MATAN

21)Производная сложной и обратной функции. Теорема: пусть y=f(x) дифференцируема в точке а z=g(y) дифференцируема в точке y0 тогда сложная ф-ция z=F(x)=g(f(x)) дифференцируема в точке и при этом F’(g’(y0)*f’(); (g(f(x)))’=g’(f(x))*f’(x) или (z(y(x)))’=z’(y(x))*y’(x). Производная обратной ф-ции: Теорема:пусть y=f(x) строго монотонна в окрестности точки и существует f’()≠0. Тогда в окрестности y0=f() определена обратная ф-ция x=g(y) причем ее производная в точке y0 существует и связана с производной f’() равенством g’(y0)=1/f’(). Например,обратной к ф-ции y= является ф-ция x=; (lny)’==

23)Неявная функция и ее дифференцирование. Пусть дана ф-ция 2-х переменных z=F(x,y); F(x,y)=0; Пусть даны 2 интервала U=(a;b) и V=(c;d) такие что единственный y∈V такой что пара (x,y) удовлетворяет F(x,y)=0. При каждом x∈U значение y(x)∈V ищется как решение уравнения F(x;y)=0. В этом случае говорят, что ф-ция y=y(x) задана неявным образом с помощью уравнения F(x;y)=0. Подставляя y=y(x) в F(x;y)=0 получаем тождество по x: F(x;y(x))=0 ∀x∈U. Производную ф-ции y(x) обычно удается найти, дифференцируя тождество т.е. из уравнения d/dx*F(x;y(x))=0

24)Параметрически заданные функции и их производные. Кривая м.б. задана с помощью пары функций x=f(t) y=g(t); t∈(a;b) Кривая называется гладкой если f(t) и g(t) непрерывно дифференцируемы,т.е. производные f’(t) и g’(t) существуют и представляют собой непрерывные функции на (a;b). Пусть f’(t)≠0 ∀t(a;b) и след. f’(t) сохраняет знак на (a;b). В этом случае x=f(t) является монотонной ф-цией и тогда ∃ обратная функция t=. Подставляя ее в y=g(t) вместо t получаем y=g(=F(x). Говорят, что ф-ция y=F(x) задана параметрическим образом. Ее графиком является кривая x=f(t) y=g(t); В каждой точке x=f(t), t∈(a;b) ф-ция y=F(x) имеет производную, которая может быть вычислена по формуле F’(x)=;

25)Теорема Лагранжа (ф-ла конечных приращений) и геометрический смысл. Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b)(т.е в каждой точке(a;b) имеет производную) тогда существует точка c∈(a;b) такая что f(b)-f(a)-f’(c)(b-a); Перепишем равенство в виде f’(c)= из ABC получаем что правая часть это tgα-угол наклона секущей в точке (c;f(c)) т.е. на интервале (a;b) существует такая точка c, что касательная к графику ф-ции в этой точке параллельна секущей.

26)Условие возрастания и убывания ф-ции на интервале. Ф-ция называется монотонно возрастающей на интервале (a;b)(в строгом смысле или строго возрастающей если x1,x2∈(a;b) x1<x2 (следоват.)f(x1)<f(x2)(возрастающая ф-ция) Если в этом определении последнее строгое неравенство заменить на нестрогое, то получим определение неубывающей ф-ции. Аналогично для убывания. Теорема: пусть y=f(x) дифференцируема на (a;b) и пусть f’(x)>0 ∀x∈(a;b) (следоват.) f является строго возрастающей на (a;b) Док-во: следует из ф-лы конечных приращений. Пусть x1,x2∈(a;b) x1<x2 По т.Лагранжа найдется точка x3∈(x1;x2) что (f(x2)-f(x1)=f’(x3)(x2-x1) по условию f’(x3)>0; x2-x1>0 (следоват.) f(x2)-f(x1)>0. Можно показать, что неравенство f’(x)≥0 на (a;b) достаточно для нестрогого возрастания f на (a;b). Верно и обратное:если ф-ция возрастает на (a;b) то f’(x)≥0 на (a;b)

