книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfПоэтому |
U G0 (х, i, t — т)РG0[(g, у, х)рЩ Чр = |
|
||||
|
|
|
N |
N |
N |
{ x - y f |
= p~N(4я (t — т) 4ят) |
2q |
р 2р (4jt^) |
2р ехр^- |
|||
|
|
|
|
|
|
At |
|
N_ |
___N_ |
_N_ |
___W. |
N |
|
|
2P (4я) |
t |
2P |
2 (t — x) |
2" X (t) |
2<? G0 (x, £/, f). |
Следовательно,
I (Лф) (x, t) |< |
(4я) |
JL |
{p) |
- n+JL |
JL |
|
||
'l24 |
|
2p |
t 2? |
|
||||
N . |
|
|
|
|
|
■— - n+-n |
||
----------(-a. |
dx |V (x) |7 C0 = |
(4я) |
||||||
x (t) ^ ' |
*я (p) |
2p Г(1 |
||||||
|
|
a+1—— |
|
r ( - - H |
- l ) |
|||
X |
I V W |
I |
, 129C 0 |
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( a + |
2 ( 1 _ |
2q ) ) |
N
2Я X
X
что и требовалось доказать.
Лемма 1.2. Если F(x)eL9, <7>0,5iV, то интегральное уравнение (1.3) имеет единственное решение, принадлежащее
Lx (g)L“ (g)L°° [0, £], |
и для этого решения выполнена оценка |
|
sup |
|со (х, у, х) |< С (t, IV (х) |9) < оо, |
|
x.y£RN, Т6[0,<] |
|
|
где константа C(t, |
||V(x)||q) конечна при |
всех ffe[0, оо), |
IIV(jc) ||в<оо и зависит только от t и ||У(х)||д. |
при достаточ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу оценки (1.4) |
||
но большом п оператор Ап, рассматриваемый |
как оператор |
|
в банаховом пространстве(§)-Ц °®£°°(0. ^]* |
имеет норму |
меньше единицы, поэтому утверждение леммы есть следствие принципа сжатых отображений.
§ 2. Предел функции Грина уравнения теплопроводности при п—>оо
Предположим, что функция V(x) удовлетворяет услови ям Л(->(a, R), пусть VM(x) =min{K(x), М). Рассмотрим за дачу Коши
-| т- = Дu + Vm {x) u, t > 0 , х б Rn \ |
|
dt |
|
u(x, + 0) = и0{х), и(х, t)£ L°°. |
(1.5) |
10
Пусть GM(x, у, t) — функция Грина задачи (1.5). Как уже доказано [2],
GM{х, У, t) = G0(х, у, t)®м (х, у, О,.
где
1 |
_ |
(X(т) — тх (1)) + |
|
<otf (х, у, t) = § {exp (f J Vm (2Vt |
|
||
0 |
|
|
|
+ X + ( y — x) T)dr)j. |
(1.6) |
||
ПустЬ |
_ |
|
|
l |
|
|
|
<р№(х, у, t,x{%))= exp(f JVAf(2/< |
(x{x) — xx(l)) + |
|
+ x + ( y — x)x)d%y
Лемма 1.3. Если функция V{x) удовлетворяет условиям
ЛН(а, R), то
1) при любых фиксированных х, y^RN почти всюду по мере Винера существует конечный предел
фС—) (х, у, t, х (т)) = Пт ф£-> (X, у, t, х(х)У,
2)функционал <рН(х, у, t, х(т)) интегрируем по Винеру
слюбой степенью д е ( 0, о о ), причем
'<И(Фн ) - ф И Р}-+°- М^-оо-,
3)рассматриваемый как функция х, y^RN и t<=(0, °°), интеграл
со(-) (х, у, t) = § {ф(- } (х, у, t, х(т))}
есть измеримая функция и на произведении пространств RnXRnXI0, 0. и 110 каждой переменной в отдельности при фиксированных остальных;
4) функция ©Н (х, у, t) удовлетворяет оценке
|
1 "С |
*(х, у, t) <^.С (t, IУ (■х)||9), |
|
причем |
величина |
C(t, ||У(х) ||9) |
зависит только от t и |
|У(х) ||q и конечна при всех te[0, |
оо) и ||У(х) ||9<оо; |
||
5) |
функция ©H(x, у, t) симметрична по х и у |
®(-) {х, У, t) = ®(_) (У, х, t).
11
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как известно, функция GM(х, у, t) удовлетворяет интегральному уравнению
|
GM(х , у, t) --= G0 (х, y,'t) + |
|
||
< |
|
g, t — t) VmШ Gm(i, У, x)dl, |
||
+ jdT jG 0 (x, |
||||
о |
|
|
|
|
а отсюда следует, |
что |
функция солг (х, у, t) |
удовлетворяет |
|
интегральному уравнению |
|
|||
(х, у, |
t) = |
|
t |
g, f — t) x |
1 + GiT1(х, у, t) j dx J G0 (x, |
||||
|
|
|
0 |
|
|
X VM(l) G, (g, у, x) (x>m(£, г/, т) dg. |
(1.7> |
||
Из формулы |
(1.6) |
следует, солГ'(л:, t/, 0 G-LJ (g)L“ (g)L“ [ОД]. |
В силу леммы 1.2 существует единственное решение уравне
ния (1.7), принадлежащее ДТ ® 7.” |
[0, *], |
причем |
это- |
|
решение удовлетворяет оценке |
|
|
|
|
О < |
со^ (х, у, t) < С(t, IV» (х) I,) < |
С(t, |V (х) |?) < оо. |
(1.8) |
|
При |
фиксированных х, y^RN |
и /> 0 |
функционалы |
|
Ф^Г* (х, у, х (т)) образуют монотонно возрастающую последо |
вательность неотрицательных интегрируемых по Винеру функционалов, причем в силу неравенства (1.8) последова тельность интегралов от них ограничена в совокупности чис лом, не зависящим от М, поэтому первое утверждение леммы есть следствие теоремы Беппо Леви.
Так как
(ФаГ’ (х, у, t, х (т)))р = |
|
1 |
_ |
|
exp [tp tj Vm (2 У t (х (т) — хх (1)) + |
||||
|
о |
|
|
|
+ х + ( у — х) х) dx'j |
|
|||
и потенциал pV(х) |
(a, R) |
при |
р > 0, если |
только |
V(х) еЛН (а, R), то второе утверждение леммы есть |
след |
|||
ствие первого и теоремы Лебега. |
есть |
следствие того, что |
||
Третье утверждение |
леммы |
функция со<~)(л:, у, t) — предел монотонно возрастающей пос ледовательности неотрицательных измеримых функций
ам( \х, у, t) и оценки (1.8). Из оценки (1.8) вытекает и чет вертое утверждение, а пятое следует из равенства
тдГ) (х, У, 0 = с (у, х, t).
Лемма 1.4 доказана.
12
Предположим, что потенциал V(х) удовлетворяет усло виям Л<+>(а, R). Пусть
|
1 |
_ |
|
фм} (X, у, t, х (т)) = exp |
(х (т) — тлГ(1)) + _ |
||
|
О |
|
|
+ |
X+ (у — х) г) dtj, |
(1.9) |
|
со$° (х, у, |
t) = <? {фй-*(х, у, t, |
х (%))}. |
|
Лемма 1.5. Если функция V(х) |
удовлетворяет условиям |
Л(+)(а, R), то
1) |
при любых фиксированных x ,y £ R N, х (т) в C[o,i] (RN) и |
|
/> 0 существует конечный предел |
||
|
Ф(+) (х, У, t,x(%)) = |
lim ф]-И(х, у, tx ( т)); |
|
. М-»оо |
|
2) |
функционал <р(+)(х, у, |
t, х(т)) интегрируем по Винеру |
с любой степенью р е ( 0, оо), |
причем |
gф(+) _ ф(+) |р} -> О, М -*• оо;
3)рассматриваемый как функция х, y^.Rn и £>0 ин
теграл
ш<+> {х, y,t) = I {ф<+> (х, у, t, х(т))}
есть измеримая функция и на произведении пространств ^jvX-RivXlP, О и 110 каждой переменной в отдельности при фиксированных остальных;
4) функция ©(+> (х, у, t) удовлетворяет оценке
0<со(+> (х, у, t) < 1 ;
5) функция со<+) (х, у, t) симметрична по л: и у.
