книги из ГПНТБ / Бездудный, В. Г. Техника безопасности в шахтном строительстве

Таблица 18

Вспомогательная таблица вычисления пропускной способности бинарного канала связи

2 Р А') = -1

/

Пример 9. Определим пропускную способность дискретного канала, в котором В результате действия помех 3% сообщений не соответствуют переданным, т. е. из каждых 100 сообщений в трех вместо 0 приняты 1 или наоборот.

Пользуясь табл. 18, составим значения вероятностей. Затем вычислим соответ­ ствующие энтропии и пропускную способность канала связи:

Я (alb) = Я (Ыа) = — (0,97 log2 0,97 + 0,03 log2 0,03) = 0,0426 -f 0,7518 = 0,1944; Я (а, 6) = Я (6, а) = 1 + 0,1944 = 1,1944;

Сп — п[Н (а) — Я (a/b)] = n (1 — 0,1944) — п • 0,8056 'бит/сек.

Из вышесказанного можно сделать несколько выводов;

1)в рассмотренном канале связи действие помех полностью опи­ сывается условными вероятностями переходов одного знака в другой;

2)искажение 3% знаков сообщения не означает уменьшения про­ пускной способности на 3%;

3)предложенная методика может быть использована для любого количества качественных признаков. Естественно, что при т ! > 2 должны быть заданы вероятности переходов каждого качественного признака в любой из т — 1 качественных признаков.

Вывод формулы для вычисления пропускной способности сим­ метричного дискретного канала с произвольным количеством качествен­ ных признаков производят на основании выражения энтропии для равновероятных взаимозависимых символов

1т

Н(В/А) = — -j- Ц р (bjjat) log р (Ы а ,).

Предположим, мы передаем какой-то i-й признак из т возможных. Допустим также, что задана вероятность ложного перехода для дан­ ного канала связи — рл. Тогда, поскольку канал симметричный, то символы априорно равновероятны, вероятности перехода г-го при­ знака в любой другой из т — 1 признаков будут одинаковы и равны р„/т — 1, вероятность правильного приема f-ro признака будет одна и равна 1 — рл. В результате энтропия

Н (В/А) = — ^ Pi Ф(1ад !°g р (Ь,/ас) =

Так как вероятности ложных переходов равны между собой, то

Н (Л) = log т (так как символы априорно равновероятны).

111

Отсюда выражение для пропускной способности симметричного дискретного канала с числом качественных признаков т > 2

Выводы: 1. Наличие шумов уменьшает, надежность передаваемой информации, а следовательно, и скорость передачи информации.

2.За счет уменьшения скорости передачи информации можно увеличить надежность, например удлиняя каждый символ или много­ кратно повторяя каждое сообщение. Надежность и пропускная спо­ собность тесно взаимосвязаны. Изменение одного из этих параметров ведет к изменению других.

3.Действие помех в канале связи с точностью описывается вероят­ ностями ложных переходов. Если эти вероятности равны нулю, то помехи в канале связи отсутствуют и пропускная способность равна произведению энтропии источника сообщений на количество переданных символов.

4.Процент искажения символов сообщения помехами в канале связи не означает уменьшения пропускной способности на тот же процент.

5.Пропускная способность канала связи полностью определяется количеством качественных признаков (основанием кода), скоростью

передачи символов П Т (либо количеством символов за единицу време­ ни п) и вероятностью ложного приема этих символов — рл.

Задачи к теме 12

1.Источник передает равновероятные сообщения 32-буквенного алфавита со скоростью 5 бит!сек. Чему равна пропускная способность канала связи, если ве­ роятности ложных переходов равны нулю?

2.На сколько уменьшается пропускная способность бинарного канала в ре­ зультате действия помех, если источник сообщений создает информацию со скорос­ тью С = 100 бит!сек, а помехи искажают 10% сообщений?

3.Число символов алфавита т = 4. Вероятности появления символов равны

112

Проблемы, возникающие при передаче информации по каналам связи с помехами, ставят дополнительные требования к методам кодирования. Для достижения определенного превышения уровня сигнала над уров­ нем помехи необходимо в том или ином виде вводить избыточность: увеличивать число символов и время их передачи, повторять целые сообщения, повышать мощность сигнала— все это ведет к усложнению и удорожанию аппаратуры.

Усложнение аппаратуры ведет к увеличению количества отказов

Теоретически можно передавать сигналы при любом уровне помех со сколь угодной точностью, но ее нужно определять обязательно с учетом надежности аппаратуры и экономической оправданности затраченных средств.

Надежность системы связи можно увеличить, повысив надежность приема отдельных символов. Этого можно добиться, например, за счет увеличения мощности или длительности сигнала либо надежности приема групп символов и целых сообщений, используя специальные методы кодирования.