27)Производные и дифференциалы высших порядков. 2-ая производная определяется как производная от 1-ой производной. f”(x)=(f(x))’; f”’(x)=(f”(x))’; Производная n порядка есть производная от производной порядка (n-1) )’; …=; df= f’((первый дифференциал) dx=∆x Второй дифференциал определяется как дифференциал от первого =d(df)=d(f’()=(f’(x)dx)’dx=dx(f’(x))’dx=f”(x)d(второй дифференциал) f”(x)=; =; =

28)Экстремумы. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. M∈-множество, f:M-функция. Определение: точка ∈M называется точкой минимума ф-ции f на множестве M, если f(x)≥f() ∀x∈M. Точка ∈M называется точкой строгого минимума ф-ции f на M, если f(x)>f() ∀x∈M,x≠ Определение. Точка называется точкой локального минимума ф-ции f если существует δ>0 такое что f(x)≥f() для всех x таких, что |x-|<δ. Локальный минимум f в точке это минимум в окрестности этой точки. -точка строгого локального минимума f если существует δ>0 такое что f(x)>f() для всех x таких, что 0<|x-|<δ. Если вместо f рассмотреть функцию (-f) то всякая точка максимума перейдет в точка минимума. Чтобы отличить минимум от локального минимума, первый называют еще глобальным или абсолютным(о минимуме на множестве). Это понятие относится и к максимуму. Точки локального минимума и локального максимума называют точками экстремума. Во всякой точке экстремума выполнено условие f’(x)=0. Оно является необходимым условием экстремума. Пусть f∈(a;b) т.е. f дважды непрерывно дифференцируема на (a;b) Пусть ∈(a;b) Теорема1: (необходимое условие 2 порядка) Если точка локального минимума то a) f’()=0 b) f”()≥0 Теорема2: (достаточное условие 2 порядка) Если a)f’()=0 и b)f”()>0 то точка строгого локального минимума.

29)Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке. Наибольшим значением ф-ции y=f(x) на промежутке X называется значение y=f() что для любого x∈X,x≠ f(x)≤f(). Наименьшим значением ф-ции y=f(x) на промежутке X называется такое значение y=f(), что для любого x∈X,x≠справедливо неравенство f(x)≥f() Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная равна нулю.

30)Выпуклость вверх и вниз ф-ции. Точки перегиба. Пусть f(x) определена на множестве. Ф-ция f называется выпуклой на (a;b) если f(αx1+βx2)≤αf(x1)+βf(x2) для любых x1,x2∈(a;b) и для любых α и β таких, что α≥0,β≥0, α+β=1. Таким образом геометрически выпуклость означает, что хорда, соединяющая 2 точки графика, лежит не ниже графика. Если f дифференцируема на (a;b) то выпуклость f на (a;b) означает, что касательная к графику в каждой точке (,f()), x∈(a,b) лежит не выше графика(под графиком). Используя уравнение касательной f()+f’()(x-)≤f(x) для любых , x∈(a;b). В случае, когда f∈C’(a;b) условие f()+f’()(x-)≤f(x) эквивалентно выпуклости. f’()=0: условие стационарности есть достаточное условие для минимума (глобального!) выпуклой ф-ции на (a;b),Стационарность есть необходимое условие и достаточное условие минимума выпуклой ф-ции. Всякая точка локального минимума выпуклой ф-ции на (a;b) есть точка абсолютного минимума этой ф-ции на (a;b). Пусть f∈(a;b) т.е. дважды непрерывно дифф. на (a;b). В этом случае условие выпуклости дается следующей теоремой. Теорема: f выпукла на (a;b) тогда и только тогда, когда f”()≥0 ∀x∈(a;b). Сумма 2-x выпуклых ф-ций есть выпуклая ф-ция; произведение выпуклой ф-ции на положит. Число есть выпуклая ф-ция. Определение: ф-ция f(x) называется выпуклой на (a;b) если (-f(x)) выпукла на (a;b). Пусть f∈C’(a;b) т.е. f непрерывно дифф. на (a;b). Определение. (a;b) называется точкой перегиба, если существует δ>0 такое что в левой полуокрестности (-δ,) – вогнута, или наоборот. В точке перегиба ф-ция меняет направление выпуклости. (следоват.) в левой и правой полуокрестностях точки график ф-ции y=f(x) лежит по разные стороны от касательной к графику в точке (,f()). Теорема: если -точка перегиба, то f”()=0, f∈(a;b). Теорема: Пусть f”()=0, f”’()≠0 Точка -точка перегиба. Здесь уже предполагается, что f∈(a;b) т.е. трижды непрерывно дифференцируема на (a;b).