со<+> {х, у, 0 = со<+> (у, х, t).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Лемма 1.5 следует из того факта, |
что последовательность |
функционалов фФ неотрицательна |
и монотонно убывает при А1->-оо. |
|
Пусть функция V(х) |
удовлетворяет условиям Л (a, R), |
М\(п) и М2{п) — две произвольные бесконечно большие по следовательности,
у(+> (х) = шах (V (х), 0), У$дп) (х) = min{y<+> (х), ML(/г)},
у(-) (х) = — min {У (х), 0), У^п, (х) = min{y(_) (х), М, (л)},
Vn(*) = VitU (x) ~ V (mU (*);
13
ФЙ;^) (*, у, t, х (т)) = exp [— t j |
(21Л (x (т) — xx (1)) + |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ x + (y — x)x)d%\, |
(1.10) |
|||
фк(п) (x, У, t, x(x)) = exp p J vV(n) (2Vt |
(x(x) — xx{l)) + |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
x + (y — x)x)dxj, |
|
||
|
Фл {x, у, |
t, x (x)) = |
cp<+>(r0 ФН } = |
|||
= |
exp [ — t j |
(2 V i |
(x (x ) — xx(l)) + |
x + (y — x) T )d x j, |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(o„ [X, y , f ) |
= 8 {ф „ |
(X, y, t, x (г ))}. |
|||
Лемма 1.6. Если V(x)^A{a, R), то |
|
|||||
1) |
при любых |
фиксированных х, y^Rw и t^S) почти |
всюду по мере Винера существует предел
Ф (х, у, t, х (т)) = Игл ф„ (х, у, t, х (г)) =
П—>оо
= ф(+) (X, уЛ, *(1 )) ф<_) (х, у, t,x(x)),
который не зависит от выбора последовательностей М\{п)
иМ2(п)\
2)функционал ф(х, у, t, х(т)) интегрируем по мере
Винера с любой степенью д е [ 1, о о ), причем
|
8 { |ф — ф„|р}->-0, п— оо; |
|
|
|
3) |
рассматриваемый |
как функция х, y^Rn и £>0 |
ин |
|
теграл со (л:, у, t) = &{y{x, |
у, t, я(т))} есть измеримая |
функ |
||
ция и |
на произведении |
пространств Rn<S)Rn &)[0, £] |
и |
по |
каждой |
переменной в отдельности при фиксированных |
ос |
||
тальных; |
|
|
|
|
4) |
каковы бы ни были точки х, y^RN и t^O, сущест |
|||
вует предел |
|
|
|
Нт юп (х, у, t) = а (х, у, t),
П—юо
причем функции и и мп удовлетворяют оценке
0 < w n(x,y,t)<C(t,\\V<-Hx)\\q),
0 <*>(*, y,t)<C (t,\W ^ М У ,
14
где величина С (t, ||V<-> (х) |q) |
зависит только от t и |К<-> (х) |? |
|
и конечна при всех ^ 6 £0, с») |
и ||V<-) (х)||?< о о ; |
|
б) функция ш (х, у, t) |
симметрична по х и у: |
|
со (х, у, t) = ш {у, х, t). |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Первое утверждение леммы выте |
|
кает из формулы |
|
|
Ф„(*, у, |
*,х(т)) = Ф<+>п) ср(-)(п) |
и существования почти всюду предела у функционалов ф}+|п) и фЬ-)(П). Второе утверждение, следует из неравенства Минковского
£ {| Ф<+) фН - Ф(+)(П) ФМ Д) \ру/р <
< £ { 1 Ф(- } \2<рУ /2р S {| Ф(+> - фЖп)|*ру/*р +
+ § {| Ф(+> \2рУ12р § {Iф<-> - Ф^}п)l2"}1^ -» 0, п->оо,
и лемм 1.4, 1.5. Остальные утверждения леммы 1.6 есть оче видные следствия лемм 1.4 и 1.5.
