отрезка последующей группы отличается от длины любого отрезка предыдущей группы не более, чем на 2. Так как первый отрезок первой группы (для любой из двух последовательностей групп, идущих вправо и влево от кратных точек) является по построению групп граничным с кратной точкой, то в соответствии со свойством 4 (или свойством 5) его длина равна 1.
Согласно только что отмеченной закономерности длина любого отрезка второй группы не может превышать 3, длина любого отрез ка третьей группы не может превышать 5 и т. д. Так как общее
число групп М ^ г , |
то максимальная длина отрезка в разбиении Т* |
не может быть больше (2г—1 ). |
Следовательно, |
сумма длин всех отрезков разбиения Т* не превы |
шает величины (2г — 1 ) [ 1^ 2 (<х— Р) 2 ”*^2 + l ] , что |
меньше величины |
V - f 1 = Р2"* + 1, так как п* > 2 log {(2г — 1) |
[ V 2 (а—Р)+1 ]/|3} . |
Таким образом, разбиение Т* не является разбиением типа Т, что |
противоречит предположению о минимальности Т*. |
Свойство 8. Существует по такое, что при любом я>яо, если
только одна из кратных точек любого разбиения Т* совпадает с од ним из концов отрезка (0, v + l], Т* содержит лишь одну кратную точку.
Доказательство свойства 8 проведем в предположении, что крат
ная точка |
совпадает |
с левым |
концом |
отрезка |
(0, v + l], |
так как |
в случае |
совпадения |
кратной |
точки с |
правым |
концом |
отрезка |
[О, v + 1] ход доказательства остается прежним.
Предположим противное. Пусть для любого я0 существуют я*> > я 0 и соответствующее этому п* минимальное разбиение такое, что
одна из кратных точек разбиения Т* совпадает с левым концом от
резка |
(0, |
v + l ] и разбиение Т* содержит две кратные точки. В |
ка |
честве |
«о |
возьмем число, использовавшееся при выводе свойства |
7, |
и рассмотрим соответствующее этому «о число л* и минимальное разбиение Т*, существующее по сделанному предположению. Так как по предположению Т* содержит две кратные точки, то гранич ный с кратными точками справа отрезок имеет единичную длину — это можно доказать так же, как при выводе свойства 4. Далее точно так же, как при выводе свойства 7, можно показать, что сумма длин всех отрезков разбиения Т* не может равняться требуемой величине v +1 и, следовательно, разбиение Т* не является разбиением типа Т, что противоречит предположению о минимальности разбиения Т*.
Свойство 9. Существует яо такое, что для любого я>Яо, если только некоторое разбиение Т* содержит одну кратную точку, эта точка не может совпадать с правым концом отрезка (0, v + l].
Предположим противное. Пусть для любого Яо найдутся я*>Яо и соответствующее этому я* разбиение Т*, такое что Т* содержит одну кратную точку и эта точка совпадает с правым концом отрезка [О, v+1]. Возьмем в качестве я0 число
По = 2 log {«/р [1 V 2 (а — Р)]>.
Тогда по сделанному предположению найдутся я* и соответствую щее ему Т* такие, что Т* содержит одну кратную точку и эта точка совпадает с правым концом отрезка [0, v + l]; рассмотрим это раз
биение Т*. Для него сумма длин отрезков, соответствующих одним только кратным точкам (их число, согласно свойству 2 , превышает
[1 |
— V2 (а — р)]2 п*/2 — 1 ) |
24* |
371 |
не меньше, чем
{ [1 - К2 (« — Р)] 2 ^ 2 - 1 } ( v + 1) =
= { [ 1 - |
V2 (ос - р )] 2п'12 - 1 } ($2п*+ 1), |
что при выбранном |
п0 превышает требуемое значение s— ( v +l ) = |
= (а—<$)2п*—1. Следовательно, Т* не является разбиением типа Т; это приводит к противоречию, что я доказывает свойство 9.
Из свойств 2—9 становится ясным вид минимального разбиения Т* при достаточно больших п: для любого п > п а (где «о выбирается наибольшим из всех значений, необходимых для доказательства свойств 2—9) (Ь—р—1) точек разбиения совпадают с левым концом отрезка (0, v+1]. Остальные р точек разбиения заполняют отрезок [О, v+1], причем среди этих р точек уже нет совпадающих. Соот ветственно сказанному / , = /г= ■• • = /ь - р - 1= 0 , остальные отрезки jb-p, j b - p+i, . . jb отличны от нуля.