31) Вертикальные и наклонные асимптоты. Определение: прямая x=a(на плоскости) называется вертикальной асимптотой графика ф-ции y=f(x) если =∞ или =∞. Пример: ф-ция y=1/x имеет вертикальную асимптоту x=0. Определение: прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика ф-ции y=f(x) если f(x)=kx+b+α(x) где α(x)0 при x∞. Аналогично определяется наклонная асимптота при x+∞ и при x-∞ b= Теорема: y=kx+b наклонная асимптота тогда и только тогда, когда выполнены b=; при k=0 асимптоты называется горизонтальной, в этом случае стоит лишь проверить наличие предела b= тогда y=b-горизонтальная асимптота.

32)Полное исследование ф-ции. Примеры. Общая схема исследования ф-ции: 1)Область определения. 2)Найти, если возможно, точки пересечения с осями координат 3)Установить четность или нечетность или отсутствие той и другой. Для четной или нечетной ф-ции достаточно провести исследование при x≥0 4)Установить периодичность, если таковая имеется. 5)Определить точки разрыва ф-ции и поведение вблизи этих точек, найти вертикальные асимптоты(если есть) 6)Определить поведение ф-ции на ∞, найти (если имеются) наклонные или горизонтальные асимптоты. 7)Найти интервалы монотонности и экстремумы(по знаку 1-ой производной) 8)Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба(по знаку 1-ой производной) 9)Построение графика ф-ции.

33)Теорема Коши. Пусть на отрезке [a;b] заданы 2 ф-ции f(x) и g(x), и пусть g’(x)≠0 на (a;b). По т.Лагранжа найдутся 2 точки C1 и C2 на (a;b) такие, что f(b)-f(a)=f’(c1)(b-a) и g(b)-g(a)=g’(c2)(b-a) тогда В т.Коши утверждается, что в этом выражении можно взять равными c1=c2. Т.Коши: Пусть f и g непрерывны на [a;b] и дифференцуруемы на (a;b) и пусть g’(x)≠0 (a;b) тогда существует точка ε∈(a;b), что

34)Правило Лопиталя. Пусть f(x) и g(x)-б.м. при xa т.е. f(x)0 и g(x)0 при xa, то при раскрытии этой неопределенности под знаком предела можно заменить отношение ф-ций на отношение их производных. Пусть f и g определены и дифф. в окрестности точки a, кроме м.б. самой точки a. Пусть и причем g(x)≠0 в окрестности точки a при x≠a. Пусть существует предел отношения производных тогда и существует предел отношения ф-ций : = Док-во: полагаем f(a)=g(a)=0 и пусть x>a,xa на отрезке [a,x] применяем ф-лу Коши тогда ,где ε∈(a;x).Перейти к пределу по xa, при этом εa тоже. 1) Если не существует, а предел сущ-вует. Не противоречит формулировке теоремы. Существование предела отношений производных - важное условие справедливости теоремы. 2) Если отношение производных при xa снова есть неопределенность типа 0/0, то пр.Лопиталя применяют снова, чтобы существовал предел отношения 2 производных. Аналогично правило действует и для производных высших порядков. 3) Формулировка теоремы сохраняется, когда x∞ или/и возникает неопределенность типа

