MATAN

1)Последовательность и ее предел. Пусть имеется правило, по которому каждому натуральному n ставится в соответствие вещественное число :n В этом случае говорят, что задана последовательность x1,x2,x3… Её обозначают {}. При этом число называют n-ым членом или общим членом последовательности {}. Примеры: 1,2,3,4… =n; +∞; -1,-2,-3… =-n; -∞;-1,1,-1,1,-1… =(-1)^n. (Никуда не стремится) a, если неограниченно приближается к а с ростом n.Определение таково: a при n→∞ или, что тоже самое если для любого ε>0 сущ.такое N=N(ε) такое, что |-a|<ε для любого n>N. Другими словами → a(n→∞) если для любой окрестности точки a найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности. Последовательность {} называется бесконечно малой если →0 при n→∞

2) Существование предела для монотонной ограниченной последовательности. Число e.Экспонента и натуральный логарифм. Говорят, что последовательность {} монотонно возрастает(не убывает) если < для каждого n(=< для каждого n). Говорят, что последовательность {} ограничена сверху, если существует такое M>0 такое, что =<M для любого n(аналогично для убывающей последовательности и ограниченной снизу). Теорема: монотонно возрастающая( или неубывающая) ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Если для всех n =< и =<M, то существует такой =a, a=<M. Число e. < для каждого n и что <3 для любого n (следовательно) существует предел последовательности, обозначаемый e. =e≈2,7. есть неопределенность типа .Ф-ция. Y= называется экспонентой и обозначается exp(x).Логарифм с основанием e называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x)

3)Понятие функции. Область определения, область значения. Пусть заданы X и Y два множества. Говорят, что задана функция(отображения) f из X в Y(и пишут f:X→Y), если задано правило, согласно которому каждому элементу xX однозначно ставится в соответствие элемент yY. Обозначают y=f(x) и называют образом элемента x при отображении f, а x называют прообразом элемента y при этом отображении. Также произвольный элемент xX называют аргументом ф-ции f(x). Множество X называют областью определения, а множество Y областью значений ф-ции f. Множество образом f(x) всех элементов xX обозначают f(X) т.е. f(X)={y=f(x)|xX}Y. Графиком ф-ции f: X→Y называется множество пар (x; y) таких, что xX, а y=f(x). Если X и Y-подмножества числовой оси, то график располагается на плоскости

4) Обратные функции. Функция называется строго монотонно возрастающей на отрезке , если из условий x1,x2,x1<x2 следует что f(x1)<f(x2). Аналогично определяется строго монотонно убывающая на отрезке функция. Функция строго монотонна на отрезке, если оно монотонно возрастает или монотонно убывает на этом отрезке. Сложная функция. Пусть даны 3 множества X,Y,Z и два отображения f:X→Y и g:Y→Z. Можно построить отображение из X в Z по правилу z=g(f(x)) для любого xX, т.е. элементу x отображение f сопоставляет элемент y=f(x) а элементу y отображение g сопоставляет элемент z=g(y)=g(f(x)) Тем самым определена ф-ция F:X→Z, что F(x)=g(f(x)) для любого xX. Обозначается F=gf и называется сложной ф-цией или суперпозицией отображений f и g. Обратная функция. Пусть f:X→Y биекция. Построим отображение из Y в X следующим образом. Возьмем произвольный элемент yY.Поскольку f отображает «на», то у него имеется прообраз x,т.е. такой элемент, что f(x)=y. Этот прообраз является единственным, поскольку отображение в f взаимно-однозначно. Произвольному yY мы сопоставили единственный xX. Обозначим его x=g(y).Получили отображение g: Y→X которое называется обратным к отображению f:X→Y и обозначается g=. При этом для xX и yY имеем x=g(y)↔y=f(x); g(f(x))=x для всех xX; f(g(y))=y для всех yY. На примере sin(x) выберем отрезок -симметричен относительно нуля, на нем синус принимает все свои значения и сохраняет нечетность. Sin:→биекция(след.) сущ.-вует. обратная ф-ция arcsin→.Если x,yто arcsin(y)=x↔y=sin(x);arcsin(sin(x))=x для любого x; sin(arcsin(y))=y для любого y. Лог.функция. (a>0;a≠1) При x>0 ↔,т.е. лог.ф-ция является обратной к показательной.