Пусть Gn(x, у, t) — функция Грина задачи Коши урав нения теплопроводности. Справедливо равенство
Gn (х, у, t) = G0(х, у, t) co„ (х, у, t),
где функция (о„(х, у, t) вычисляется по формулам (1.10), и из леммы 1.6 вытекает
Следствие. Каковы бы ни были точки х, y^Rm t > 0, суще ствует предел
G(х, у, t) = lim Gn(х, у, t) = G0 (х, у, t) со (х, у, t).
|
П->оо |
|
|
|
Этот предел не |
зависит от |
выбора |
последовательностей |
|
Mi{ri) и М2(п), |
а функция со(х, у, t) обладает |
свойствами, |
||
описанными в пунктах 3—5 леммы 1.6. |
|
|
||
В дальнейшем будет удобно взять |
|
|
||
|
IM signl/W , \V{x)\>M, |
|
||
GM(x , у , t) = G0(x, y, t) i |
1 |
_ |
(x (t) — |
|
|exp [ — t j |
VM{2\ft |
|||
|
|
0 |
|
|
— тх(1) ) + x + ( y — x) t ) cIt J}.
Так как предел функции Gn(x, у, t) не зависит от выбора последовательностей М\{п), М2{п), то справедливо равен ство
15
Iim GM(x, у, t) = G(x, y,t). |
П.11) |
|
M-*00 |
v |
1 |
Пусть G(x, y, t) определена как правая часть |
равенства |
|
( 1. 11) , |
|
|
g{x, у, t) = G0 (х, у, t) — G(x, у, t) = G0(x, у, t) (1 — со (x, у, t)),' gM (x, y, t) = G0(x, y, t) — GM(x, y, t) =
='G0(x, y, t) (1 — сод, (x, y, t)).
(U2)
§ 3. Функции g(x, у ,t) И gM (.x, y, t)
Пусть функция
V (x) 6 A (a, R), V+ (x) = max (V(x), 0);
(x) = — min {V (x), 0}, Q = (x; |V (x) j = oo}.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = Q(+) UQ(~>, |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(+) = {x; E+ (x) = o o ), Q(-> = {x; E<-> (x) = |
+ эо ). |
|
||||||
Так как Q±= П ^м, |
гДе |
— {x, Vm(x) = M}, |
и в силу усло- |
|||||
М>0 |
|
|
|
|
и |
замкнуто, |
то |
|
вий A (a, R) каждое множество &м ограничено |
||||||||
множество Q ограничено и замкнуто. |
условия |
A (a, R) |
и |
|||||
Теорема 1.1. |
Если |
выполнены |
||||||
У<->(х) = —min{E(x)0}, то |
функция g(x, у, t) |
удовлетворяет |
||||||
следующим оценкам: • |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) — С (t, ||И-) (х) |?) G0(х, у, t ) < g |
(х, у, t) < |
G0(х, у, t), |
|
|||||
x,ytRN, t> 0 , |
q>0,bN. |
|
|
|
|
|||
Величина C(t, IIE<~>(x)||9) |
зависит только от t и |ЦЛ- >(х)|]9 |
и |
||||||
конечна при всех t^.О, ||1А_>(х) ||5<оо; |
|
|
1), |
выполне |
||||
2) каково бы ни было число Ro~>R, е е (0, |
||||||||
но неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГI g (X, у, t)\dy<£ Сг (t, I |
х||9, R, е sup |Е (х) |) |
X |
|
|||||
J |
|
|
|
\x\>R0 |
|
|
|
|
X ехр(— i - ^ p ) + |
__ 41_ |
|
|
