книги из ГПНТБ / Кулиш В.И. Современные конструктивные формы клееных деревянных мостов учеб. пособие
.pdf50 -
ного радиуса (j> ). И пусть к заделанному на одной конце стержню на другом приложен крутящий момент (М), Угол закру чивания не единицу длины сПозначны ( а / Ч ) .
При закручивании стержня каждое элементарное волокно на ворачивается на поверхность соответствующего цилиндра по вин
товой линии, испытывая скручивание, изгиб и растяжение» Пре небрегая скручиванием, изгибом и усилиями сь;зей, препятству ющих взаимному смещению элементарных волокон, будем считать,
что растянутые волокна наделены модулем упругости ( Ер ) и
подвержены осевым напряжениям ( ).
Под действием периферийных растянутых волокон ядро стерж ня оказывается сжатым. Сжатые волокна имеют модуль упругости
( Ес ) ч находятся под напряжением (6С ).
Пугть при кручении стержня его поперечное сечение оста ется плоским, тогда длина единицы элемента бруска в сжатой зоне будет (I - Ес). растянутой-(I + £р).
Полагая, что радиусы поперечных сечений при '■пкручивании стержня не искривляются, получим горизонтальную проекці и раз вертки 'диницы .. ины волокна, навернутого по винтовой линии на поверхность цилиндра радиуса ( р ) , равную (<хр /{ ).
Описанная схема деформации аналитически записывается:
( I )
Возводя (I) в кьадрат и пренебрегая вторыми степенями
£с и £р , пилучи«
(2)
Используя закон Гука и выражая относительные деформации из (2), запишем значения сжимающих и растягивающих напряже ний в таком виде
О )
О )
~ 51 -
Положение нейтральной круговой оси отыщем по условию равенства сжимающих усилий растягива.. ,им, учитывая при этом,
Ч£о наклон волокон и элементарной площадки одинаков
І № ( т ) * - |
Ес-Sr' P dfi = / № (*£-?-£‘ ]V 2лР |
• (5) |
о |
г, |
|
Интегрирование (5) дает алгебраическое уравнение относитель-
Н0 <*‘(* ' + Яр)
О
4t* " • (6)
Анализ (б) показывает, что члены второй и четвертый в сравнении с первым и третьим обладают высшим порядком малос ти и, кроме того, противоположны по знаку, поэтому без уц.-р-
ба для точности ими можно пренебречь , тогда
Вводя г} в (3,^), приравнивая нулю напряжения, най дем, что
fr я е* = |
at* |
/ |
_ |
- - Const |
(8) |
-р |
I |
К |
+ Sr |
|
Это позволяетокончательно записать
При закручивании стержня сдвигу волокон препятствуют связи, которые ведут к появлению касательных нспрлжвю'й,
действующих в радиальных плоскостях стержня вдоль его воло кон. Согласно закону парности эти касательные напряжения вызывают появление касательных напряжений > попоречиюс су чениях стержня, действующих в каждой точи«' пвпчречшиг® ее-
чени. по направлению нормали к радиусу, йчияедеяггду |
’ |
эту точ_:у. |
|
Величина касательного Ийирятепь., действующего |
в ра |
диальной плоскости вдоль'ѵояскоя * находянегоел ла расстоя-
„>2 -
нии jo от оси стержня:
(И)
Учитывая, что составляющая нормальных напряжений, иыѳю-
щих различные знаки в ядре и на периферии, при ыалых углах закручивания невелика, составим элементарно ) пару от каса тельных напряжений в таком виде
( 12)
интегрирование которой по площади круга дает для крутящего
момента выражение: |
аг |
, |
оіг „ |
|
е |
|
|
||
М ~ |
Я G - JT ~ |
~т~ g w p • |
(13) |
|
Сопоставляя формулы (10) |
и (II),приходим к |
заключению, |
||
что наиболее напряженной является периферийная зона, там и следует ожидать разрыва или чаще скола древесины в рагчальной
плоскости вд.ль волокон. |
|
|
|
|
Ограничивая действующие |
апряжения расчетными |
сопротив |
||
лениями |
скалыванию древесины |
вдоль волокон ( Ясл.вд |
)> по ” |
|
луЧим из |
(II) расчетное значение угла |
закручивания |
в виде: |
|
|
|
|
|
(И) |
Внося (14) в (13) получим значение расчетного крутящего |
||||
момента: |
M p |
р |
■ |
(25) |
|
R-CK.ед ' |
|||
Для длевесины при малых |
значениях |
( а / г ), а в несущи., |
||
строительных конструкциях именно этот случай нас интересует,
ве ичина радиальных и окружных нормальных напряжений мала в сравнении с нормальными и касательными напряжениями,.дейст вующими по оси волокон [39J, поэтому на выводе ид формул нет необходимости останав чватьсл.
Прямоугольный стержень При исслед ании кручения достаточно высокого прямоу
гольного стержня будем предварительно исходить из тех же
- 53 -
предположений, что и круглого бруса, считая, "го волокна, на
ходящиеся на расстоянии р =>]/х*+ у? от оси стержня, при кру чении наворачиваются на цилиндр радиуса і/ х г + у ? .
При этой сечения поворачиваются как абсолютно жесткие плоскос
ти. Приняв, такии образом, гипотезу плоских сечений Навье,в 3
дальнейшей поправку на искривление поперечных сечений введем за счет гр іг-чных условий на коніуре. Кроме того, пренебрежем пространственным характер!.и напряженного состояния встоеов
вследствие того, что модуль сдвига G « Ес & Ер .
Итак, нормальные сжимающие и растягивающие напряжения по сечению элементарных во; окон плоскостью нормальной к осм бру
са запишем в виде |
а |
, |
|
|
|
|
( х +Уг) |
|
2 £ р ] |
(16) |
|
|
ы |
с- |
- |
||
|
|
|
|||
в с |
г ~ п |
£* |
- |
2 £ с] . |
(17) |
/ р |
|
|
|
Для отыскания положения нейтральней оси поступим как и выше, в случае круглого поперечного сечения, приравняв»просто ты ради, сжимающие усилия растягивающим в первом квадрате прямоугольного сечения
Ч54 |
HSnh |
BSb |
HSh |
|
|
= j |
J ëp dx dy , |
|
|
||
j |
J G C dx dy |
«: |
(18) |
||
О |
о |
вВ |
oSnhO. |
|
|
Как и прежде, пренебрегая по малости £с |
и |
для |
|||
отыскания л, получим неполное кубическое уравнение: |
|
||||
|
+ 1 |
|
? |
• . |
о » ) |
Используя для его решения метод Кардано и физические сообра
жения, получим |
|
|
_ |
^ |
~ |
1 |
3 . |
|
|
п |
р |
|
|
|
|
|
|
|
г |
' 2Сг2 |
> |
(20) |
|
|
|
|
|
р |
|||
а с ним и положение |
нейтральной оси ( у „ |
): |
|
||||
|
|
„ |
h |
з П |
£р / |
|
(2 D |
|
|
Ун ~ |
2 |
'і 2 ’ |
Ер { U |
h‘J |
|
Подставляя |
у „ |
|
|||||
в выражение для напряжений |
(16,17), по |
||||||
лучим приравняв |
их |
нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
- |
54 - |
|
|
|
|
|
0,L3 |
oiVr t p f t |
b* AI§■ |
|
|
ffc =* 6p =" |
г* U c + j*>('l + |
Jj ■ |
4 |
(22) |
||
Окончательный вид напряжений теперь можно записать: |
|
|||||
і Е с У г- |
^ |
Г |
0 + - ^ ) ] f } » |
^ [ 0 , у н], |
(23) |
|
б р= } £ р ^ { ^ У г- ^ б 4 - ^ ~ ( і + -£)]*} > |
у£[у„,о,5Ь].{2Ч) |
|||||
При кручении стержня прямоугольного сечения гипотеза о наворачивании волокон и гипотеза плоских сечений вскрывает линь первичные относительные смещения волокон. Искривление поперечных сечений стержня, вызывающее дополнительны" смеще ния волокон вдоль их искривленных по винтовой линии осей,
дает дополнительную составляющую касательных напряжений.