5)Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a за исключением быть может самой точки a. Запись=b означает, что f(x) неограниченно приближается к b по мере того как xк a. Точное определение таково: =b если для каждого ε>0 существует такое такое, что из условий 0<|x-a|< следует что |f(x)-b|<ε. B есть предел ф-ции f(x) в точке a если для любой окрестности V точки b существует окрестность U точки a такая, что из условий xU,x≠a следует что f(x)V. Теоремы о пределах: 1)Единственность предела: если =b1=b2 то b1=b2. Док-во: пусть b1≠b2 ε=(b2-b1)/3 (следоват.) окрестности V1=(b1-ε,b1+ε) и V2=(b2-ε,b2+ε) не пересекаются. Поскольку =b1 то для указанного ε найдется такое, что неравенства 0<|x-a|< влекут условие f(x). Поскольку =b2 то для указанного ε найдется такое, что неравенства 0<|x-a|< влекут условие f(x). Положим min{;} тогда из равенств 0<|x-a|< должны следовать оба условия f(x) и f(x) что невозможно поскольку V1V2=.Утверждение теоремы из полученного противоречия. Пусть для ф-ций f и g существуют пределы =A;=B. Справедливы утверждения: 2)Предел суммы f+g сущ-вует. и равен сумме пределов: =A+B;. 3)Предел произведения существует и = произведению пределов: 4)Предел частного f/g сущ-вует и равен частному от пределов: при . 5)Пусть f(x)=<g(x) в окрестности точки a. Тогда т.е.неравенство передается и предельным величинам. 6)Т.о пределе сложной ф-ции: Пусть и пусть =c тогда =c

6)Бесконечно малые величины (для ф-ции). Сравнение их по порядку малости. Эквивалентные б.м. Ф-ция α(x) называется бесконечно малой при x→a если =0. Например x,sin(x),1-cos(x),ln(1+x)-б.м. Теорема α(x) и β(x)-б.м. при xa (следоват.) α(x)+β(x); α(x)*β(x)-б.м. при xa. Док-во: α(x)+β(x)=γ(x)-б.м. при xa Пусть ε>0; существует >0 такое, что |α(x)|< при |x-a|<(поскольку α - б.м. при xa) Далее существует такое >0 такое что |β(x)|< при |x-a|<(поскольку β - б.м. при xa) Положим =min{} тогда из условия |x-a|< следует, что |γ(x)|=|α(x)+β(x)| |α(x)|+|β(x)|< =ε. Для произвольного ε>0 мы указали >0 такое, что из условия |x-a|< следует что |γ(x)|<ε γ=α+β-б.м. при xa Лемма = b тогда и только тогда когда f(x)=b+α(x) где α(x)-б.м. при xa. Сравнение б.м. Пусть α(x) и β(x)-б.м. при xa и пусть α(x)≠0 в окрестности точки a. Говорят, что β есть величина более высокого порядка малости(и пишут β=о(α)) чем α, если =0. Другими словами =γ(x) есть б.м. при xa и тогда β(x)= γ(x)*α(x). Таблица эквивалентностей. Sin(x)x;tg(x)x;1-cos(x)x*x/2;;;; arcsin(x)x;arctg(x)x;x;;

7)1-ый замечательный предел. =1 sinx~x Док-во: OA=1 дугаAB=x; AC=tgx; S(oab)=1/2OA*OB*sinx=1/2sinx; Sсектора(OAB)=1/2r*r*x=1/2x; S(oac)=1/2tgx;1/2sinx<1/2x<1/2tgx; <1; cosx<<1; cosx1 при x0

