книги из ГПНТБ / Бездудный, В. Г. Техника безопасности в шахтном строительстве

вне связи со всем числом. Поэтому результата предыдущих опера­ ций при сложении очередной пары двоичных знаков не учитывают, тог­ да как при арифметическом сложении двоичных чисел этот результат обязательно учитывают; например при сложении двух единиц записы­ вается 0, а 1 переносится в старший разряд. Так, для нашего примера

10111011 дэ 100010 . w 11011101

Умножение и деление двоичных чисел по модулю 2 сводится к сложению по модулю 2, но сдвиг чисел происходит как бы в противо­ положные стороны. При умножении по модулю 2 множимое сдвигают в сторону старшего разряда столько раз, сколько разрядов в множите­ ле. Множимое выписывают только в том случае, если в множителе есть 1. Если же в множителе 0, то очередной сдвиг происходит без выписы­ вания множимого:

Иногда удобно умножение начинать со старшего разряда, тогда стро­ ки множимого записывают друг под другом со сдвигом, соответствую­ щим наличию единиц в строке множителя, слева направо:

1011

1101

1011

© 1011 1011

1111111

При делении по модулю 2 делитель подписывают под делимым так, чтобы совпадали старшие разряды. Если число разрядов делимого больше или равно числу разрядов делителя, то в частное переносят единицу. Затем производят сложение по модулю 2. После чего к ос­ татку приписывают справа очередную цифру делимого. Если число разрядов остатка вместе с приписанной цифрой равно числу разрядов делителя, то в частное записывают еще одну единицу. В противном слу­ чае в частное записывают нули до тех пор, пока не уравняются разряды остатка и делителя. Затем снова производят сложение по модулю 2

50

и операцию повторяют до тех пор, пока все разряды делимого не пере­ носятся в остаток:

Представление кода в виде геометрической модели возможно бла­ годаря тому, что кодовые комбинации я-значного кода могут рассма-

,11

1

юX

0

Рис. 13. Геометрические модели кодов: а — двузначного; б — трех­ значного; в, г — четырехзначного.

триваться как определенные точки «-мерного пространства. Так, гео­ метрическая модель двузначного кода представляет собой квадрат — фигуру двумерного пространства (рис. 13, а), трехзначного — куб — фигуру трехмерного пространства (рис. 13, б). Геометрическая модель четырехзначного кода представляет собой фигуру четырехмерного про­ странства и может быть построена путем смещения трехмерного куба (рис. 13, в) либо каждой из его вершин (рис. 13, г) в новом направле­

нии. В общем случае л-мерный куб должен иметь 2п вершин, я • 2"-1 ребер, л (л — 1) . 2п~3 граней, а наиболее удаленная от данной вершины его точка должна находиться на расстоянии я ребер.

51

Представление кодов в виде гео­

строение вызывает большие труднос­ ти. Предельное значение п, при

менив для ее построения сегментные матрицы [43]. Сегментная матрица представляет собой расходящиеся цилиндрические сегмен­ ты, основаниями которых являются квадратные матрицы, а условные образующие дуги соединяют вершины матриц, являющихся кар­ касом цилиндрического сегмента. Количество ячеек в матрице опреде­ ляют по формуле суммы геометрической прогрессии. При этом для со­ хранения наглядности построения квадраты единичных матриц следует выносить на такое расстояние друг от друга, чтобы не нарушалась наглядность восприятия модели.

В качестве примера рассмотрим принцип выбора шестизначного числа из устройства памяти на 10е ячеек (рис. 14, 15). Набор цифрового кода может осуществляться при помощи телефонного диска.

Серия сформированных определенным образом импульсов, коли­ чество которых зависит от набираемой цифры, от телефонного диска по­ ступает на шину группы релаксаторов. Выходы релаксаторов соедине­ ны с регистрами единиц, десятков, сотен и т. д., и их подготовка про­ исходит от распределителя, собранного на логических элементах. В исходном состоянии первая ячейка И0 подготовлена сигналом с делителя напряжения. С ее выхода разрешающий потенциал поступает на релаксатор Р0. После набора первого десятичного знака кода на рас­ пределитель с формирователя сигналов конечного положения набор­ ного диска поступает импульс. Происходит совпадение в ячейке Их (сигнала с ячейки И0 и сигнала на общей шине), и она дает разрешаю­ щий потенциал на прохождение импульсов через релаксатор Pt . При повторном наборе цифры сработает И2 и даст разрешение на Р2. Таким образом, релаксаторы поочередно выдают соответствующие се­ рии импульсов в регистры единиц, десятков, сотен и т. д.

Выбор ячейки происходит следующим образом. Предположим, на­ бирается код 927 418. После первого поворота диска сигнал поступит на шину номеров с 90 по 99 (рис. 15), а после второго на шину номеров

52

02, 12, 22, 92. Совпадение происходит в ячейке 92. Элемент ячейки 92 готовит шину номеров с 920-й по 929-ю. После третьего поворота дис­ ка сигнал поступит на шину номеров 907, 917, 927, ..., 997. Совпадение произойдет в ячейке 927. Элемент 927 ячейки готовит Шину номеров с 9270-й по 9279-ю и т. д. Подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в работе [44].

Рис. 15. Схема матрицы выбора.

Как видим, построение геометрической модели 10-значного кода со­ хранило свою наглядность.

На рис. 16 представлена геометрическая модель единичной ветви сегментной матрицы 10-элементного кода. Такая матрица, которая может быть построена при помощи однотипных узлов, собранных на элементах, выполняющих логическую операцию И, дает возможность осуществлять кодирование и декодирование десятичных кодов, на­ бираемых при помощи телефонных дисков, а также строить устройства выбора на десятки тысяч объектов.

Равномерные n -значные коды могут быть представлены в виде матрицы, содержащей 2Л строк и п столбцов. Если матрицей требуется представить совокупность ненулевых комбинаций кода, то число

53

строк равно 2п~ 1. Особенностью такого рода матричной записи яв­ ляется то, что комбинация, полученная в результате сложения по мо­ дулю 2, произвольного количества строк данной матрицы должна быть одной из комбинаций данного кода, так как в матрице записаны все

2п~1 кодовые комбинации данного n -значного кода [35]. В такой мат­ рице, складывая между собой строки по модулю 2, можно в конце кон­ цов получить нулевую строку. Если затем отбросить нулевую строку,

то получится некоторая новая матрица уже с меньшим числом строк. Если во вновь образованной матрице производить аналогичные опе­ рации сложения по модулю 2, то можно вновь выделить нулевую стро­ ку. Эта операция повторяется до тех пор, пока не получается матрица, строки которой линейно независимы, т. е. сложение по модулю 2 уже не приводит к выделению нулевой строки.

’54

В качестве примера рассмотрим трехразрядный двоичный код

Если к третьей строке первой колонки прибавить сумму первой и второй строк, к пятой — первой и четвертой, к седьмой — первой и шестой, то третья, пятая и седьмая строки первой колонки станут ну­ левыми (см. вторую колонку). Отбросив нулевые строки/5 получим третью колонку. Если сумму второй и третьей строк третьей колонки сложить по модулю 2 с четвертой строкой, то последняя станет нулевой. Полученная в результате матрица содержит в каждой строке только одну единицу. Квадратная матрица, диагональ которой состоит изединиц, а остальные элементы — нули, называется единичной.

Умножение произвольной матрицы на единичную не меняет ее значения. Если строки единичной матрицы начать складывать по моду­ лю 2, то подбором соответствующего сочетания строк можно восстано­ вить все комбинации «-разрядного кода. Поэтому матрицы четвертой и пятой колонок называют определяющими.

Если в матрице направление главной диагонали идет справа на­ лево, то такая матрица называется транспонированной.

Предположим, необходимо получить коды с единицами в первом, втором, третьем и т. д. разрядах. Для этого достаточно сложить по модулю 2 строки с теми же номерами, считая сверху вниз. Для полу­ чения п — 1 комбинаций, начинающихся с двух единиц, необходимо сложить две первые строки транспонированной матрицы, а затем к сумме поочередно прибавлять строки с единицами соответствующих разрядов. В общем виде определяющая матрица «-разрядного кода записывается следующим образом:

О 0 0 . . . О 0 1

О 0 0 . . . О 1.0

0 0 0 . . . 1 0 0

}« строк

0 0 1 . . . 0 0 0

0 1 0 . . . 0 0 0

1 0 0 . . . 0 0 0 ,

п столбцов

55

Определяющие матрицы используют при построении многих кодов, особенно широко они применяются в систематических и циклических кодах (см. тему 13).

Наглядным способом описания кодов являются так называемые кодовые деревья. Представление кода в виде кодового дерева — давно известный и широко распространенный в теории релейно-контактных схем способ представления кодов. В общем виде кодовое дерево мо­ жет быть представлено как граф, состоящий из узлов и ветвей, соеди­ няющих узлы, расположенные на разных уровнях. Истоком графа

Корень

является корень. Каждый уровень содержит тп узлов, где п — номер уровня, а т — значность кода. Для равномерного двоичного кода

число узлов на каждом уровне равно 2ге (рис. 17).

При помощи кодовых деревьев наглядно представляются коды,

обладающие свойством префикса, или префиксные коды, т. е. коды, ко­ торые могут быть получены путем последовательного вычеркивания по­ следнего знака кодовой комбинации (ни одна-из комбинаций такого ко­ да не может быть префиксом комбинации того же кода). Например, пре­ фиксами кода 11101101 будут: 1, 11, 111, 1110, 111011, 1110110, 11101101. То есть для однозначного декодирования кода 11101101 ни один из передаваемых кодов не может быть представлен комбинациями

1, 11, 111, 1110, 111011, 1110110, 11101101.

Та часть кодовой комбинации, которая дополняет префикс до са­ мой кодовой комбинации, называется суфиксом, т. е. каждую кодовую комбинацию можно разбить на префикс и соответствующие суфиксы. Для приведенного примера суфиксами будут: ПОПОЮ, ЮНОЮ, 011010, 11010,1010,10,0.

Для префиксных кодов определение последнего знака кодовой комбинации возможно на основании знания только предшествующих ему кодовых знаков (префиксов) данной кодовой комбинации, в то время как для непрефиксных кодов декодирование требует также зна­ ния кодовых знаков предыдущих кодовых комбинаций.

56

Неравномерный код, обладающий свойством префикса, есть си­ стематический код [21 ]. Кодовые комбинации систематического кода строятся следующим образом:

например, задают некоторый исходный код, комбинации которого имеют вид: 0, 10, ПО, 11Г;

принимают в качестве элементарных комбинации, обладающие свойством префикса: 0, 10, ПО;

принимают в качестве конечной комбинацию 111; кодовые комбинаций систематического кода представляют собой

всевозможные последовательности элементарных комбинаций, окан-

Рис, 18. Кодовое дерево (а) и соответствующая ему диаграмма состояний (6) троичного кода: И — исходное состояние; 1,2, 3 —

узлы-состояния.

I

чивающихся принятой конечной комбинацией: 111, 0111, 10111, 00111, 11011, 000111, 100111 и т. д., количество комбинаций — неограничено.

Свойство префикса широко используют при построении оптималь­ ных неравномерных кодов, в частности кодовых деревьев по методу Хаффмена (см. тему 13).

Имея кодовое дерево, легко определить, обладает ли данный код свойством префикса. Если ни один узел кодового дерева не является вершиной данного кода, то он обладает свойством префикса. Для заданного кода кодовое дерево всегда одно и то же. Узлы, которые не соединяются с последующими уровнями, называются оконечными. Комбинации кода, соответствующие оконечным узлам, являются ком­ бинациями кода, обладающего свойством префикса. Если добавление к комбинациям заданного кода некоторой новой комбинации ведет ю нарушению свойства префикса, то такой код называется полным. На­ пример, троичный код, качественными признаками которого являются + , •, — (рис. 18, а), будет полным. Любой узел кодового дерева, со­ ответствующего полному коду, обладающему свойством префикса, на любом уровне /, кроме оконечных узлов, соединяется точно с т узлами, лежащими на уровне j + 1 [21 ]. На рис. 18, а все узлы, кроме оконечных, соединяются с тремя узлами.

57

Если кодовое дерево преобразовать, соединив ветви, идущие от

•оконечных узлов, с корнем при помощи стрелок, а оконечные узлы от­ бросить, то в результате получим диаграмму состояний (рис. 18, б),

.при помощи которой могут быть определены все комбинации соответ­ ствующего кода. Для этого, согласно работе [213, необходимо двигаться из истока графа по направлению стрелок до первого возвращения в исходное состояние. Обозначения стрелок выписываются в порядке прохождения. Полученная при этом последовательность знаков яв­ ляется кодовой комбинацией. Произведя все возможные прохождения путей данного графа, определяют все комбинации кода.

