§2. Некоторые свойства пределов функций
Пусть: C постоянное число,
предел функции f(x) существует в точке a, ,
предел функции g(x)
существует в точке a,
.
Тогда:
,
,
,
,
,
если
.
Предел постоянной величины равен значению этой величины. При вычислениях, константу можно и рекомендуется выносить за знак предела. В условии, когда функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке, функции f(x)+g(x), f(x)∙g(x) также имеют пределы в этой точке. При дополнительном условии , существует предел функции f(x)/g(x).
Указанные свойства пределов функций будут соответственно справедливы в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞.
§3. Эквивалентные функции
Определение 7.
Функции f(x)
и g(x)
называются эквивалентными при
x→a,
если
.
В этом случае пишут f(x) ~ g(x) при x→a и говорят, что при x→a функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x) и наоборот, функция g(x) асимптотически ведет себя как функция f(x). При вычислении пределов с использованием эквивалентных функций применяют следующие теоремы:
1. Пусть f(x)
~ g(x) при
x→a, тогда
,
если один из этих пределов существует.
2. Пусть f(x)
~ f1(x)
и g(x) ~ g1(x)
при x→a,
тогда
,
если один из этих пределов существует.
Можно сравнивать функции f(x)
и g(x) в точке
a слева (x→a–o),
в точке a справа (x→a+o),
при x→–∞ и при x→+∞,
при этом вычисляют пределы в соответствующих
предельных точках. Например, если
,
то говорят, что функции f(x)
и g(x)
эквивалентны в точке a
слева и при x→a–o
функция f(x)
асимптотически ведет себя как функция
g(x). Если
,
то говорят, что функции f(x)
и g(x)
эквивалентны при x→+∞ и
пишут f(x) ~
g(x) при x→+∞.
§4. Таблица эквивалентных функций при X→0
1. sin(x) ~ x; 6. ax
~ 1+x∙ln(a); 11. sh(x) ~ x, 
;
2. cos(x) ~
; 7.
ex ~
1+x; 12. ch(x) ~
,
;
3. tg(x) ~ x; 8. loga(1+x)
~
; 13.
th(x) ~ x, 
;
4. arcsin(x) ~ x; 9. ln(1+x) ~ x;
5. arctg(x) ~ x; 10. (1+x)α ~ 1+α∙x.
§5. Свойства бесконечно малых функций
Определение 8.
Функция α(x)
называется бесконечно малой при
x→a,
если
.
При вычислении пределов применяют следующие свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при x→a есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции α(x) на ограниченную функцию z(x) при x→a есть функция бесконечно малая.
Следствия: а) произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;
б) произведение бесконечно малой функции на константу есть функция бесконечно малая;
в) частное от деления бесконечно малой функции на ограниченную функцию, предел и значения которой отличены от нуля, есть функция бесконечно малая.
3. Пусть α(x)
– бесконечно малая функция при x→a
и не обращается в нуль, тогда функция
– бесконечно большая при x→a.
Соответственно определяются бесконечно малые функции в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞.
§6. Непрерывность функции в точке
Определение 9.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
x0,
если
.
Определение 10.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
x0,
если
,
где Δx=x–x0
и Δf=f(x)–f(x0).
Определение 11.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
x0,
если
.
Определения 9, 10 и 11 эквивалентны.
Точка x0 это конечное число, которое принадлежит области определения функции f(x). Нет смысла задаваться вопросом о непрерывности функции при x→–∞ и при x→+∞. Однако, явление непрерывности функции f(x) в точке x0 слева и в точке x0 справа существует.
Определение 12.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
x0
слева, если
.
В этом случае
.
Определение 13.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
x0
справа, если
.
В этом случае
.
Некоторые свойства непрерывных в точке функций:
1) Пусть: f(x) непрерывна в точке x0, ;
g(x)
непрерывна в точке x0,
.
Тогда:
непрерывна в точке x0,
;
непрерывна в точке x0,
;
непрерывна в точке x0
(при условии
),
.
2) Если: g(y) непрерывна в точке y0,
f(x) непрерывна в точке x0 и
y0=f(x0),
тогда функция g(f(x)) непрерывна в точке x0.
3)
.
Это означает, что под знаком непрерывной
в точке функции можно переходить к
пределу.