2. Статический расчёт кунструкций

2.1. Равновесие составных тел

При решении задач об определении опорных реакций может оказаться, что из составленных условий равновесия невозможно определить все неизвестные величины, так как их число больше числа уравнений, в которые эти неизвестные входят. Подобное может произойти по двум основным причинам.

Во-первых, на рассматриваемое тело могут быть наложены лишние связи, ненужные для обеспечения равновесия абсолютно твёрдого тела, но необходимые для предотвращения недопустимо больших деформаций. В этом случае задача определения реакций опор является статически неопределимой в том смысле, что невозможно определить реакции связей без учёта деформаций тела, т.е. оставаясь в рамках модели абсолютно твёрдого тела. Такие задачи в теоретической механике не рассматриваются.

Во-вторых, в качестве тела, равновесие которого рассматривается, может быть выбрана конструкция, состоящая из двух или более тел, соединённых между собой внутренними связями. На такую конструкцию заведомо приходится накладывать дополнительные связи, обеспечивающие равновесие конструкции. Основная особенность решения таких задач состоит в том, что необходимо рассматривать равновесие нескольких тел данной конструкции.

Рассмотрим, например, трёх шарнирную арку , нагруженную активными силамии(Рис. 2.1). Можно рассмотреть равновесие арки в целом. Тогда в систему внешних сил войдут заданные силыии силы реакций внешних опор – шарнирови. Соответствующая силовая схема представлена на Рис. 2.2.

Рис. 2.1		Рис. 2.2

Хотя такая арка не является абсолютно твёрдым телом, заранее известно, что она покоится и, следовательно, приложенные к ней силы удовлетворяют условиям равновесия. Наличие шарнира позволяет двум частям арки поворачиваться друг относительно друга. Для предотвращения такого поворота приходится усиливать одну из опор, например, ставить в точкешарнирно неподвижную опору вместо шарнирно подвижной. При этом число неизвестных составляющих сил реакций увеличивается – появляется. Трёх уравнений равновесия недостаточно для определения четырёх неизвестных. Поэтому приходится рассматривать равновесие ещё какой-либо части конструкции, например, стержня.

Для стержня шарнирявляется внешней опорой, поэтому его реакция входит в систему внешних сил, действующих на(Рис. 2.3). Для стержняможно составить ещё три уравнения равновесия, которые вместе с уравнениями равновесия, составленными для арки, образуют систему шести уравнений, содержащих шесть

неизвестных.

Можно рассмотреть равновесие правого стержня (Рис. 2.4). При этом следует учитывать, что силы взаимодействия в шарниреподчиняются третьему закону Ньютона:;. Для решения поставленной задачи достаточно рассмотреть равновесие только двух из трёх тел в любой комбинации. Условия равновесия третьего тела могут быть использованы для проверки полученных результатов.

Рис. 2.3		Рис. 2.4

Универсальный метод решения подобных задач состоит в том, что конструкция разбивается на отдельные абсолютно твёрдые тела и рассматривается равновесие каждого из этих тел. Однако, во многих случаях такой подход оказывается нерациональным, поскольку приводит к необходимости решения системы уравнений, каждое из которых может содержать несколько неизвестных. Причём в уравнения может входить значительное число лишних неизвестных, которые не требуется определять по условиям решаемой задачи. Приобретя определённые навыки, можно поставить целью поиск наиболее рационального способа решения задачи, в основе которого лежит идея использования минимального числа уравнений, каждое из которых, по возможности, содержит только одну неизвестную.

В заключение подчеркнём ещё раз – необходимо рисовать отдельную силовую схему для каждого тела, равновесие которого рассматривается.

Пример 2.1.

Рис. 2.5

Стержневая конструкция нагружена силами ;и парой сил с моментом( Рис. 2.5).

Дано: м;кН;кН;кН м;. Определить усилия в шарнирах

Нужно определить шесть составляющих реакций шарниров. Для получения необходимых для этого шести уравнений можно рассмотреть равновесие всей конструкции и одного из стержней или равновесие каждого из стержней. С точки зрения удобства вычисления плеч сил, предпочтительнее рассмотреть равновесие каждого из стержней.

Рассмотрим равновесие стержня . Силовая схема представлена на Рис. 2.7. Можно составить "стандартную" систему уравнений равновесия:

Рис. 2.6		Рис. 2.7

Нетрудно видеть, что только последнее уравнение системы позволяет сразу определить неизвестную

кН

Однако, если составить уравнение

то сразу определяется вторая неизвестная

кН

Надобность в уравнении пропадает, уравнениеиспользуем в дальнейшем для определения.

Рассмотрим равновесие стержня . (При составлении уравнений равновесия учитывается, что;.) Силовая схема представлена на Рис.4.7. Прежде всего, определим. Для этого составим уравнение

Отсюда

кН.

Теперь можно использовать уравнение ():кН Для определения оставшихся неизвестных используем уравнения

Отсюда:кН;кН.

Пример 2.2.

Рис. 2.8

Однородные балки весомивесомсоединены между собой шарниром(Рис. 2.8). Балкагоризонтальна, её левый конец заделан в стену. Балкаопирается на гладкую вертикальную стену, с которой образует угол. Дано:м;м;H;H. Определить реакции опорных стен.

Поскольку по условию задачи не требуется определять усилия во внутреннем шарнире , имеет смысл рассмотреть равновесие всей конструкции (Рис. 2.9). Составим уравнения равновесия:

()

()

()

Рис. 2.9		Рис. 2.10

Только уравнение () позволяет сразу определитьН. Для вычисления других неизвестных необходимо определить. Рассмотрим равновесие(Рис. 2.10). Составим уравнение:

Отсюда:

Н.

Из уравнений () и () находим:

Н; Нм.

Пример 2.3.

Рис. 2.11

Однородный стерженьвесомможет вращаться вокруг шарнира. Он опирается на такой же стержень, который может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину (Рис. 2.11). Точкиилежат на одной вертикали.В точкеподвешен грузОпределить угол, образуемый стержнемс вертикалью в положении равновесия. Трением пренебречь.

Особенностью задачи является то обстоятельство, что требуется определить только одну неизвестную . Другими возможными неизвестными являются четыре составляющие реакций шарнирови, а также сила взаимной реакции стержней в точке. Для решения задачи принимаем следующую схему.

Рассмотрим равновесие стержня (Рис. 2.12). Составим уравнение моментов относительно оси:

Величину найдём как основание равнобедренного треугольника:

Таким образом,

()

Рис. 2.12		Рис. 2.13

Рассмотрим равновесие стержня (Рис. 2.13). Составим уравнение моментов относительно оси:

или

()

так как

Исключая из уравнений () и (), получаем:

или

Интерес представляет решение

Пример 2.4.

Стержень жёстко закреплён в точкеи соединён шарниромсо стержнем. В точкеустановлен подвижный шарнир. На стерженьдействует линейно распределённая нагрузка максимальной интенсивностии сила. На стерженьдействует однородная распределённая нагрузка интенсивностии пара сил с моментом. Размеры указаны на чертеже (Рис. 2.14). Определить реакции опор.

Рассмотрим равновесие всей конструкции. Внешними опорами для будут жёсткая заделка в точкеи шарнир. Распределённую нагрузку заменяем равнодействующимии. Силовая схема представлена на Рис. 2.15. Условия равновесия имеют вид:

причём, и

Рис. 2.14		Рис. 2.15

Полученные три уравнения содержат четыре неизвестные. Это объясняется тем, что условия, являющиеся достаточными для равновесия абсолютно твёрдого тела, использованы для тела деформируемого, для которого они являются только необходимыми. Для получения достаточного количества уравнений рассмотрим равновесие одной из частей конструкции, например, левого стержня . Для этого стержня внешними силами, помимо прочего, будет и реакция шарнира(Рис. 2.16).

Условия равновесия имеют вид:

Решая полученную систему уравнений, находим все неизвестные.

Подобная схема решения применима для любых задач о равновесии сочленённых тел. Нетрудно, однако, заметить, что решение полученной системы уравнений связано с определёнными трудностями, поскольку в большинстве уравнений содержится более одной неизвестной. Приобретя определённые навыки в составлении уравнений равновесия, можно поставить задачу составления в каждом конкретном случае наиболее просто решаемой системы уравнений.

Обратимся к разобранному примеру. Можно предложить следующую схему решения задачи.

Тело :

Отсюда:

Рис. 2.16		Рис. 2.17

Тело (Рис. 2.17). Учитывая, что;, получаем:

Отсюда:

Тело :

Отсюда:

Как видно, таким способом мы можем последовательно определить все неизвестные.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.32; 4.35; 4.36; 4.37; 4.38; 4.41; 4.42; 4.43; 4.44; 4.53; 4.54; 4.55; 4.56.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-5; СР-6; СР-7.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6