Обозначим j b- p = A о, / ь_ р+1=|Дь ..., / ь = Д Р,
Ьр
тогда g (п) = |
min |
]\\ = |
min Д Д„! |
Здесь |
область 2 определяется |
|
р |
*=1 |
п |
*=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношениями |
Afc=v + |
1, |
(р + |
1) Д0 + |
/?Д, + |
... + Д Р = |
s. Вос- |
|
*=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
пользовавшись формулой Стирлинга |
m\ — V2р.т |
е ^ 12т , спра |
ведливой для любого целого т > |
0 , |
можем записать: |
|
8(п) = min 1 / |
(2«)к+*П ‘ |
|
|
|
|
|
|
й |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = 0 |
|
|
|
|
|
|
> е —(v + <) min Д |
= |
е -(»+ !) exp < min |
Дк 1пД„ |
( П ) |
|
|
k=o |
|
|
|
|
I й |
*=о |
|
|
В формуле (11) минимум определяется по множеству целых поло жительных чисел Ak, этот минимум может только уменьшиться, если его вычислить по множеству любых положительных чисел Ak, поэтому
g ( r t ) > e - ( v + , ) exp j m i n £ ' д к 1п д к| . |
(12) |
Здесь штрих у знака суммы означает, что минимум берется по лю бым положительным Ah
р
Найдем минимум Д^ In при условиях
k=0
р |
|
2 Ai = v + 1 , |
(13) |
i= 0 |
|
(P + О До + P&i + •••+ Лр = s. |
(14) |
Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и будем искать безусловный минимум функции
О (Д0, Ai, .... Др) = ^ j |
Aft In Ajt -f- p-j |
X Ah •—(v + 1) + |
ft=o |
, ft= 0 |
p |
|
|
+ 1^2 2 |
( P + 1— A) Afc |
s , |
ft=o |
|
|
где |xb p.2 —множители Лагранжа.
Условие экстремума состоит в равенстве нулю частных произ
водных |
dG |
|
|
|
|
|
|
1ч Ah + |
1-f- |
— Р-2^ = О, |
(15) |
|
dAh |
дЮ |
ft — 0 , 1 .......... р |
|
|
|
__ |
1 |
то имеет |
место экстремум-минимум. |
Поскольку ■^2— |
----- д— > 0 , |
Из системы равенств (15) получаем: |
|
|
|
|
|
Ah=Aoqht k = 0, |
1 , |
.. •. Р, |
(16) |
где приняты обозначения: |
|
|
|
|
|
|
Д„ = |
е -< 1+Ч |
|
|
(17) |
|
|
q = е^2. |
|
|
(18) |
Итак, минимум достигается в том случае, когда длины отрезков разбиения Ah распределены по геометрической прогрессии со знаме нателем q, который, как это следует из (18), может принимать толь ко положительные значения. Неизвестные параметры геометрической прогрессии Ао и q выбираются так, чтобы выполнялись условия (13), (14), что приводит к следующим уравнениям для Д0 и q:
До 2 Я* = v + 1 ■ Д0 2 ( Р + I — k) qh = s, ft= 0 ft= 0
или, если провести несложные преобразования и ввести обозначения
A= Ao/(v+l), / = s / ( v+l ) ,
р
А 2 Як = |
1. |
(19) |
ft= 0 |
|
|
р |
|
|
А 2 kq* = р + |
1 — I. |
(20) |
ft=o
Для значений я ф \ уравнения (19), (20) можно переписать в виде
А(‘7р +1— 1)1(Я— 1) = ,1. |
(21) |
Aq[pqv+i—(p+l)qv + l\l( q—1)2= р +1 —/. |
(22) |
Минимальное значение суммы, выраженное через A, q, определяется следующим образом:
|
Р ' |
|
|
min |
&hIn Aft = (v + 1) [(р + 1 — /) In <7+ |
In Д + In (v + |
1)]. |
9 |
k=0 |
|
(23) |
|
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
(0= ( v + l ) ( ( p + l —/)In <7+ In Л+l n |
(v+1)]. |
(24) |
Если бы число р отрезков в минимальном разбиении Т* было изве стно, то, вычислив q и А по приведенным ранее формулам и под
ставив |
полученные значения |
в (23), |
можно |
было |
бы найти |
min 5УЛ/с In Ал. Однако р |
нам неизвестно; |
в этих условиях для опре |
деления |
min 2 ' Д/, In Aft |
можно |
поступить |
таким |
образом: |
придавая |
q всевозможные положительные значения, вычисляя для каждого q по формулам (2 1 ), (2 2 ) А и р , рассчитывая затем со, следует найти
нижнюю грань inf со. Очевидно, что
<7 |
' |
р |
min |
As In A,t+: inf со, |
так как действительное число членов в минимальном разбиении р и соответствующие ему значения q и А попадают в область, по кото рой определяется нижняя грань.