Величина первичных касательных напряжений поперечного сечения сос эит из дву-: слагаемых, направленных по нормали к радиусу, проведенному из центра сечения к рассматриваемой точке, имеющих одно и то хе направление.
Первое слагаемое для точки,удаленной от оси на расстоя нии р = ^ х г+уг' , определяется как проекция нормального на пряжения, действующего по оси элементарного волокна, на плос кость поперечного сечения стержня:
|
|
(25) |
Второе слагаемое первичного касательного напряжения в |
||
точке (а,у ) плоскости поперечного |
сечения отыскивается по |
|
величине сдвига при кручении стержня у этой точки |
по формуле |
|
= |
|
(26) |
Суммарная величина первичного касательного напряжения |
||
в точке с координатами (а:,у ): |
|
|
- я- і і + |
■ |
(27) |
Составляющие первичного касательного напря: |
ния в на |
|
правлении координатных осей; |
|
|
- 55 -
|
|
|
|
|
|
|
'г ,( и 7? ) ] * } '° > ■ |
<29> |
||||
|
В формулах (25,27,28,29) |
Е = Ес , |
при У ^ [0 ,ун]\ |
Е = Ер , |
||||||||
"Ри |
У е [ у н , 0,sh] . |
|
|
|
|
|
|
О |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через |
|
|
дополнительные касательные на |
||||||||
пряжения |
в т чке { х , у |
) в направлении координатных осей |
х |
|||||||||
и у |
и сделаем предположения: составляющие |
&Я[Л |
, делствуіъ |
|||||||||
щиѳ в направлении |
оси |
х |
, остаются |
постоянными в точках ‘ |
||||||||
равноудаленных от оси |
х |
•,а составлявшие сЯу |
постоянны |
в |
||||||||
точках,равноудаленных of оси |
у |
, таким образом, введён?, ги |
||||||||||
потеза зависимости |
дТ* |
, д<7у |
|
соответственно |
от координат |
|||||||
|
|
|
|
|
Г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид формул касательных напряжений выглядит теперь таким |
|||||||||||
образом |
|
- |
e |
q |
|
ч |
|
|
|
|
(30) |
|
|
|
|
|
- |
«Г* |
A4, . |
|
|
|
|||
|
|
|
% |
= |
л |
• |
|
|
|
(ЗХ) |
||
|
Учитывая условия на контуре прямоугольного поперечного |
|||||||||||
сечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ГЛ = 0, |
при X = ±0,5 b ; |
■ |
% |
= 0, |
при у = ± o,5>h |
|
(32) |
|||||
получим искомые дополнительные касательные |
напряжения |
в вид;ѳ: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 3 ) |
А - |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
О |
|
w ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это позволяет окончательно составляющие полного касатель
ного напряжения представить в виде: „з
<7* = |
0,125 Е~ т у (4 х а-Ьа) , |
(35) |
% = |
Ü,12SÉ ~ x ( h ! -4у*) |
(36) |
Формулы (35,36) совпадают с выражениями для касательных
- 56 -
напряжен*«, полусонным* Ф.П. Белянкины* в случае, если
Ес - В р = Е |
[ » ] . |
|
|
|
|
Полное екачение касательного |
напряжения в точке ( х , у ) |
||||
плоскости поперечного |
сечения: |
|
|
|
|
«Г- 0,125 E ^ f i l * ( 4 x 2-b3'f+ |
х * (Ь '- 4 у ')г\ |
(37) |
|||
Направление вектора полного касательного напряжения, |
|||||
действующего |
в точке |
( х , у ) , определяется углом этого |