Увеличение надежности приема групп символов в результате удлинения времени их передачи представляет большой интерес, так как не требует повышения мощности передатчика. Для выделения удлиненного сигнала в приемнике накопитель, интегратор и схема сравнения должны быть построены таким образом, что если в канале

следует принятым считать сигнал £/х (t). Приемник, отличающий такие сигналы, называется идеальным приемником Котельникова.1

1 Выражение (91) является одним из основных выражений теории потенциаль­ ной помехоустойчивости, разработанной академиком В. О. Котельниковым. Дока­ зательство соответствующей теоремы дано в работе [18], а исследование выражения (91) проведено в работе [9].

113

Из выражения (91) видно, что принятым считается сигнал, имеющий большую длительность.

Функциональная схема идеального приемника Котельникова представлена на рис. 25. Генераторы Гг и Г2 в точности повторяют передаваемые сигналы t/j и U2. Таким образом, в приемнике происхо­ дит сравнение принятого сигнала с переданным. Решающая схема (схема сравнения) Р отдает предпочтение тому сигналу, который к

можно использовать для обнаружения и исправления ошибок. Рас­ смотрим некоторые общие методы обнаружения и исправления ошибок, не делая окончательных выводов и рекомендаций.

Одним из наиболее простых является метод многократного повторения сигнала. Правильный сигнал в этом случае обнаруживают путем накоп­ ления посылок одного вида, например 0 или 1. Примером может быть те­ леграфная система Бодо— Бердана. Код — равномерный, пятизначный.

Предположим, качественный признак 1 — положительный им­ пульс. Система накапливает положительные импульсы. Передан код 10110. Утерянные в результате действия помех импульсы восстанавли­ ваются путем накопления:

10100 — 1-й принятый код;

10010 — 2-й принятый код;

00110 — 3-й принятый код; 10110— накопленный код.

Как видим, накопленный код соответствует переданному, хотя ни один из принятых кодов не равен исходному.

Недостатком системы Бодо — Бердана является отсутствие защи­ ты от двусторонних переходов. Другими словами, такие системы могут применяться тогда, когда 0 может превращаться только в 1 (но не наоборот) или 1 только в 0 (но не наоборот).

114

Другим примером может служить система Сименс — Хелла, кото­ рая использует фототелеграфный способ передачи букв. Для уяснения этого способа представим себе светящееся табло с числом лампочек 100 X 100. На нем по всей величине высвечивается буква в результате поджига определенной группы ламп. Букву на таком табло можно прочитать, даже если несколько лампочек не зажгутся. В настоящее время ведутся крупные научно-исследовательские работы по передаче газетных текстов фототелеграфным способом, при применении которо­ го достоверность передачи обеспечивается за счет избыточности, приро­

единиц, либо четное число нулей. Если к коду 10000, соответствующе­ му букве А добавить 1, а к коду 00110, соответствующему букве Б — 0, то в обоих кодах число нулей и единиц будет четным. При искажении в коде любого одного символа условие четности будет нарушено, и произо­ йдет защитный отказ. Если ко всем буквам кода Бодо добавить нули и единицы таким образом, чтобы в полученной комбинации число тех и других было четным, то получим код, обнаруживающий одну ошибку.

Проверка на четность физически очень легко реализуется. В про­ стейшем случае для этого достаточно иметь один триггер со счетным входом (рис. 26). Если на общий вход подавать принимаемый код, то с правого плеча длительный сигнал разрешения будет сниматься только в случае нечетного количества входных импульсов.

Если тот же код Бодо разделить на коды, содержащие четное и нечетное количества единиц, то получим два кода, обнаруживающие одиночную ошибку.

Следовательно, число комбинаций в коде, обнаруживающем ошибку, по сравнению с исходным уменьшилось вдвое. В полученных кодах каждая комбинация отличается от любой другой не меньше чем

115

двумя символами. Д ля обнаружения одиночной ошибки необходимо, чтобы кодовые комбинации, представляющие элементы сообщения, отличались как минимум в двух символах; коды без избыточности обнаруживать, а тем более исправлять ошибки не могут.

Число добавочных символов для составления кодов с выявлением

ошибки

d = r + 1,

где г — число обнаруживаемых ошибок.

Рассмотрим теперь код, исправляющий ошибку. Идея построения такого кода наглядно иллюстрируется геометрической моделью трех­ значного двоичного кода на все сочетания, которая представляет собой куб (см. рис. 13, б).

Каждой вершине куба присваивается кодовая комбинация по следующему принципу: если проекция вершины куба на ось равна нулю, то ставится единица. При этом порядок проекции всегда должен

не получатся правильные комбинации. Например, для точки 5 проек­ ция на первую ось равна 1, на вторую — 0, на третью— 1. Точке S присваивается код 101.

Для каждой вершины куба имеются три вершины, которые отсто­ ят от нее на один шаг (на расстоянии одного ребра куба), еще три верши­ ны, которые отстоят на два шага, и одна вершина — на три шага. Расстояние между ближайшими кодовыми комбинациями называется кодовым расстоянием. Кодовое расстояние — параметр, характеризую­ щий помехоустойчивость кода и заложенную в нем избыточность. Кодовым расстоянием определяются также корректирующие свойства кодов. Если кодовое расстояние d — 1 (избыточность в коде отсутству­ ет), то не могут быть обнаружены даже единичные искажения, так как искаженная комбинация будет совпадать с одной из разрешенных. Если кодовое расстояние d = 2, то такой код позволяет обнаруживать одиночные ошибки, так как уже есть возможность сделать так, чтобы искаженная комбинация не входила в число разрешенных.