Рис. 19. Функциональные схемы шифратора (а) и дешифратора (б) кода Бодо.

В заключение настоящей темы на примере ряда прогрессивных схем ознакомимся с процессами кодирования и декодирования.

Устройство, осуществляющее кодирование, называется шифрато­ ром. Например, функциональная схема шифратора кода Бодо собрана на триггерах и логических ячейках И на два входа (рис. 19, а). В исход­ ном состоянии триггер управления Тг находится в таком положении, что на его выходе — запрещающий сигнал^. На ячейке И0 отсутствует один из разрешающих потенциалов, поэтому импульсы, постоянно поступа­ ющие от генератора тактовых импульсов ГТИ на общую шину запуска не могут привести к срабатыванию ячеек И, так как не выполняется ус­ ловие совпадения двух разрешающих сигналов. С приходом на триггер сигнала «Пуск» триггер опрокидывается и дает разрешение на ячейку Яо. С приходом очередного тактового импульса ячейка И0 срабатывает и дает разрешение на ячейку Их. Затем, с приходом следующего так­ тового импульса, срабатывает ячейка Их и возвращает триггер Т„

висходное состояние. Этот же сигнал готовит к срабатыванию ячейку Иг, которая срабатывает с приходом следующего тактового импульса

ит. д. На выходную шину сигналы заводятся через диоды, в зависимос­ ти от того, какой код формирует шифратор. Соединения, показанные

на рис. 19, а, соответствуют коду 10110. В исходное состояние ячейки

58

возвращаются способами, зависящими от выбранного типа элементов. Например, для тиратронов с холодным катодом анодную нагрузку Ua подбирают таким образом, чтобы в цепи с общей анодной нагрузкой мог гореть только один тиратрон. Тогда при срабатывании очередного тиратрона предыдущий автоматически гаснет. В случае необходимости формирования нескольких букв кода Бодо сигналы с ячеек И заводят­ ся на соответствующие шины, которые при повторных циклах по­ очередно .подключаются к выходу специальным коммутатором, по­ строенным по схеме кольцевого регистра.

Устройство, осуществляющее декорирование, называется дешиф­ ратором. В качестве примера декорирующего устройства рассмотрим дешифратор кодов Бодо, функциональная схема которого построена на логических ячейках И (рис. 19, б). Ячейка Cm служит для расшифров­ ки стартового импульса и сброса информации, записанной в ячейках И1— И5. Если дешифратор собран на тиратронах, то с поджигом тира­ трона ячейки Cm любой из тиратронов ячеек Я, — Иъ автоматически гаснет, так как они имеют общую анодную нагрузку. Разрешающий сигнал ячейки Cm готовит к срабатыванию ячейку И1. Затем каждая ячейка после срабатывания готовит следующую. В качестве вторых разрешающих сигналов используются импульсы принятых кодов, которые разделены таким образом, что по одной шине идут только ну­ левые признаки, а по другой — единичные. Так как на схему за ра­ бочий цикл поступает шесть импульсов (стартовый импульс и пять ко­ довых посылок), то ячейка Иъ может сработать только в том случае, если порядок следования импульсов будет соответствовать последова­

В качестве примера шифратора и дешифратора кодов с числом качественных признаков т > 2 рассмотрим кодирующее и декодиру­ ющее устройства четырех частотных посылок. Их схемы являются образцами как с точки зрения расхода радиотехнических деталей, так

ис точки зрения минимума функциональных типов элементов! Извест­ но, что мономодульные конструкции упрощают взаимозаменяемость узлов, ускоряют настройку приборов, повышают надежность, а также улучшают их эксплуатационные качества. Шифратор и дешифратор, изображенные на рис. 20, построены на основе модуля Д 1, выполняю­ щего логическую операцию И [45].

Вшифраторе частотных кодов (рис. 20, а) путем деления частоты задающего генератора импульсов ГИ 5000 гц получаются частоты 2500

и3333 гц. Операция ИЛИ осуществляется без затраты радиотехни­ ческих деталей. Генераторы, формирующие паузымежду посылками, выполняются на основе модуля Д . В качестве активного элемента мо­ жет быть использован тиратрон типа ТХ8Г.

1 А — знак логической операции конъюнкция.

59