- •Министерство образования и науки российской федерации
- •1.2. Условия равновесия системы сил, линии действия которых расположены в одной
- •1.3. Основные виды связей
- •1.4. Учёт пары сил при составлении уравнений равновесия
- •1.6. Распределённая нагрузка
- •2. Статический расчёт кунструкций
- •2.1. Равновесие составных тел
- •2.2. Расчёт ферм
- •3. Сила трения
- •1. Сила трения действует в общей касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и противоположна тому направлению, в котором активно действующие силы стремятся сдвинуть тело.
- •4. Система сил в пространстве
- •1. Кинематика точки
- •1.2. Естественный способ задания движения точки
- •1.3. Определение радиуса кривизны траектории по заданным уравнениям движения точки
- •2. Кинематика твёрдого тела
- •2.1. Простейшие движения твёрдого тела
- •2.2. Вычисление скоростей точек тела, совершающего плоскопараллельное движение
- •3. Сложное движение точки
- •3.1. Вычисление ускорения Кориолиса
- •3.2. Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
- •1. Первая и вторая задачи динамики материальной точки
- •2. Относительное движение материальной точки
- •3. Линейные колебания точки
- •Применение общих теорем динамики
- •4.1. Теорема об изменении количества движения и теорема о движении центра масс
- •4.2. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси
- •4.3. Совместное использование теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента
1.2. Естественный способ задания движения точки
Пример 1.4
Точка движется по окружности радиуса . Начало и направление отсчета дуговой координаты указаны на Рис. 1.4. Закон изменения дуговой координаты имеет вид:
Определить траекторию точки при , а также положение, скорость и ускорение точки в конце первой и пятой секунд движения.
Чтобы определить траекторию точки, проведем анализ ее движения. Вычислим проекцию скорости на касательную и касательное ускорение:
|
|
Рис. 1.4 |
Как видно, касательное ускорение точки не зависит от времени, т.е. движение точки равнопеременное. В начальный момент времени
при
Следовательно, точка начинает движение из начала отсчета в положительном направлении, поскольку,. Напомним, что единичный вектор касательной всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты. Точка может поменять направление движения на противоположное только после остановки. ПриВ этот момент времениСледовательно, к моменту времениточка прошла в положительном направлении четверть длины окружности и находится в положении.
Возникает вопрос о направлении дальнейшего движения точки. Поскольку скорость обратилась в нуль, о направлении движения можно судить по направлению касательной составляющей ускорения. Касательное ускорение в точке остановки отрицательно и, следовательно, точка начнет движение в отрицательном направлении отсчета. Других точек остановок нет. Поэтому точка не будет больше менять направление движения. Со временем она будет описывать окружность, проходя ее в отрицательном направлении, по ходу часовой стрелки.
Для заданного момента времени получаем:
для заданного момента времениполучаем:
Полученные результаты изображены на чертеже. Заметим, что, прежде всего, необходимо изобразить единичный вектор касательной в данной точке, с направлением которого необходимо согласовывать направления векторови.
Траекторией точки в интервале времени является дуганижней части окружности.
Пример 1.5
Даны законы движения точки в координатной форме:
Определить траекторию точки при и закон движения точки по траектории.
Исключая время из законов движения, получаем:
Из уравнений движения следуют ограничения на область значений координат в интервале времени :
Таким образом, траекторией точки является вся окружность радиуса с центром в точке(Рис. 1.5).
Начало отсчета дуговой координаты совместим с начальным положением точки
при
Положительное направление отсчета дуговой координаты совместим с направлением, в котором точка начинает движение. Вычислим проекции скорости на координатные оси
|
|
Рис.1.5 |
|
В начальный момент, т.е. при получаем:так что точка начинает обход окружности по ходу часовой стрелки. В этом направлении и будем откладывать положительные дуговые координаты.
Определим модуль скорости
Как видно, скорость точки не обращается в нуль ни при каких значениях времени . Поэтому полагаем
Найдём закон изменения дуговой координаты:
Интегрируя последнее равенство, получаем:
Пример 1.6
Поезд движется равно замедленно по дуге окружности радиуса м и проходит путьм, имея начальную скоростькм/час и конечнуюкм/час. Определить полное ускорение поезда в начале и конце дуги, а также времядвижения поезда по этой дуге.
По условию движение равнопеременное. Законы равнопеременного движения имеют вид:
Запишем эти соотношения для момента времени , учитывая что:
Решая полученную систему уравнений, находим
Найдем нормальное ускорение в начальной и конечной точках:
Для вычисления модуля ускорения воспользуемся тем обстоятельством, что касательная и нормальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны: