книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Т е о р е м а

2. Для того чтобы многозначное отобра­

жение F из Т в R” было измеримым, необходимо, а в

случае, когда

оно замкнуто, и достаточно, чтобы для

всякого х е Rn

скалярная

функция

t->p(x, F(t)) =

— inf{ |jc— z \ \ z ^ F ( t ) }

была

измеримой.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

многозначное отображе­

ние F измеримо, то, выбрав, согласно теореме 1, ап­

проксимирующее семейство [xi (t), x2(t),

. . .}

измеримых

сечений отображения F, получим, что

р (х, F (<)) =

inf

\x — xm(t) |

1< ГП< oo

— измеримая функция.

что функции р (х ,F(t))

изме­

Предположим

теперь,

римы при

всяком

J teR *

и множества

F(t)

замкнуты.

Заметим,

что равенство

р(х, F (t)) =

оо

может

выпол­

няться лишь одновременно для всех х

и

только при

тех t, при которых F(t) =

0 .

Таким образом,

множество

Мы

назовем интегрант f(t,x), определенный на

Т X Rn.

измеримым (соответственно нормальным,

вы­

пуклым

и т. д.), если многозначное отображение

/-♦ e p i ft

измеримо (нормально, выпукло

и т. д.).

На­

пример,

если U cz Rft и отображения g :

Т X U

R™ и

f (/, х) — inf [h (t, и) 1и е U,

g (/, и) = х}

и2,

...}

— счетное плотное подмножество

множества

U,

а

меримых сечений отображения / —♦ epi ft-

интегрант

П р е д л о ж е н и е

7.

Для

того

чтобы

одного

из следующих условий:

функции

/ —♦/(/, х)

из­

а)

f

— выпуклый

интегрант,

меримы

при

всяком

l e R ’1

и int(dom ft) ¥ = 0

почти

при всех /;

g*t*(х),

где g(t, х)

— измеримый интегрант;

б)

f (/, х) =

в)

f (/, х) =

ft (/, х) +

/2(/, х),

где ft

и f2— измеримые

интегранты и dom f2t =

Rn почти при

всех /.

из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

а)

следует

предложений 2 и 4, поскольку

из int(dom/t) Ф 0

сле­

дует int (epi ft) ф 0

(теорема

3

из §

3.5) и для

всяких

o e R ,

х <= R"

множество

{/ е

Т\( а , х ) е

int(epi/»)}

из­

ремы Фенхеля — Моро

epi g-** =

conv (epi g () . Наконец,

утверждение в) очевидно.

П р е д л о ж е н и е

8.

Пусть

f — нормальный

инте-

грант на Т X R". Тогда для всякого измеримого отобра­

жения x{t) из Т в Rn функция f(t,x(t)) измерима.

Доказательство немедленно следует из предложе­

ния 6.

В качестве следствия из этого предложения мы по­

лучаем следующий

результат.

С л е д с т в и е .

Пусть

U с Rft и g: Т X U

R'1—

вектор-функция g{t,u(t))

измерима.

П р е д л о ж е н и е

9.

Пусть

f — измеримый

инте-

грант на Т X R". р (0 — измеримая конечная

действи­

тельная функция на Т и почти при всех t

р(/) >

inf f(t,

х).

X

Тогда найдется измеримая вектор-функция

х({)

та­

кая, что

Р (0 > / (t, * (0)

почти везде.

Положим

Д о к а з а т е л ь с т в о .

F\ (t) =

epi /у,

(0 — {(«.

e

R X R”1a < p (/)}

и применим предложение 5 и теорему 1.

инте-

П р е д л о ж е н и е

10.

Пусть

/ — измеримый

грант на Т X Rn- Тогда функция

Т е о р е м а 3. Пусть

отображение

g:

Т X

R" — R*

удовлетворяет условиям

Каратеодори,

a

F и

G — нор­

§ 8.1.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

347

С л е д с т в и е

1. Пусть / — нормальный интегрант на

Т X R"

ы

F — многозначное

нормальное

отображение

из Т в R". Положим

f(t,x),

если

x<^F(t),

оо,

если

х ф F (t).

Тогда h — нормальный интегрант.

отображение

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

Тогда

g : r X R X R ^ R ' 1,

8(t, a, x) =

x.

epi ht =

{(a, x ) e R X

R"l (a, x) <= epi ft,

g (t, a, x) <= F (0).

С л е д с т в и е

2.

Пусть

/ — нормальный

интегрант

на

Т X R",

jF — нормальное

многозначное

отображение

из Т в

Rn,

g: Т X R" -*• Rft — отображение,

удовлетво­

ряющее

условиям

Каратеодори,

а

вектор-функция

у ( ' ) : Т -* Rft и функция a(t)

измеримы.

Тогда много­

значное отображение

t - * ф (t) = {х <= F (t) |g (t, х) =

у (t), f (t, * ) < a (0}

нормально.

Пусть

интегрант

h определен

по

Д о к а з а т е л ь с т в о .

/ и

F,

как

в следствии

1.

Рассмотрим

отображе­

ние

Т.

r X R X R " -’’R X R’\

определенное

формулой

l(t,a,x)

—

(a,g(t,x)) .

Оно,

очевидно,

удовлетворяет

*->G (0 = {(a, # ) e = R X R ft| a < a ( 0 ,

У =

У(1)}

тоже нормально. Осталось заметить, что

((a, х) е

epi ht\а < а (0 , g(t, x) =

y(t)} =

=

{(a, х) е

epi ht\I (t, а, д:) e G

(0},

и применить теорему.

R"- Положим

f (t,

у) =

Пусть f — интегрант на Г X

том, что все

интегранты

f ’z

измеримы. В самом деле,

все функции

выпуклы

и замкнуты

(выпуклость оче­

видна, а замкнутость следует из замкнутости f\

и ком­

пактности единичного шара

в Rn), epi f't —

epif*r

г> 0

Докажем, что все ft измеримы. Для этого положим

he (t, y) =

f(t,

y)-\-&s(y] В),

где В — шар

единичного

радиуса с центром в нуле.

Тогда he — нормальный

ин­

тегрант (предложение 7, в))

и ft — hi (теорема

1 §3.4).

Поэтому

функция t —> ft (/, у)

измерима. С другой

сто­

роны,

int (dom fit) = dom ft +

гВ Ф 0

почти

всюду.

Пусть (Т, 2, р .)— пространство с

положительной

мерой

и F — многозначное

отображение

из

Г

в R". Интегра­

лом многозначного

отображения

F

по

мере р

назы­

вается множество в

Rn, точки которого

суть интегралы