|Ум0{y)\dy |
|
|||
\х— у\N- 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
М0= sup |V(х) |, х£Я; 1д:|Жо
16
3) |
для любой функции ср (х) 6 1 |
“ и х е {х, |
р (х, Q) > б > 0} |
|
|у* [g (х, у, t) ср (у) dy < Сг (t, | |
(х) ||,, |
Д, е, sup |
|V(х)|б х |
|
J |
|
|
Р(Л,£2)?6 |
|
|
|
|
X |
ехр ( — |
r |
u | ,) + |
|
|
|
||
|
exp |
|
|
|
|
|
о |
IVm0(у) I dy |
II ф {у) ||оо» |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
\Х— у iN—l |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
М0= |
sup |
|У(х)|; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
р(лг,Й)^б |
|
|
|
|
|
4) |
любая |
функция Цм{х, |
у, t) удовлетворяет |
оценкам |
||||||||
1—3 с теми же константами, что и g{x, у, t). |
|
|
|
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Оценка |
(1) является тривиальным |
||||||||||
следствием формулы (1.11) и оценки (4) леммы 1.6. Дока |
||||||||||||
жем оценки (2) и (5). |
|
|
|
доказать |
лишь |
для |
||||||
Оценку |
(2) |
|
|
достаточно |
|
|||||||
хе{х , |
|хj <i?0} |
где Ro — достаточно велико, так |
как при |
|||||||||
хе{х , |
она является следствием оценки (1). |
|
||||||||||
Пусть Si — сфера, расположенная на |
положительном |
|||||||||||
расстоянии т]>0 |
от множества |
Q, Si — концентричная ей |
||||||||||
сфера, расположенная на расстоянии ^/2 от множества Q, и |
||||||||||||
пусть £>i и D2 ■— открытые множества в Rn, |
несодержащие |
|||||||||||
множества iQ, границей которых служат сферы Si и S2, при |
||||||||||||
чем D2^>Dь Множество D\ может, вообще |
говоря, |
содер |
||||||||||
жать бесконечно удаленные точки. |
|
функция. |
, |
|||||||||
Пусть ср (у) непрерывная ограниченная |
Рас |
|||||||||||
смотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
фм(х, 0 = | Ом (х', у, t)'ф (у) dy. |
|
|
|
|||||||
Так как Q[\D2= 0 , |
то |
|V(х) |фМ 0<°о, x^D 2, и |
при "всех |
|||||||||
М>М0 функция фм(^, |
t) |
есть решение краевой задачи |
||||||||||
|
- ^ |
- |
= |
ЛфМ- У ( х ) ФЛ1, t > 0, x 6 D 2, |
|
|
||||||
|
фм|<=о= ф (*), х 6 Г>2, |
|
|
|
|
(U3) |
||||||
|
фм{х, t) = |
j |
GM{х , у, t) ф (у) dy, х 6 dD2. |
|
|
2 А. А. Арсеньев
Функцию срдУ (х, t) возьмем равной решению задачи Коши
дф У |
m |
|
|
|
|
dt |
— ДфУ = — Vm„ (х) фд, (х, t), Л'6 Rm, t > О, |
(1.15) |
|||
М) |
|
|
|
|
|
фм {х, + 0) = ф (х), |
|
|
|||
а функцию фУ (х, |
t) — решению краевой задачи |
|
|||
|
»■ |
|
|
|
|
5фУ |
(2) |
|
|
|
|
dt — ДфУ = 0, |
|
|
|||
фУ (х, |