8)Бесконечно большая величина. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Последовательность {} называется бесконечно большой если +∞ при n∞. Ф-ция называется бесконечно большой при xa если N>0 такое что 0<|x-a|< (следоват.)|f(x)|>N.Это определение дано для конечного a.Если f(x)-б.б. при xa то 1/f(x)-б.м. при xa т.е. 1/б.б=б.м. Если f(x)-б.м.при xa и f(x)≠0 в окрестностях точки a при x≠a то 1/f(x)-б.б. при xa. 1/б.м=б.б.(б.м.≠0)

9)Ограниченная величина. Произведение б.м. на ограниченную. Ф-ция f(x) называется ограниченной на множестве A если существует число M>0 такое что |f(x)|M . Пусть ω(x) определена в окрестности точки a за исключением самой точки a. Ф-ция ω(x) называется ограниченной при xa если существует окрестность U точки a и число M>0 такое что |f(x)|M , x≠a, т.е. f ограничена на U\{a}. Пусть α(x)-б.м. при xa, а ω(x) ограниченная величина при xa. Тогда α(x)ω(x)-б.м. при xa т.е. (б.м.)*(огранич.)=(б.м.)

11)Левые и правые пределы функции в точке. Запись xa+0 означает что xa и x>a т.е. xa справа. Запись xa-0 означает что xa и x<a, т.е. xa слева. По определению = если такое что a-<x<a (след.) |f(x)-|<ε Величину называют левым пределом ф-ции f в точке a и обозначают f(a-0) По определению = если такое что a<x<a+ (след.) |f(x)-|<ε Величину называют правым пределом ф-ции f в точке a и обозначают f(a+0). Разность f(a+0)-f(a-0) называют скачком функции f в точке a. Существование предела A= равносильно тому, что существует левый предел f(a-0), существует правый предел f(a+0) и они равны между собой: f(a-0)=f(a+0). Их общее значение и есть предел функции f в точке a.

12)Задача о непрерывном начислении процентов. При решении этой задачи используем 1 замечательный предел.. Пусть первоначальный вклад в банк средств. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Найти размер вклада через t лет. Через год величина вклада станет равной Q1=. Через t лет вклад окажется равным Это основная формула для вычисления сложных процентов. Величина вклада за t лет при nt начислениях составит Величина вклада растет не беспредельно. Следует перейти к пределу. Поскольку x=∞ то в силу 1-ого замечательного предела имеем . Это показательный(экспотенциальный) закон роста вклада при непрерывном начислении процентов.

13)Непрерывность функции в точке. Приращение функции. Непрерывность элементарных функций. Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки x0. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если существует предел функции при xx0 и он равен значению функции в этой точке:=f(x)=f() Следовательно, для непрерывной функции знак ф-ции и знак предела можно менять местами. Эквивалентное определение непрерывности в точке. Пусть (x= и назовем приращением аргумента. Ему соответствует приращение функции: ==f(+)-f( показывает изменение ф-ции при изменении аргумента. Непрерывность ф-ции в точке эквивалентна условию 0 при x0: приращение функции стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Ф-ция непрерывна в точке если f(-0), f(+0) и f(+0)=f(-0)=f(). Ф-ция называется непрерывной слева в точке если f(-0) и f(-0)=f(). Ф-ция называется непрерывной справа в точке если f(+0) и f(+0)=f()

14)Сумма, произведение и частное непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Теорема: пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке . Тогда функции f(x)g(x) f(x)*g(x), непрерывны в точке . В последнем случае предполагается, что g()≠0. Итак, сумма, разность, произведение и частное (знаменатель не 0) непрерывных ф-ций есть непрерывная ф-ция. Теорема (о непрерывности сложной ф-ции). Пусть y=f(x) непрерывна в точке , а z=g(y). Пусть y0=f(). Тогда сложная ф-ция z=g(f(x)) непрерывна в точке . Любая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке своей области определения(если эта точка является концом отрезка, то имеется в виду непрерывность слева или справа).