век |
||
тора с осы) |
у : |
•X С П - 4 / ) |
|
||
|
|
* (" |
''У / |
(38) |
|
|
в «• Arc 006 |
|
- ‘.Г • |
||
|
' |
У уг(4 х* -Ь 3) |
+ X3[h'~4y1)* |
|
|
Согласно принципу взаишюоти |
касательные нппрлжония, |
||||
действующие в попорочно* сочонии стержня, вызыв/шт равные по величине касательные напряжения, действующие по напраплоішю
оси |
элемѳнтарг іх волокон. |
|
|
|
|
|
||
|
Проведем анализ эпюры касатолышх напряжении. Исходя из |
|||||||
(37) |
< 7 - 0 для точек (0,0) |
и (і 0,'іh ; 1 0 ,5Ь ), то есть по |
||||||
оси стержня и ребрам. |
|
|
|
|
|
|
||
|
В точках,совпадающих с координатном осью |
у |
, при |
|||||
X - о, касательные напряжения |
нормальны к оси |
у |
и изменяют |
|||||
ся линейно: |
|
<Г в 0,125 Е ~ j ./Tjc |
|
|
||||
|
|
|
|
(39) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для точек |
оси х |
, при |
у |
а о, касательные |
напряжения |
||
нормальны к оси |
х |
и линейны |
в соответствующие |
зонах |
||||
|
|
<7 = О,Г Л |
Е |
~ |
Ь 'у . |
|
(W). |
|
|
По контуру |
поперечного сечения |
вдоль длинном |
стороны, |
||||
прямоугольника касательныенапряжения соинадают по |
шшрпилг- |
|||
ішюс этой стороной |
( |
jä в о) |
и меняются по параболе |
|
( у « 1 о,ЪЬ ): |
|
|
|
|
|
<7 |
- 0,0б?5 |
Е Jn b ( l > - h r ) . |
('К) |
Вдоль короткой |
стороны касательные напряжения |
совпадают |
||
-57 -
онаправленной этой стороны ( р » 909!) и изгоняются по пара«
боле ( у - І 0,5 h ) |
|
|
«Г •> 0,0625 Е ~ |
h (4ас*- 6'J. |
(42) |
Нпксииалыше касательные иаіірлхоння имоют место по оѳре- |
||
дине длинных сторон прямоугольника |
|
о |
|
э |
|
<Г - 0,0625 £с ~j |
ö h'. |
(43) |
Для j -чскпііия внутреннего крутлщог) ыимонта приравняем внешний крутящий чомонт моменту касательных напряжений отно сительно оси стержня. При составлении вырахѳнил для олемѳн-
тарных моментов учтон знак составлявши:* , следова тельно и направленно вращения моментов. Суммация моментов элементарных пар по площади поперечного сочонил дает выра жение для крутящего і шонта я следующем виде
|
|
|
<|і» Я*»* |
|
|
|
|
|
|
М |
- |
4 J |
]o,125 Вст>[х*(ь‘- 4±7) + |
|
+ |
(44) |
|
|
|
+ |
|
J 0,U5 Ер ~ |
[ і а(Ѵ - 4 у і) + |
ь1- 4 х г)J ate |
. |
|
|
|
Производя интегрирование (44)» |
найдем |
|
|
|||
о |
М |
- |
0/o m E fi~ b ’h U ( E 6 ~ Ep) £ ^ V ( n i - - ' f ) . |
|
(45) |
|||
|
|
|||||||
|
|
При |
E f ^ E p ^ E |
( 45) совпадает с крутящим моментом, |
полу |
|||
|
ченным Ф.ІІ. Полянкиным, им вщим удовлетворительней еоглаоове-< |
|||||||
|
ние с экспериментом [39]. |
|
|
а |
||||
|
|
Добавка от второго слагаемого (45) может быть>как поло* |
||||||
|
жнтолыюй ( Fc > Е р ) , ток и отрицательной ( Е (і< Вр/), >и |
е |
||||||
|
этой точки ирония, развиваемая в данной работе болееобщад. |
|||||||
|
теория наряду с уточнением физическойкартины анизотропного < |
|||||||
|
строения дроиосины в объоме несущего стеркщъ может.иметь и - |
|||||||
практичоскоо приложонио, направленное на увеличение иеоуцей ?