По рис. 13 легко определить коды, обнаруживающие ошибку кода 101. Они должны отличаться друг от друга в двух символах, т. е. отстоять от точки S на два шага. Как видно из рис. 13, б, этими'кодами являются 000, 011, 010 и ПО. Для исправления одиночной ошибки расстояние от точки 5 следует увеличить еще на один шаг. Таким кодом будет только один код — 010. Для трехмерного куба корректи­ рующие коды расположены на противоположных вершинах куба.

Это пары 000—111, 010—101, 001—110, 011—100. Такие коды в лите­ ратуре встречаются под названием коды-спутники.

Идея исправления ошибки в кодах-спутниках весьма проста. Главное, чтобы при искажении любого кода не могла быть образована рабочая комбинация соседнего кода. Процесс исправления ошибки

116

заключается в том, что искаженный код отождествляется с ближай­ шей разрешенной комбинацией. Например, если передавать буквы алфавита, которым соответствуют следующие комбинации двоичного кода: А — 00000, Б — 00111 и В — 11100, то при искажении любого одного знака легко определить, какая комбинация была передана, так как каждая из них отличается друг от друга не меньше чем в трех символах (кодовое расстояние d > 3).

Для того чтобы определить кодовое расстояние между двумя комбинациями двоичного кода, достаточно просуммировать эти ком­ бинации по модулю 2 и подсчитать число единиц в полученной сумме. Например:

~ 1001101110

®1101011101

0100110011

Таким образом, d = 5.

Кодовое расстояние может быть увеличено не только за счет уменьшения количества разрешенных комбинаций, но и за счет уве­ личения количества качественных признаков при передаче данного набора комбинаций, так как искажение комбинации, при котором был подавлен один качественный признак, а на его месте появился другой, рассматривается как двойное искажение.

Общее выражение для определения кодового расстояния в случае одновременного обнаружения и исправления ошибок

В настоящее время уже разработаны десятки кодов, которые теоретически могут обнаруживать произвольное количество ошибок. При таком многообразии кодов попытка дать абсолютно точное их разделение на самостоятельные группы и подгруппы таким образом, чтобы ни одна из них не содержала признаков других групп, заранее обречена на провал. Поэтому на рис. 27 приведено чисто условное разделение кодов. Все коды рис. 27 в той или иной степени обладают корректирующими способностями, за исключением кодов Бодо и Морзе: первый имеет нулевую избыточность, а второй — близкою к нулевой.

По числу качественных признаков дискретные коды могут быть разделены на две основные группы: двоичные (т — 2) и с числом качеств m > 2 1. На практике двоичные коды применяют значительно'

1 Наиболее распространенные коды с числом качественных признаков т > 2 были рассмотрены в теме 7.

117

чаще, чем коды с произвольным количеством качественных признаков. Это связано с тем, что двоичные коды оказались очень удобными как при передаче сигналов на расстояние, так и при построении цифровых машин и автоматов. Устройства дискретной техники легко решают задачу выбора одного из двух устойчивых состояний, а элементы — реле, тиратроны, полупроводники, электронные лампы — легко реали­ зуют операции двоичной логики благодаря наличию двух состояний: замкнутого и разомкнутого.

По способу декодирования двоичные коды могут быть разделены на блочные и непрерывные. Основное различие между блочными и непре­ рывными кодами заключается в том, что первые, можно декодироватьлишь после того, как на дешифратор поступит все кодовое слово, а вторые — в процессе поступления кодовой комбинации.

В корректирующих непрерывных кодах избыточность вводится без разбивки последовательности символов на отдельные блоки. Про­ верочные символы размещены в определенном порядке между инфор­ мационными и формируются по п >■ 2 информационным разрядам. Наиболее ценным качеством непрерывных кодов является возможность исправлять группы (пакеты) ошибок. Поэтому наиболее часто их применяют при передаче сообщений по телефонным и телеграфным линиям связи, которым свойственны групповые помехи.

Рекуррентные коды отличаются от других корректирующих кодов тем, что формирование проверочных элементов осуществляется не в пределах одной кодовой комбинации, а путем суммирования двух или нескольких информационных элементов, сдвинутых относительно друг друга на расстояние t, равное шагу сложения. Шаг сложения определяет количество элементов, пораженных помехой, которое данный код еще в состоянии принять. Рекуррентные коды способны исправлять групповые ошибки длительностью Тп с числом пораженных

одного элемента.

Так как за время т может быть искажено 21символов, то интервал между очередными пакетами ошибок

TH> ( 6 t + l ) t 0.

Частота повторения пакетов ошибок, при которой обеспечивается их исправление,

^Ти-Ь Тп •

Наиболее просто рекуррентные коды реализуются при одинаковых числах информационных и проверочных символов и избыточности, равной 2. Такие коды называются цепными. Цепные коды получили

119