, вы­ явления подробностей и задания размеров сложной графической поверхности. Точное построение фигуры плоского сечения так­ же может понадобиться, например, для построения развертки или для решения более сложной задачи. Определение точки встречи прямой с поверхностью может выявить некоторые осо­ бенности монтажа оборудования.

Плоские сечения рассматривались выше неоднократно, когда речь шла о плоских линиях — ломаных или кривых — на по­ верхности (плоские основания фигур, вспомогательные линии для построения точек на поверхности линии уровня). Каждая такая линия может быть представлена как результат пересече­ ния данной поверхности плоскостью. Следовательно, такая ли­ ния представляет собой совокупность точек, общих для данной поверхности и секущей плоскости.

* Любую из упомянутых точек можно найти с помощью плос­ кости посредника, как и в случае пересечения плоскостей. Но если при выборе плоскости-посредника для пересекающихся плоскостей заботятся только об удобстве задания этой плос­ кости, то в случае пересечения произвольной поверхности с плоскостью общего положения условие выбора плоскости-пос­ редника несколько усложняется.

Для построения плоского сечения данной поверхности следу­

40

ет использовать плоскости-посредники, пересекающие данную поверхность по заведомо известным простейшим линиям — пря­ мой или окружности.

Как видно из этого условия, удобство пересечения вспомога­ тельной и заданной секущей плоскостей отходит на второй план, но все-таки очень важно, чтобы выбранные вспомогательные плоскости были проецирующими, так как при этом графические построения упрощаются.

Рассмотрим конкретные примеры.

На наклонном цилиндре (рис. 51) требуется провести нор­ мальное (перпендикулярное к образующим) сечение через точ­ ку А на контурной образующей 1.

Зададим секущую плоскость Б двумя прямыми, пересекаю­ щимися в точке А и перпендикулярными к образующей 1. Исхо­ дя из особенностей проецирования прямого угла, в качестве та­ ких прямых возьмем горизонталь Іг (7?і± /і) и фронталь f (f2 1 12). Вспомогательными плоскостями-посредниками в данном слу­ чае могут служить плоскости, параллельные оси цилиндра и пе­ ресекающие его по образующим.

Чтобы точки, по которым будет построено сечение, были ха­ рактерными («опорными»), выберем соответствующие им обра­ зующие 1, 3, 4, 6, проходящие через концы главных диаметров основания, причем образующие 1 и 4 будут контурными на фронтальной проекции. В точках на этих образующих контур сечения на фронтальной проекции коснется контура цилиндра, перейдя с видимой стороны цилиндра на невидимую. Воспользу­ емся также образующими 2 и 5, контурными на горизонтальной проекции, для нахождения точек касания контуров сечения и

построения линий пересечения. На пересечении полученных пря­

метим, что для всех указанных точек в данном случае сначала были получены горизонтальные проекции, а по ним построены фронтальные проекции.

Образующие, несущие точки сечения, и само нормальное се­ чение можно использовать при построении развертки цилиндра. Рассмотрим пример построения наклонного сечения поверхности

использовать горизонтальные плоскости, так как они перпенди­ кулярны оси конуса и, следовательно, пересекают его по заведо­ мо известным линиям — окружностям. Радиусы этих окружно-

41

стей легко измерить на фронтальной проекции на уровнях соответствующих 'вспомогательных плоскостей. Сами окружности видны в натуральную величину на горизонтальной проекции.

Рис. 51. Нормальное сечение цилиндра Рис. 52. Наклонное сечение конуса

Но прежде чем проводить серию таких плоскостей, следует определить верхнюю и нижнюю точки сечения. Эти характерные точки указывают участок по высоте конической поверхности, в пределах которого располагается сечение; следовательно, в пределах этого участка нужно проводить вспомогательные плос­

требуемой точности его изображения). Проведенные плоскости пересекут коническую поверхность по окружностям, как указы­ валось выше. Секущую плоскость A B C D они пересекают по го-

42

лежащей с ней в одной плоскости горизонтального уровня, по­ лучаем по две точки, принадлежащие сечению. Наконец, нахо­

но ограничивающим их ребрам). Грани лежат во фронтальнопроецирующих плоскостях, которые используют как вспомога­ тельные. С их помощью найдены вершины четырехугольного сечения KLM N .

Построение плоского сечения линейчатой поверхности мо­ жет быть сведено к построению точек пересечения образующих этой поверхности с секущей плоскостью.'

Это особенно удобно, когда секущая плоскость является проецирующей. В таком случае искомые точки можно отметить сразу на пересечении линейной проекции плоскости с одноимен­ ными проекциями образующих (рис. 54, а)-

Задача еще более упрощается, когда и секущая плоскость, и пересекаемая линейчатая поверхность являются проецирующими (рис. 54, б). Тогда на фронтальной проекции сечение сливается с проекцией фронтально-проецирующей секущей плоскости 2 , а на горизонтальной проекции сечение проецируется в ту же ок­ ружность, что и весь цилиндр.

На рис. 55 приведены типы плоских сечений цилиндра вра­ щения (рис. 55, а) и конуса вращения (рис. 55, б). Для прос­ тоты плоскости показаны в положении фронтально-проецирую- щих. При рассмотрении этих рисунков следует обратить особое

43

Г'jnepöoiia

'Окружность paSuyca R ) Зппипs

Пара прямых fi) (образующих)

Рис. .55. Плоские сечения цилиндра и конуса вращения:

44

внимание на положения секущей плоскости, при которых на се­ чении образуются простейшие линии. Так, цилиндр пересекает­ ся по прямолинейным образующим, когда секущая плоскость па­ раллельна его оси; конус пересекается по прямолинейным обра­ зующим, когда плоскость проходит через его вершину (не обязательно через ось); цилиндр и конус пересекается по ок­ ружностям, как и другие тела вращения, когда секущая плос­ кость перпендикулярна оси вращения.

В сечении цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под непрямым углом, и в сечении конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, получается эллипс, который можно пост­ роить по размерам его осей, не используя общие методы пост­ роения ( рис. 55, а, в). Для этого нужно, чтобы секущая плос­ кость была в положении проецирующей (при необходимости чертеж может быть преобразован для этой цели — см. гл. IV ). Если секущая плоскость является проецирующей, то длину большой оси эллиптического сечения измеряют непосредственно

кущую плоскость — по фронталы-ю-проецирующей прямой. Про­

рез прямую проводят плоскость, строят соответствующее плос­ кое сечение и находят искомые точки на пересечении данной прямой с полученным сечением.

На рис. 56, а изображены некоторая поверхность (наклон­ ный цилиндр) и пересекающая его прямая а. Через прямую проведена вспомогательная плоскость 0 , пересекающая цилиндр по образующим пг и п. На пересечении этих образующих и дан­ ной прямой находятся точки пересечения прямой с заданной поверхностью.

45

Принципы определения точек встречи прямой с плоскостью и поверхностью по существу аналогичны — в обоих случаях строят линию пересечения со вспомогательной плоскостью и на

Рис. 56. Пересечение прямой с цилиндрической поверхностью

ней находят искомые точки пересечения. В качестве вспомога­ тельной должна быть выбрана, по возможности, такая плос­ кость, которая в пересечении с данной поверхностью дает прос­ тейшие линии — прямую или окружность. Это соображение нужно иметь в виду при выполнении построений на кривой по­ верхности.

Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью и определения взаимного положения прямой и поверхности

Точки встречи прямой а с наклонным цилиндром (см. рис. 56) можно найти с помощью вспомогательной плоскости Ѳ, про­ веденной так, чтобы она пересекала данный цилиндр по прямым

линдра. Для нахождения этих точек пересекаем цилиндр и ука­ занную плоскость еще одной плоскостью Г, являющейся про­ должением нижнего основания цилиндра (контур этого основа­ ния является линией пересечения цилиндрической поверхности с

46

(например, ось трубы или желоба), то их взаимное положение исследуют рассмотренным способом.

На рис. 58 показам пример исследования взаимного положе­ ния прямой и некоторой поверхности вращения, имеющей гори- зоитально-проецирующую ось. В данном случае через прямую а невозможно провести вспомогательную плоскость, образующую в пересечении с данной поверхностью простейшую линию (та­ кую линию — окружность — дала бы горизонтальная плос­ кость, но через данную прямую ее нельзя провести). Поэтому проводим через прямую а фронталы-ю-проецирующую плоскость О и строим сечение с помощью ряда горизонтальных плоско­ стей-посредников Г 1, Г2, Г3. На данной поверхности вращения они образуют окружности, видимые в натуральную величину на го­ ризонтальной проекции, причем их радиусы легко измерить на

сти-посредники не нужны, так как эти точки лежат на пересе­ чении контурных образующих с плоскостью 0. Однако плоскости

1

ней), ограниченных прямыми линиями (ребрами). При построе­ нии линии пересечения гранных поверхностей имеют дело с пов­ торяющейся задачей о пересечении пластинок (см .'гл. I, п.5). Поскольку в пересечении образуется ломаная линия, изломы которой лежат на ребрах одной или обеих пересекающихся гранных поверхностей, то ее построение сводится фактически к определению точек пересечения ребер одной поверхности с гра­ нями другой, т. е. точек пересечения прямой с плоскостью (см.

гл. I, п. 6 ).

При пересечении гранной и кривой поверхностей от каждой

48