книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

Тем самым определено расстояние на Е. В самом деле, если

X = х', то f (х) = f(x'), и значит,

d {х, х') — Ь(у, у') = 0 = D (х, х').

Обратно, если D (х, х') = 0, то

d (х, х') = б (у, у') — 0 и d {х, / ) = 0 4 ^ = х'.

Ясно, что D симметрично, удовлетворяет неравенству треуголь­ ника и превращает Е в метрическое векторное пространство.

Пусть теперь (хп) — последовательность Коши в (E,D ). Имеем

lim D (Хр, xq) = 0;

р - Х » ,

что его топология как метрического пространства может быть

Обозначим через Г график отображения f, т. е. множество таких точек \ = {х,у) из Е X F, что х<=Е, у = / (х) е F.

Если отображение / непрерывно, то для любой последова­ тельности (хп), сходящейся к х в Я, последовательность /(х,Д сходится к f(x) в F. Если точка 1 = (х,у) из E X F служит

для любого X е Е.

Идея доказательства состоит в продолжении ф на векторное пространство (подпространство пространства Е), порожденное подпространством Е' и некоторой точкой Хо е Е — Е'. Если до­ пустить возможность полного упорядочения элементов из Е — Е', то ф продолжается на все пространство Е.

Пусть Е' — подпространство пространства Е (предполагаемое

где g0— заданное действительное число.

чит, сужёние фо на Е' совпадает с ф.

Остается выяснить, можно ли выбрать число go так, чтобы для любого у ^ Е ' 0 было фо ( у ) ^ ѵ ( у ) .

Чтобы неравенство фо(*/)^ѵ(г/) выполнялось для любого

у^Е'о, достаточно, чтобы

Ф(х) + ag0 < ѵ(х + ах0)

344 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

откуда

— ф (x') — V (— Х 0 — х') < — Ф (х") + V (х" + АГ0),

и это верно при любых x', х" из Е'\ если попеременно зафикси­ ровать х' и х", то получим

§2. Непрерывные линейные отображения

1.Непрерывность. Рассмотрим два нормированных векторных пространства над одним и тем же нормированным полем К■Мо­ жно предположить, что К = R, но, как мы увидим, это предпо­ ложение не будет играть никакой роли.

Пусть Е и F — такие пространства и пусть f —линейное ото­

будем обозначать одним и тем же символом; здесь не может возникнуть никакой путаницы, поскольку в теореме, которая последует ниже, единственными элементами из F будут эле­ менты вида f(x).

Эта теорема отличается от теоремы Банаха о непрерывности линейного отображения одного полного метрического векторного пространства в другое, ибо здесь речь идет о нормированных -пространствах (а значит, более специальных, чем метрические пространства), но не обязательно полных.

Т е о р е м а 1. Пусть Е, F — нормированные векторные про­ странства над одним и тем же нормированным полем К и f — линейное отображение Е в F. Для того чтобы отображение f

было непрерывно в Е, необходимо и достаточно, чтобы существо­ вало такое конечное действительное положительное число М, что для любого л е Е

II f W I K Л* II *11.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть последовательность (х„) элемен­

Следовательно, f(x„) стремится к f{x0), какова бы ни была последовательность (х„), сходящаяся к х0; значит, отображение

/непрерывно.

Не о б х о д и м о с т ь . Предположим, что отображение / ли­ нейно и непрерывно. В частности, оно непрерывно в точке О <= Е.

Значит, в Е найдется такой шар В с центром О и радиусом р > 0,

1 /|а Г < ||* ||/р |а |.

Отсюда окончательно получаем

II / (*) IK /WИXII,

где М = 1/р I а I.

т— sup ||/(x )|K M .

За м е ч а н и е . Часто, когда f будет непрерывным линейным отображением одного нормированного пространства в другое, мы

будем писать

II fix) IKIlflMUII.

Если / — непрерывная линейная форма, то мы будем писать

If WIOI fl HUII -

О б о с н о в а н и е о п р е д е л е н и я . Множество линейных отображений f пространства Е в пространство F есть векторное пространство над тем же полем, и определение || f 1| сразу же по­ казывает, что II / II обладает свойствами нормы. Это, стало быть, есть норма на векторном пространстве 9 (Е, F) непрерывных линейных отображений пространства Е в F.

3.Применение теоремы Хана— Банаха к непрерывным ли­

нейным формам (продолжение). Т е о р е м а 2. Пусть задана не­ прерывная линейная форма f на подпространстве Е' нормиро­ ванного пространства Е. Тогда существует такая непрерывная

нейной формой; по предыдущей теореме, она может быть про­ должена до линейной формы, удовлетворяющей сформулиро­ ванным условиям.

Важность этого следствия заключается в том, что оно дока­ зывает существование на любом нормированном пространстве непрерывной линейной формы, отличной от нулевой; или, еще, что пространство непрерывных линейных форм не сводится к ну­ левому элементу.

4. Непрерывные линейные формы на гильбертовом простран­ стве. Пусть Е — гильбертово пространство, где норма, следова­ тельно, определяется скалярным произведением. Если (х, у) е

то в силу неравенства Шварца имеем

l( * l * / ) K I U I I [ | y [ | .

При фиксированном у отображение х-*(х\у) превращается в линейную форму и на Е\ и{х) = (х\у), а предыдущее неравен­ ство— в неравенство

|и(*)КІШІІІ*ІІ = АПІ*ІІ, .

показывающее (теорема 1 из п. 1), что и есть непрерывная ли­ нейная форма на Е. Таким образом, любой элемент у е Е опре­ деляет, при помощи соответствия х —*(х\у), непрерывную линей­ ную форму.

Мы покажем, что верно и обратное, т. е. если имеется непре­ рывная линейная форма и на гильбертовом пространстве Е, то найдется такой элемент у е Е, что и(х) = (х\у).

Т е о р е м а 3. Всякая непрерывная линейная форма на гиль­ бертовом пространстве записывается в виде x~*(x\t/).

Сначала мы докажем, что если и — непрерывная линейная форма на Е, то ее норма || и || является значением \и(%) | в неко­ торой точке g единичной сферы; а затем докажем, что этот век­

сферы о, что

lim I и (ln) | = || «II.

Заменяя по мере надобности некоторые £п на —£„, можем пред­

него неравенства стремится к нулю, чем доказано, что || £т — £„ || стремится к нулю, и значит, что (£п) есть последовательность Коши. А поскольку а замкнута в полном пространстве Е, то она является полным подпространством, и поэтому £п сходится к не­ которому £ е о. В силу непрерывности и имеем

II ы || = lim« (У = «(£).

Пусть теперь имеется ядро М = гг1(0) отображения и, т. е. множество тех J te £ , для которых и{х) = 0; покажем, что £ ор­ тогонально М.

В самом деле, для любого х е М имеем

причем оно будет справедливо при любом х е М . Согласно тео­ реме 1 из главы VII, раздел 2, § 3, п. 6 это влечет, что £ ортого­ нально М, т.е. (£|г/) = 0 при любом і/е М .

Пусть V—линейная форма, определяемая равенством

о(*) = (х|£)и(Ю,