способности дореоянных скручиваомих стержней..
-5В -
7.О прин"ипб аддитивности
Наряду о особенностью определения геометрических характе ристик при оценке напряженного состояния существенное значе ние имеет вопрос обоснования границ применимости принципа не зависимости действия усилий, что рельефно проявляется в клее ных деревянных элементах,армированных высокопрочными синтети ческими материалами или металлом.
В качестве объекта исследований примем стержень прямоу гольного поперечного сечен л, работающий с различными модуля ми : іругости при сжатии ( 2?с ) и растяжении ( Ер ) , когда вы полняется гипотеза плоских сечений Бернулли и соблюдается ли нейность эпюры нормальных напряжений с изломом по нейтральной оси.
Утверждение I Приведенные по модулям упругости площади поперечного прямоугольного сечения относительно сжатой и растянутой зон при 'згибе не совпадают по величине, но инва
риантны относительно смены зон напряженно-деформационного со стояния.
Для бимодульного прямоугольного стержня этот факт оче
виден (см. § 2).
Армированный в периферийных областях стержень размером
b X h из условия равенства относительных деформаций в кон такте сочленения материала основы и арматуры имеет следую
щую приведенную площадь относительно модуля упругости мате
риала основы на |
скахие |
|
Яг |
|
|
|
|
„Ы |
° h |
« _ |
Ъ і |
|
I i . l t |
|
|
+ Е Ъі |
|
||||||
1FПРС.И, |
= |
аі |
Е с |
En 2с |
(I) |
||
После |
смены |
зон напряженного |
состояния |
получим |
|||
, |
к |
п1 |
ТР ' с |
п* |
т? |
|
|
прс-" >яГ |
;ff « 5 . Е е + Ь |
( 2) |
Е , |
||
Приведенные |
площади при изгибе |
относительно модуля уп- |
- 59 -
ругосги материала основы на растяжение могут быть получены
умножением (I,2) на отношение Ес/ 2? , раскрывающее внут
реннюю статическую неопределимость стержня, обусловленную
несовпадением |
Ме |
и Ер , тан ван (I) равно |
(2), то. доста |
||
точно умножить на |
Е(/ ЕР |
одно из выражений (I) или |
(2) о |
||
с . - » 1 * 4 < т „ 4 F“ % - |
■ |
о ) |
|||
Полученное выражение (3) завершает" доказательство ут |
|||||
верждения I. |
° |
|
|
0 |
о |
В случае сжатого (растянутого) стержня, |
|
||||
ввиду однознач |
|||||
ности деформационного фактора, аналогично приведенная яло-
t-
цадь определяется соответственно для сжатого к растянутого
стержня: |
|
|
л |
й. |
|
Тпясе = |
М + S |
|
& |
Е. • |
(4 ) |
|
П, |
|
|
|
|
|
F'. |
|
|
|
|
г£сс = |
|
+ . £ т»і. „ |
|
||
ьь + £ йв» j3ftr |
(5) |
||||
|
f1 |
£rp |
L*f |
|
|
Из сопоставления (4) и (5) следует; |
|
|
|||
Утверждение 2 . Приведенная плоцадь |
сечения в случае |
|
|||
действия сжимающих усилий не совпадает с приведенной пло-‘
щадью при действии на стержень растягивающих уенднй.
|
о |
|
утверждение 3 . Жесткости бимодального сгержЖя цри сжа |
||
тии и раотйжѳнии не эквивалентны. |
|
0 |
Уннокин (4) на Ес , (5) на Ер |
, тогда |
|
Е’7ЯССV = ЕffСЬЬ.on + $Л гЛFa;1-Saл, + £д; Ft,'к..-Egа'. ,. |
(6) |
|
|
|
о |
‘ I * * |
. - . |
(7) |
Два последннх слагаемых в (6,7) равны, первые - нет,
это доказывает справедливость утверждения 3.
Утверждение 4 . Приведенные моменты инерции прямоуголь ного бимодального1стержня относительно нодуля упругости ма териала основы на сжатие и растяжение не совпадают, но ян-