15)Разрыв 1-ого рода(устранимый и нет). Разрыв 2-ого рода. Примеры. Пусть f(x) определена в окрестности точки за исключением быть может самой . Разрыв в точке означает, что одно из условий f(-0) f(+0) и f(+0)=f(-0)=f() в точке нарушено или вообще ф-ция в не определена. В точке имеется разрыв 1-ого рода, если существуют конечные пределы f(-0) и f(+0) но нарушено одно из равенств f(+0)=f(-0)=f(). Разрыв устранимый, если левый и правый предел в точке совпадают f(+0)=f(-0) Устранить такой разрыв можно переопределив или доопределив f в точке , чтобы выполнялось f(+0)=f(-0)=f(). Разрыв неустранимый если f(+0)≠f(-0) Точка называется точкой разрыва второго рода, если не существует конечного левого предела f(-0) или конечного правого предела f(+ 0) или обоих. Y= =1 устранимый разрыв 1 рода. Y=1/x при x=0 разрыв 2 рода.

16)Непрерывность функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Т. О промежуточном значении. Ф-ция y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b) если она непрерывна в каждой точке x этого интервала. Ф-ция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b] если она непрерывна на интервале (a;b), а также непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Т.Вейерштрасса. Ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений, т.е. [a;b] такая, что f(x)f() (минимум) [a;b] такая, что f(x)f() (максимум) минимальное и максимальное значение. Т.о промежуточном значении: непрерывная на [a;b] ф-ция принимает любое промежуточное значение между минимальным и максимальным, т.е. [] такое, что y=f(x)

17)Определение производной и дифференциала. Геометрич. Смысл производной и дифференциала. Связь между приращением функции и дифференциалом. Левая и правая производные. Пусть y=f(x) определена в окрестности (включая ). Говорят, что функция дифференцируема в точке , если существует предел отношения приращения ф-ции ∆f к приращению аргумента при условии, что ∆x0. =. Величина предела называется производной ф-ции в точке и обозначается f’(); f’()=; f’()+α(0; при x0(следоват.) - б.м.; ∆f=f’(+∆x. Величина f’( линейно зависит от приращения аргумента ∆x. Её называют дифференциалом ф-ции f в точке и обозначают df; df= f’( где dx=∆x. Геометрический смысл: f’()==tg(). Производная это тангенс угла наклона касательной к графику в точке (f()) Дифференциал df есть приращение ординаты касательной (геометрический смысл дифференциала). Левая производная y=f(x) в точке это предел ; правая производная

18)Производные суммы, произведения и частного. Пусть u=u(x) и v=v(x) дифференцируемые функции. 1)(u+v)’=u’+v’ 2)(cu)’=cu’ 3)(uv)’=u’v+v’u 4)(u/v)’=(u’v-v’u/v*v)(v≠0) 1)∆(u+v)=(u(x+∆x)+v(x+∆x))-(u(x)+v(x))=(u(x+∆x)-u(x))+(v(x+∆x)-v(x))= ∆u+∆v 2) ∆(cu)=c(∆u) 3) ∆(uv)=u(x+∆x)*v(x+∆x)-u(x)*v(x)=(u(x+∆x)-u(x))*v(x+∆x)+u(x)(v(x+∆x)-v(x))= ∆u*v(x+∆x)+u(x)* ∆v; далее перейти к пределу по ∆x0

19)Таблица производных. Вывод формул для синуса и квадратичной ф-ции. Для синуса y=sin(x) ∆y=sin(x+∆x)-sin(x)=2sin()*cos(x+(разность синусов) y’= = cos(x+; =(1 замечательный предел) В силу непрерывности функции y=cos(x) имеем =cos(x); y’(x)=cos(x); (sin(x))’=cos(x). Для квадратичной ф-ции. y=x*x; ∆y=(x+∆x)^2-x*x=∆x(2x+∆x) (разность квадратов) y’= =; (x*x)’=2x Таблица производных. С’=0; x’=1; ()=; ()’=- ()’=a; ; ()’=; ()’=; =; (sin(x))’=cos(x); (cos(x))’=-sin(x); tg(x)’=; ctg(x)=-; (arcsin(x))’=; (arccos(x))’=-; (arctg(x))’=; (arcctg(x))’=-