35)Ф-ла Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа. Пусть y=f(x) определена в окрестности точки x0 и n+1 раз непрерывно дифф. в этой окрестности. Тогда в этой окрестности имеет место формула Тейлора: f(x)=f(x0)+f’(x0)/1!(x-x0)+f”(x0)/2!(x-x0)^2+…+f^(n)(x0)/n!+f^(n+1)(с)/(n+1)!(x-x0)^(n+1); где с- некоторая промежуточная точка между x0 и x. Последнее слагаемое носит название «остаточный член формулы Тейлора» и обозначается . Это член более высокого порядка малости, чем разность (x-x0)^n; ; Многочлен f(x0)+f’(x0)/1!(x-x0)+f”(x0)/2!(x-x0)^2+…+f^(n)(x0)/n!+f^(n+1)(с)/(n+1)!(x-x0)^(n+1)=; Если известны f(x0),f’(x0),f”(x0),…,f^n(x0) то с точностью до малых более высокого порядка малости, чем (x-x0)^n мы можем представить ф-циюf(x) в окрестности точки x0 при помощи многочлена порядка n от x. Это позволяет делать заключения о поведении ф-ции в окрестности точки x0, используя информацию о первыхnпроизводных в этой точке. Для n=1 ф-ла Тейлора имеет вид f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+о(x-x0) или f(x)-f(x0)=f’(x0)(x-x0)+о(x-x0); x-x0=dx,f(x)-f(x0)=df; получаем df=f’(x0)dx+о(dx). Используя понятия 1-ого,2-ого,…n-ого,ф-лу Тейлора можно представить в виде: df=df+d^2*f/2!+d^3*f/3!+…+d^n*f/n!+о(∆x^n)

36)Разложение по формуле маклорена ф-ции sin(x) ln(1+x) cos(x) 1)= 2) sin(x)=x-…+ где =о() 3) cos(x)= 1-…+, где =о(); 4)+ где =0 при (-1<x≤1) 5), где =0 при (-1<x<1) Ф-ла Маклорена. Это ф-ла Тейлора при x0=0; f(x)=+, где =, 0<θ<1

37)Первообразная и неопределенный интеграл. Св-ва неопределенного интеграла. Определение: F(x) называется первообразной для f(x) на (a; b) если F’(x) =f(x) для каждого из (a;b) Теорема1: Если F(x) первообразная для f(x) на (a;b) но и F(x)+Cтакже первообразная. Док-во: (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Теорема2: Если F1(x) и F2(x) первообразные для f(x) на (a;b) то F1(x)-F2(x)=constна (a;b). Если F(x) первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообразная имеет вид Ф(x)=F(x)+C, где C-константа, т.е.эта формула описывает все семейство первообразных. Определение: Произвольная первообразная для f(x) на (a;b) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается ∫f(x)dx. Операция нахождения самого интеграла называется интегрированием. Св-ва интегралов: 1) d(∫f(x)dx)=f(x)dx; (∫f(x)dx)’=f(x) 2)∫dF(x)=F(x)+C; 3)∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 4)∫Af(x)dx=A∫f(x)dx

38)Таблица основных интегралов(вывод всех формул).∫0dx=C; ∫=1dx=x+C; ∫x^adx=x^(a+1)/a+1+C; ∫e^xdx=e^x+C; ∫dx/x=ln|x|+C; ∫sinxdx=-cosx+C; ∫cosxdx=sinx+C; ∫dx/cos^2(x)=tgx+C; ∫dx/sin^2(x)=-ctgx+C; ∫dx/sqrt(1-x^2)=arcsinx+C;|x|<1; ∫dx/sqrt(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C,|x|<a,a>0; ∫dx/(1+x^2)=arctgx+C; ∫dx/(a^2+x^2)=(1/a)arctg(x/a)+C. Все формулы проверяются дифференцированием правых частей.