0 |*est = |
J GM (х, у, t) ф (у) dy — срУ (х, t) = <DM(x, t), |
|||
фУ (х, |
+ 0) = |
0. |
|
|
(1.16) |
|
|
|
|
|
|
Функция фУ (х, |
0 |
вычисляется, как известно, по формуле |
|||
фм (х, 0 ~ j* G0 (х, у, ^)ф (у) dy |
t |
т) X |
|||
^ dx j* Gq(x, у у t |
|||||
|
|
|
X Vm„(у) фм (г/, |
т) dy. |
(1-17) |
Из леммы 1.6 (следствие) вытекает, что последовательность
фунций фдг(х, t) в каждой точке x<^RM, t> 0 сходится при М—>~оо к функции
ф(*, 0 = J G (*> У- О Ф (*/) dy,
причем существует не |
зависящая от М константа С < оо, |
удовлетворяющая неравенству |
|
sup 1флг(а:, О|< |
IIФ(«/)И» [Gm (x, у, zJ)dy<C<oo. |
*е«лг,о<т<< |
J |
Из формулы (1.17) следует, что при ^>0, уИ- voo функ
ции фУ (х, t) сходятся равномерно по х на каждом компак те к функции
t
ф(1)(*> t) = ^G0(x, у, t) ф (у) dy— ^dx^G0(x, у, t — x )x
|
|
|
b |
|
|
X Vm0(У) ф (У, |
-г) dy, |
(1.18) |
|
а первые |
производные |
функции фУ (х, t) по х |
равномерно |
|
ограничены и сходятся |
поточечно |
к производным функции |
||
Ф<■>'(*, 0- |
■ ' |
|
|
|
18
Из формулы |
(1.18) |
вытекают следующие |
оценки |
|
|
|ф(0 (X, |
О 1< |ф (У) |+ С1VM. (У) Цое 1ф (У) Цое, |
|
|||
1,Ф(1) (х, t) — J G0 {х, |
у, |
t) Ф(у) dy |< С (t, I |
(х) |9) X |
||
< |
|
г/, |
/ — т) 11/Af0(г/) |^||ф (г/) Ц». |
(1.19) |
|
X j' dx | G° (Л-, |
Но
dx I G0(x, у, t — x)\ VMo (у) |dy <
|
|
i |
Г |
e (■*— y)2 |
( l — s)(x — y)2 1 |
|
_ |
||
|
|
[ |
exP |
|
4t |
At |
|
|
|
< |
LJdr |
|
|
1V ,, |
1 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(4лт)Л//,г |
|
1V Mo \У) \ X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
exp |
g(* — </)a |
(1 — в)(x — y)* |
||||
X dy < |
|
4тг |
exp |
||||||
\ d* j Л |
|
||||||||
|
|
|
|
|
(4ят)ЛГ/2 |
t |
- |
At |
1 * |
|
|
|
о |
|
” '1' L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p |
exp |
( 1 - г ) ( х - у ) * |
|
|
|
|
|
|
4f |
|
П^о0/)№/. |
||||
xlVAf.GOKCxW 2 — |
|
||||||||
|
|
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф(1) (x> 0— |
\ O0(x, |
y, |
t) ф (y) dy |
<C(t, |
II l/(->(*)|l)C(8) X |
|||
|
Х,||ф(г/) ||« |
|
|
N —2 |
1Илц (У) Idy, x £Rn. |
||||
|
|
|
|
\x — y | |
|
|
|
(1.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично получается оценка |
|
|
|||||||
|
|
|
ф(1)(*. O' |
J G0 (х, |
у, t) ср (у) dy |
< |
|
||
|
|
|
|
|
exp £ — ^ 4t^' (х — у)2j |
|
|
||
<C(t, |
||1/(-) (х)||9) С (е) |
___ 4f_ |
|
\УмЛу)\лУ•. |
|||||
\х — у lN —l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |