книги из ГПНТБ / Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие

Элементарное количество теплоты, которое передастся за счет теплопроводности пограничного слоя, может быть выражено на основании уравнения Фурье

С другой стороны, это же количество тепловой энергии отдается турбулентному «ядру» потока и в соответствии с уравнением Нью­ тона равно

Приравнивая правые части выражении (12.30) и (12.31), по­ лучим

Выражение (12.32) представляет собой дифференциальное урав­ нение теплоотдачи на границе между жидким или газообразным теплоносителем и стенкой.

Многочисленность и сложная взаимосвязь факторов, обусловли­ вающих величину коэффициента теплоотдачи, не позволяют опре­ делить а аналитическими методами. Поэтому основным способом расчета коэффициента теплоотдачи является использование экспе­ риментальных данных, обработанных с помощью теории подобия.

Понятие о теории подобия

Как было показано выше, основным средством определения ко­ эффициента теплоотдачи является экспериментальное исследова­ ние. Однако, если при его проведении пытаться учесть все факторы, обусловливающие а, то требуемое число измерении чрезвычайно возрастает. Так, например, для определения зависимости а только от указанных выше основных параметров потребовалось бы не ме­ нее 80 000 измерений. К тому же полученные в этих опытах зависи­ мости были бы справедливы только для данных условий и не всег­ да могли быть использованы при решении задач, имеющих иные исходные данные.

Попытки систематизации различных частных эмпирических за­ висимостей привели к созданию стройной научной теории, получив­ шей название теории подобия.

Эта теория, изучающая условия и свойства подобия различных явлений, устанавливает закономерности проведения эксперимен­ тов и обработки их результатов, на основании которых можно рас­ пространить выводы, полученные при исследовании данного част­ ного случая, на более широкие группы или даже классы явлений.

Знание таких закономерностей позволяет перейти от испытаний дорогих натурных объектов к опытам на простых моделях. Поэто-

320

му теория подобия в сущности устанавливает условия моделирова­ ния изучаемого явления и является научной основой эксперимен­ тальных исследований.

Понятие подобия впервые было использовано в геометрии. Как известно, основным свойством подобных геометрических фигур яв­ ляется пропорциональность всех их одноименных или сходственных линейных размеров. Иначе говоря, любой отрезок Г произвольной геометрической фигуры должен отличаться от одноименного отрез­ ка Г на постоянный множитель пропорциональности (масштаб)

Указанное свойство дает возможность определить величину лю­ бого элемента одной из подобных фигур, не прибегая к его непо­ средственному измерению.

В дальнейшем понятие подобия было распространено на раз­ личные физические явления. Можно рассматривать системы, по­ добные в кинематическом, динамическом пли тепловом отношении.

При этом так же, как в геометрических фигурах, у подобных физических процессов во всех сходственных пространственно-вре­ менных точках сохраняется пропорциональность одноименных па­ раметров. Так, если стационарный процесс А характеризуется в произвольной точке пространства рядом параметров, а', Ь', ... п! и если параметры о", Ь", ... п” в сходственной точке пространства, где протекает процесс В, находятся с первыми в соотношении

то ь случае подобия процессов А и В множители пропорциональ­ ности са, сь, . . . сп, аналогичные по смыслу геометрическому мас­ штабу, остаются постоянными во всех сходственных точках обеих систем. Поэтому эти множители получили название констант подобия.

Следует отметить, что сходственными считаются точки, имею­ щие одни и те же относительные (безразмерные) координаты. Произвольная точка в системе, где протекает процесс В, имеющая координаты х", у", будет сходственной точке системы А с коорди­ натами х', у', если

где с, —константа геометрического подоопи систем.

В случае нестационарных физических процессов их параметры необходимо сопоставлять в сходственные моменты времени.

Таким образом, понятие подобия физических явлений сводится к тому, что у них подобно пространственное распределение пара­ метров, характеризующих эти явления.

В математике такое распределение, определяемое совокупно­ стью мгновенных значений любых параметров, принято называть полем. Поэтому главным свойством подобия физических процессов является геометрическое подобие полей величин„определяющпх -тп процессы.

Так как сложные физические явления обычно обусловлены не­ сколькими параметрами, то при рассмотрении их подобия прихо­ дится анализировать соответствующее число полей. При этом кон­ станты подобия каждого из параметров (полей) могут быть, вооб­ ще гозоря, различными. Однако, поскольку подобные явления имеют одну н ту же физическую природу, то и все определяющие их параметры должны находиться в одинаковой количественной связи друг с другом, т. е. могут быть выражены одним и гем же уравнением, списывающим данный процесс. Так, например, если для процесса А справедлива функциональная зависимость

то и параметры подобного процесса В связаны такой же зависи­ мостью

са = сьи . . • СUnv

или

Таким образом, константы подобия разноименных величин, хо­ тя и могут отличаться друг от друга, но находятся между собой в определенной зависимости, обусловленной закономерностями данного физического явления.

Учитывая эту непроизвольную взаимосвязь, можно объединить параметры процесса в группы и тем самым значительно сократить число величин, исследуемых при установлении подобия явлений.

Так, если в приведенном примере

322

Отсюда во всех подобных явлениях должно соблюдаться усло­ вие

(12.40)

где idem — символ, обозначающий одинаковость величин.

Из приведенных рассуждений следует важный вывод: сущест­ вуют безразмерные комплексы, полученные на основе уравнения, описывающего данное явление, которые для подобных явлений одинаковы. Такие комплексы называются критериями или инвари­ антами подобия.

Использование критериев подобия освобождает от необходи­ мости ставить опыты, моделирующие исследуемое явление, соблю­ дая идентичность абсолютно всех параметров, обусловливающих процесс. Необходимо только, чтобы их сочетания, определяемые выражением данного критерия подобия, были бы одинаковы. Это значительно расширяет возможности распространения результатов моделирующего опыта, на целый класс явлений, имеющих тот же критерий подобия.

Критерии подобия обычно называют именами ученых, работав­ ших в области исследуемых процессов, и обозначают двумя первы­ ми буквами их фамилий. Например, критерий динамического по­ добия именуется Ныотон Ne, подобие режимов течения жидкости оценивается числом Рейнольдса Re и т. п.

Сложное физическое явление, обусловленное рядом различных по своей природе и механизму действия процессов, может иметь несколько критериев подобия, которые включают в себя как неза­ висимые, так и зависимые параметры. Очевидно, должно существо­ вать минимальное количество критериев, составленных только из независимых переменных (аргументов). Такие критерии называ­ ются определяющими.

Независимые параметры сложного физического явления одно­ значно определяют его протекание и поэтому из них составляются так называемые условия однозначности процессов.

Таким образом, физические явления могут считаться подобны­ ми только в том случае, когда они имеют одинаковые условия одно­ значности и равные между собой определяющие критерии, состав­ ленные из величин, входящих в условие однозначности.

Исследование подобия явлений на основе использования кри­ териев показало, что зависимости между физическими параметра­ ми, характеризующими данное явление, могут быть представлены

Это обстоятельство позволяет исследовать процессы, не прибе­ гая к составлению и интегрированию сложных дифференциальных уравнений, состоящих из большого числа параметров. Можно, ис­ пользуя только качественные связи и опытные данные, составить критериальные уравнения, справедливые, для всех подобных про­ цессов. п применить их для количественного решения задач. Обыч­ но такие уравнения составляются всего из двух пли трех крите­ риев. что значительно упрощает исследование и сокращает трудо­ емкость расчетов.

Процессы теплоотдачи относятся к сложным физическим явле­ ниям и обусловливаются большим числом различных факторов. Поэтому подобие таких процессов определяется несколькими усло­ виями.

Прежде всего следует выделить условия однозначности явле­ ний теплообмена, к числу которых относятся:

—геометрическое подобие, определяемое формой и размерами стенок, участвующих в теплообмене, и каналов, по которым дви­ жется теплоноситель;

—одинаковость физических характеристик тел, образующих

систему;

— одинаковость граничных условий на входе п выходе рассмат­ риваемой системы.

Кроме того, явления теплообмена могут считаться подобными, если соблюдаются:

— гидромеханическое подобие, определяемое одинаковостью распределения (поля) скоростей и режимов движения жидкости и характеризующее интенсивность массообмена:

— тепловое подобие, определяемое температурным полем и теп­ ловыми потоками и характеризующее перенос тепловой энергии.

Вопросы, связанные с гидромеханическим подобием рассматри­ вались в главе 7, где были установлены соответствующие критерии. При анализе явлений теплообмена наибольшее значение имеют числа Рейнольдса Re и Грасгофа Gr.

Р— коэффициент объемного расширения теплоносителя;

М— изменение температуры.

Число Рейнольдса характеризует гидродинамический режим потока и является мерой отношения сил инерции и молекулярного

324

трения, которые обусловливают появление турбулентных пуль­ саций.

Вследствие указанных свойств Re является критерием, опреде­ ляющим интенсивность массообмена при вынужденном движении жидкости.

Критерий Грасгофа определяет массообмен при свободном дви­ жении жидкости. Он является мерой взаимодействия архимедовой подъемной силы, обусловливающей возникновение свободной кон­ векции, сил тяжести и молекулярного трения.

Критерии теплового подобия могут быть получены из диффе­ ренциальных уравнении конвективного теплообмена. В качестве примера ниже приводится вывод формулы одного из критериев теплового подобия.

Напишем дифференциальные уравнения теплоотдачи для двух

Соотношение одноименных параметров этих уравнений опре­ деляется константами подобия:

Г_

Выразим параметры уравнения (12.45) через параметры урав­

Очевидно, что обе части уравнения (12.47) будут тождественны только в том случае, если константы подобия отвечают равенству

Са — C l

325

ИЛИ

ol

-у—= idem .

Таким образом, полученный безразмерный комплекс — ■, ко­

торый остается одинаковым для подобных явлений, представляет собой инвариант подобия. Этот комплекс назван критерием Нуссельта Nu и в сущности является безразмерным коэффициентом теплоотдачи, устанавливающим связь между интенсивностью теп­ лообмена и температурным полем в пограничном слое

коэффициент температуропроводности.

Критерий Пекле, являющийся мерой отношения молекулярного (кондуктивного) и конвективного переноса тепловой энергии в по­ токе, мсжно представить в виде

характеризует механизм и интенсивность переноса тепловой энер­ гии в жидкой среде, было названо критерием Прандтля

326

Использование критерия Pr очень удобно в практике, гак как он составлен только из физических констант теплоносителя. Для все?; одно-, двух- п трехатомных газов число Прандтля имеет близ­ кие значения и почти не зависит от температуры. Для воздуха, на­ пример, число Прандтля равно примерно 0,7.

Таким же образом на основании уравнении, описывающих раз­ личные явления, были выведены и другие критерии подобия. Их наименования и математические выражения приведены в табли­ це 12.2.

Как следует из основных положений теории подобия, использо­ вание описанных определяющих критериев для расчета искомого коэффициента теплоотдачи возможно путем составления критери­ альных уравнении.

Исходное выражение критериального уравнения может быть получено на основе дифференциальных уравнении процесса. Одна­ ко наиболее простым методом, который нашел применение в прак­ тике. является анализ размерностей.

Опуская подробности теоретического обоснования этого метода, покажем его возможности на примере вывода критериального урав­ нения теплообмена между стенкой и жидким теплоносителем.

Анализируя процесс теплообмена на основе выражений (12.30) и (12.31), а также учитывая уравнение отвода теплоты теплоноси­ телем

можно сделать вывод о том, что в конечном счете коэффициент теплоотдачи а зависит от следующих параметров

ля удобнее отнести к единице площади поперечного сечения кана­ ла. Тогда он будет определяться так называемой весовой скоростью

В теории метода размерностей доказывается, что полученную функцию можно представить в виде степенного многочлена

327

з^а

а = с№ \ к|Р (ш-()пстр.

Выразим этот многочлен с помощью размерностей

В однородном уравнении размерности правой и левой частей должны быть одинаковы. Это условие может соблюдаться только в том случае, если одноименные размерности величин правой п ле­

ОЛ

329-