§ 5. Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных уравнений:

. (I)

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы(I) любое из трёх действий :

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2. прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число ;

3. перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы :

.

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицыдругой её строки, умноженной на число, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице.

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов прих₁, 2-ой столбец - из коэффициентов прих₂ и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты прих₂, а во 2-ом столбце - коэффициенты прих₁.

Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Еслиa₁₁=0, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что(т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку наи сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестногоx₁из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрицеполучаем нули в 1-ом столбце под элементомa₁₁ :

.

5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет лиa₂₂ ^/=0, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы. Далее умножаем элементы 2-ой строки наи складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки наи складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули подa₂₂ ^/

.

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х₂из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1) :

,

где

.

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)

.

Из последнего уравнения выражаем ; подставляемв предыдущее уравнение, находими т.д., пока не получим.

Замечание 1.Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрицечисло строк равно числу неизвестных ().

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрицеменьше числа неизвестных().

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема.Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

Примеры.Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

а) ;

б) ;

в).

Решение.

а) Перепишем заданную систему в виде:

.

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестноеиз всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицына «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

.

Матрице соответствует система уравнений

.

В матрице нулевых строк нет, несовместных строк также нет, исключим неизвестноеиз 3-го уравнения системы, для этого умножим элементы 2-ой строки матрицына «-1» и сложим с элементами 3-ей строки :

.

Матрица содержит несовместную строку (в 3-ей строке все элементы равны нулю, кроме последнего). Этой строке соответствует несовместное уравнение. Следовательно, система решений не имеет (), система несовместна.

б) Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет, несовместных строк нет, , исключаем неизвестноеиз 2-го и 3-го уравнения заданной системы, для этого умножим элементы 1-ой строки матрицына «-2», затем на «-3» и сложим соответственно с элементами 2-ой и 3-ей строк, получим

.

Рекомендуем читателю проанализировать, какие операции при этом совершаются с заданной системой уравнений. Умножаем элементы 2-ой строки матрицы на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки, получаем:

,

где - матрица ступенчатого вида.

Записываем систему уравнений, соответствующую этой матрице

.

Теперь двигаемся снизу вверх. Из последнего уравнения находим .

Подставляя это равенство в предпоследнее уравнение, находим .

Подставляя ив первое уравнение, получаем :.

Ответ: - система имеет единственное решение.

в) Составляем расширенную матрицу:

1. Переставим местами 1-ую и 2-ую строку для упрощения вычислений (меняем местами уравнения в заданной системе).

2. Умножим элементы 2-ой строки матрицы последовательно на «-2», «-1» и «-5» и сложим соответственно с элементами 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (для получения нулей под элементом ).

3. Аналогичным образом, получаем нули под элементом .

4. Вычеркиваем нулевые строки.

Последняя матрица – ступенчатая. Переходим от нее к системе уравнений:

;

из последнего уравнения получаем:

,

подставляя это равенство в 1-ое уравнение системы, находим

.

Ответ: - система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения переменными, мы каждый раз будем получать частные решения заданной системы уравнений.

Замечание .Количество уравнений в окончательной системе при решении методом Гаусса всегда равно рангу матрицы-(см. определение 3§7 главы 1).