Найдем inf со.
d(s> |
щ |
Г |
|
|
Р + 1— I |
Л |
= (V + |
|
|
-Щ- |
1) [ p ' i In q + |
|
|
------ + (In A)'g j - |
(25) |
Согласно (21) |
qp+J\nq |
|
, |
|
(p+UqP . |
1 |
(in A)'g = |
|
|
9p+i_ 1 P i — |
qp+i — ] T ? - | ’ |
с учетом (2 2 ) |
|
qp +1In q r |
/7 + 1 — l |
|
|
(InA)'g = |
(26) |
|
qp+l — |
1 |
p |
q |
|
|
|
|
Подставляя |
(26) в (25), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
dco’ |
(v + |
1)>'g In q. |
(27) |
|
|
dq |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Разделив (21) на (22) и проведя дополнительные преобразования, найдем неявное уравнение, задающее р как функцию q:
q l ( q - \ ) - i P + l ) l ( q r +l - \ ) = l . |
(28) |
Продифференцировав обе части равенства (28) по q и проведя груп пировку членов, получим
((7Р -и_1)2/((7_ 1)2+ (;э+|1 )2?р= ;[((7р+)_ 1) _ ,( р+1)(7Р+1 |
\nq]pq'. |
(29) |
Для любых значений q, кроме q= 1, знак производной |
p'q совпадает |
со знаком выражения |
|
|
5(<7p+1) ~ q t+ l —1—1{р+ l)c?p+1 In q—qP+l—\—qP+l In qp+t, |
(30) |
Для достаточно больших п справедливы следующие неравенства:
c a - |
(, + '')|v V |
- , ')rlli:L±1) < |
*2» ‘ = ^ f ' 2^ " |
' 2, |
V 2 k (v + |
1) = /2тс([<2и + 1) < V |
Щ 2 п = 2 К^р2"/2, |
|
|
ее/ 1 2 (v+i)< 2> о < 0 < 1 ,^(2 / — i )v+1 = |
|
|
— ( 2 |
1+ 2 - |
?2я+1 < 2 |
а |
\р2я+* |
|
|
( 2 |
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?ь,л |
; 4 |
|
-----1^ |
V ^ 2 nl \ w f nl2 2n2n,i ^2 - j ------\ J - n- |
(35) |
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
МЕТОД ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ПОКРЫТИЮ «БОЛЬШИХ» КВАДРАТОВ
Рассмотрим отдельно два варианта.
1. Число дополнительных входов в г'-й «большой» квадрат не
больше Si/r, где г — некоторое |
число, |
заключенное в |
пределах |
1< г< 0,5 -2'!/2. В этом варианте все |
преобразования сводятся к за |
мыканию дополнительных входов и выходов |
между собой. |
Произво- |
-дится это следующим образом. Будем передвигаться вдоль стороны большого квадрата против часовой стрелки, начиная с нижней левой вершины, пока в какой-то точке а не встретим первый дополнитель ный вход или выход. В общем случае в точке а может оказаться несколько дополнительных входов и выходов. Пусть их общее число равно (1 а.
Если ца — четное, то разобьем эти дополнительные входы и вы ходы на произвольные fia/2 пар и в каждой паре произведем соеди
нение одним из способов, показанных на рис. 7, в зависимости от того, совпадает ли точка а с вершиной квадрата или нет. Если ца — нечетное, то образуем произвольно (ц0—1 ) /2 пар и соединим их
так, как только что было рекомендовано; в точке а останется несоединенным один дополнительный вход или выход. Передвигаясь далее по сторонам большого квадрата, дойдем до точки б, где рас положено несколько дополнительных входов и выходов. Произволь-
- |
- |
- - |
„ |
- |
а |
|
$ |
6 |
|
|
Рис. |
7. |
|
иый из этих входов и выходов соединим с оставшимся несоедйнейным входом (или выходом) точки а. Остальные входы и выходы точки б разобьем на пары и соединим указанным ранее способом и т. д.
Пройдя таким образом вдоль всех четырех сторон рассматри ваемого большого квадрата, мы соединим между собой все дополни тельные входы и выходы, так как их число всегда четное. Останутся несоединенными лишь главный вход и главный выход (рис. 8). При
замыкании каждой пары совпадающих дополнительных входов и выходов' длина средней линии и число точек излома увеличиваются не более, чем на 6 (рис. 7).
Рис. 8.
Поскольку число таких пар не превышает величину ]5,М , то увеличение общей длины и числа точек излома средней линии из-за замыкания совпадающих дополнительных входов будет не больше, чем 6-]5г/г[. Число пар несовпадающих дополнительных входов и выходов также не больше ]5,/г[; при их замыкании общая длина средней линии увеличится не больше, чем на 4 • 2к/2, а число точек излома увеличится не более, чем на 2 ]Si/r[.
Рис. 9.
Увеличение общей длины и числа точек излома средней линии из-за замыкания всех дополнительных входов и выходов не превос ходит соответственно значений 6 • ]Sj/ri[+4 • 2ft/2 и 8]Sj/r[. В процессе
локального кодирования нам потребуется такая ситуация, чтобы
каждая граничная клетка, расположенная внутри рассматриваемого большого квадрата, была покрыта таким участком ломаной полосы, что средняя линия этого участка принадлежит данному большому квадрату. Однако граничные клетки, отстоящие от сторон «большого» квадрата менее, чем на ширину полосы р, могут относиться к р-окре- стности участка средней линии, не принадлежащего данному «боль шому» квадрату (рис. 9). Чтобы избежать такой ситуации, в этом случае в точке главного выхода добавляется кусок средней линии,
Рис. 10.
проходящей по всем боковым сторонам рассматриваемого большого
квадрата (рис. 10). |
Тогда |
все точки, отстоящие от |
сторон |
меньше, |
чем на р, попадут |
вр-окрестность этогоотрезка средней |
линии. |
Дополнительное увеличение |
длины средней линии |
составит |
4 • 2h/2, |
а число точек излома увеличится на 6 *>.
Обозначим через Si*, Vi* длину и число точек излома средней
линии нового покрытия, а через ASj, Avj обозначим |
|
A S;=S;*—S i , |
(36) |
Avi=Vi*—v,-. |
(37) |
Величины AS{ и Avj положительны, потому что при переходе к но
вому покрытию ни один отрезок и ни одна точка излома средней линии исходного покрытия не отсутствуют в новом покрытии. С уче том сказанного ранее
0s£ASisS6 • ]S,-/r[+9 • 2ft/2 < 6 (S i/r) + 9 • 2ft/2 + 6, |
(38) |
OsSAvi < 8 • ]Si//-[+6<8(Si/r) +14. |
(39) |
2. Число дополнительных входов в i'-й большой квадрат больше |
Si/r. |
|
*> На рис. 10 показан случай, когда главный выход расположен |
на стороне рассматриваемого большого квадрата. Если |
главный |
выход |
из рассматриваемого большого квадрата находится внутри |
этого большого квадрата, то сначала точка главного выхода соеди |
няется |
с какой-либо его стороной, а затем к средней линии добав |
ляется |
участок, проходящий по всем |
сторонам, |
как |
это |
показано |
на рис. |