39)Замена переменной в неопределенном интеграле. Теорема:Пусть z=f(y)непрерывная ф-ция∫f(y)dy=F(y)+C ее определенный интеграл. Пусть y=g(x) непрерывно дифф. Ф-ция. Тогда ∫f(g(x))g’(x)dx=(g’(x)dx)=F(g(x))+C. Док-во: согласно правилу дифференцирования сложной ф-ции имеем [F(g(x))]’=F’(g(x))g’(x)=f(g(x))g’(x); Пример: ∫dx/(1-2x)=[1-2x=y;dy=d(1-2x)=-2dx; dx=-dy/2]= ∫1/y(-dy/2)=-1/2∫dy/y=-1/2ln|y|+C=-1/2ln|1-2x|+C

40)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.Пусть u=u(x);v=v(x) непрерывно дифференцируемые функции. Теорема: имеет место формула: ∫u(x)v’(x)dx=[v’(x)dx=dv(x)]=u(x)v(x)- ∫v(x)u’(x)dx=[u’(x)dx=d(u(x))]. ∫udv=uv-∫vdu. Док-во: (uv)’=u’v+uv’; uv’=(uv)’-vu’; ∫uv’dx=uv-∫vu’dx

43) Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x,y) рациональная ф-ция. Интеграл типа I=∫R(cosx;sinx)dx. Подстановка t=tg(x/2) сводит дело к интегрированию от t: sinx=2tg(x/2)/1+tg^2(x/2)=2t/1+t^2; cosx=1-tg^2(x/2)/1+tg^2(x/2)=1-t^2/1+t^2; x/2=arctgtтогда x=2arctgtтогда dx=(2/1+t^t)dt, но есть и случаи, когда вместо универсальной подстановки t=tg(x/2) оказывается проще сделать замену t=sinx;t=cosx;t=tgx; ∫dx/sinx=[t=tg(x/2);sinx=2t/1+t^2; dx=2dt/1+t^2]= ∫1+t^2/2t=2/1+t^2dt=∫dt/t=ln|t|+C=Ln|tg(x/2)|+C

41)Интегрирование простейших дробей. a)A/(x-a) b)A/(x-a)^k (k≥2) c)Ax+b/(x^2+px+q) d)Ax+B/((x^2+px+q)^k (k≥2), где квадратный трехчлен x^2+px+q имеет отрицательный дискриминант D=p2-4q<0 нет корней.a) ∫A/(x-a)dx=A∫d(x-a)/x-a=A*ln|x-a|+Cb) ∫A/(x-a)^k=A∫d(x-a)/(x-a)^k=A∫(x-a)^(-k)d(x-a)=(x-a)^(1-k)/(1-k)+C=-1/(x-a)^(k-1)*(k-1)+C, (k≠1) c) , где a=1/2* Модуль под знаком логарифма не ставим, поскольку >0 ∀x

42)Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. R(x)=, где a0≠0, b≠0, n>m. Теорема о представлении правильной дроби: Пусть знаменатель дроби разложен на множители: =*…**…*; где i=1,…,s; μ+…+2v…2v_s=n. Тогда R(x,y) можно представить(единст. образом) в виде. R(x)=

R(x)===A+B+… C=D=1; B=2; A=1

44) Интегрирование дробно линейных рациональностей. R(x,y)-рациональная ф-ция от x и y; y=-дробно линейна ф-ция. ∆AD-BC≠0(иначе и дробь сократима) R(x,y)-рац.ф-ция вида f(x,y)=R(x,) называется дробно рациональной иррациональностью. I=; ; выразить x из дроби; x=; dx=()’dt=…==dt; I=(dt