10. Увеличение длины средней |
линии при |
этом |
не |
превосхо |
дит величины |
5 • 2h/2, а число точек излома средней линии возра |
стает не более, |
чем на 6. |
Рассмотрим последовательность вложенных убывающих квад
ратов Пь 0 2, - - Пг таких, что каждый последующий |
квадрат |
по |
лучается из предыдущего удалением клеток граничного |
кольца |
ши |
риной 1 (рис. 1 1 ). |
|
так как |
г<0,5 • 2к/2. |
Такая последовательность существует, |
В последовательности Dj, Пг , ..., |
всегда |
найдется квадрат с но |
мером оз^г, число входов в который меньше Si/r. Докажем это. Предположим противное: пусть число дополнительных входов для
любого квадрата □ * |
из последовательности |
□ [, П 2, ..., П г больше |
Si/r. Тогда согласно |
лемме 7.2 суммарная |
длина .всех отрезков |
средней |
линии, |
принадлежащих граничным кольцам квадратов Пц |
□ 2, ..., |
П г не |
меньше, чем (г—l)Si/r. Следовательно, суммарная |
длина отрезков |
средней линии в квадрате |
П г |
меньше |
величины |
S t— (г .—l)S i/r= S i/r . Отсюда |
вытекает, что |
общая |
длина |
отрезков |
средней |
линии |
в граничном |
кольце квадрата |
П г |
также |
меньше |
Si/r. |
|
|
|
|
Поэтому по свойству 7.2 число дополнительных входов в квад |
рат П г меньше S i/ r, |
что |
противоречит |
сделанному |
допущению. |
В последовательности |
CU, |
П 2, . . . , Dr возьмем первый квадрат □ |
число дополнительных |
входов в который |
меньше S i/r, |
и произведем |
замыкание его дополнительных входов и выходов, если они имеются, как это было сделано в варианте 1 .
Поскольку стороны квадрата |
меньше 2 ^ 2 , |
то |
увеличение |
длины и числа точек излома средней линии при этом |
не |
превосходит |
соответственно величин 6 {Sjr) + 9-2*^2 + 6 |
и 8 (Sf/r) -f- 14. Для |
множества |
клеток СД \ П т образуем |
новое покрытие. С этой целью |
множество |
□ ( \ П (0 разделим |
на кольца шириной |
2р, начиная от |
внешних сторон большого квадрата |
СД. Число таких колец равно |
](<в— 1 )/2д[, |
причем последнее |
кольцо |
может |
иметь |
ширину меньше |
2р (рис. 12, где р = 1, со=7).
Посредине этих колец проведем средние линии; общая длина
средних линий меньше] (<о— 1)/2р[ • 4 • 2к/2, а число изломов |
равно |
4 • ](ш— 1)/2р{. |
379 |
25* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти средние линии соединим между собой, а |
также |
с |
главными |
выходами из квадратов |
и □ , |
так, как показано на |
рис. |
1 2 , |
что |
приведет |
к увеличению |
длины |
средней |
линии |
не |
более, |
чем |
на |
-^-■2kl2 4 - 2-2k/2, |
а число точек излома возрастет |
не |
более, |
чем |
на |
2-](<°— 1 )/2 j0 [+ 4 , |
Далее |
главный вход |
в П ш соединим |
с главным |
входом в |
это увеличит общую длину средней линии не более, |
чем |
на - 2~ -2ft/2-l-2 -2 ^ 2 |
и число точек излома |
не более, чем |
на 4, |
|
|
Таким образом получается новое покрытие всех граничных клеток, принадлежащих большому квадрату, ломаной полосой, имею-
Рис. 12.
■щей одну среднюю линию, один (главный) вход и один (главный) выход. Длина и число точек излома средней линии в соответствии со сказанным выше увеличиваются не более, чем на
Д5 ,< 6 |
+ 9•2к!2 + 6 +] |
[ -4 -2^2 + 5 .2*'2 |
|
< 6 ^ + 2 |
Г р |
1 2k/2 + 18■2к!2 + 6, |
(40) |
|
St |
|
1 ш — 1 |
to — 1 |
+ 8 = |
A v t< 8 — + 1 4 + 4] - 2— [ + 2 ] - ^ |
|
|
St |
г — 1 |
|
|
(41) |
|
< 8 — + |
3 — — - + 28*). |
|
4> Мы рассматриваем |
вариант, когда главные входы |
и выходы |
из квадратов |
СД и |
находятся на |
сторонах |
этих |
квадратов. |
В иных вариантах расположения главных входов и выходов также возможно указанным способом произвести покрытие множества кле ток □( \ П Ш, причем увеличение длины и числа точек излома сред
ней линии будет иметь тот же порядок, что и в рассмотренном слу чае.
