3.2. Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Напомним теорему сложения скоростей при сложном движении точки:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

Теорема сложения ускорений при сложном движении точки имеет вид:

,

где вектор

называется ускорением Кориолиса.

Таким образом,

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Пример 3.3

Круглая трубка радиуса вращается вокруг горизонтальной осипо часовой стрелке с постоянной угловой скоростью. Внутри трубки около ее точкиколеблется шарик, причем так, что(Рис. 3.5). Определить скорость, касательное и нормальное ускорения в абсолютном движении шарика в любой момент времени.

Рис.3.5

Относительное движение шарика представляет собой движение по окружности радиусас центром в точкепо закону. Определим закон изменения дуговой координаты шарика в относительном движении:

Вычислим относительную скорость и относительное ускорение шарика:

Трубка сообщает шарику переносную скорость

и переносное ускорение

Угол между осью вращения трубки, вдоль которой направлен вектор ее угловой скорости, и вектором относительной скорости шарика равен , так что

Для определения направления ускорения Кориолиса удобнее всего воспользоваться правилом Жуковского.

Абсолютная траектория шарика в данном случае очевидна – это все та же окружность с центром радиуса. Используя теорему сложения скоростей, получаем:

Используя теорему Кориолиса (3.12), получаем:

Направления векторов указаны на Рис. 3.5. Ускорение Кориолиса и относительная скорость представлены на рисунке для случая

Пример 3.4

Лопатка рабочего колеса турбины, вращающегося против хода часовой стрелки замедленно с угловым ускорением, имеет радиус кривизны 0.2 м и центр кривизны в точке, причемм. Частица воды, отстоящая от оситурбины на расстоянии 0.2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0.25 м/с и касательное ускорение 0.5 мпо отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицыв тот момент времени, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.

Подвижную систему координат свяжем с рабочим колесом турбины (Рис. 3.6). Относительной траекторией частицы воды является кривая – лопатка турбины. Определим нормальное ускорение точкив относительном движении

Точка турбины описывает окружность с центромрадиуса. Определим переносное ускорение точки:

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Модуль ускорения Кориолиса равен

Используя теорему Кориолиса, найдем проекции абсолютного ускорения частицы на оси подвижной системы координат (Рис. 3.6):

Рис. 3.6		Рис. 3.7

Остается определить и. Для этого используем теорему косинусов (Рис. 3.7):

Отсюда

Таким образом,

Окончательно получаем:

Пример 3.5

Диск радиуса вращается вокруг неподвижной осис постоянной угловой скоростью. По ободу диска движется точка, имея относительно диска постоянную по модулю скорость. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

Подвижную систему отсчета связываем с диском (Рис. 3.8). По отношению к диску, т.е. в относительном движении, точка движется равномерно со скоростью, описывая окружность радиусас центром в точке. Определяем относительное ускорение точки:

Рассмотрим переносное движение – его совершает диск. Точка диска описывает окружность с центром, плоскость которой параллельна координатной плоскости. Переносная скорость

направлена по касательной к этой окружности в сторону вращения диска, т.е. перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении координатной оси . Поскольку вращение диска по условию равномерное, отличным от нуля оказывается только осестремительное ускорение:

Вектор ускорения Кориолиса точки направлен перпендикулярно плоскости чертежа, в которой расположены векторыи, причем, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение направления векторас направлением векторавидно против хода часовой стрелки. В указанном на Рис. 3.9 положении точкивектор ускорения Кориолиса направлен на нас, т.е. параллелен координатной осив положительную сторону этой оси. На Рис. 3.9 это направление условно обозначено острием стрелки, заключенным в кружок. Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по формуле:

.

Рис.3.8			Рис.3.9

При перемещении точки по диску направление ускорения Кориолиса не будет изменяться до тех пор, пока, т.е. пока(точка). При пересечении точкойкоординатной осиускорение Кориолиса обращается в нуль. При движении точки в нижней части диска, т.е. при, проекция ускорения Кориолиса на направление осистановится отрицательной и векторнаправлен от нас (точкии).

Таким образом,

Используя теорему сложения скоростей

находим проекции вектора абсолютной скорости на оси подвижной системы координат:

Используя теорему Кориолиса

находим проекции абсолютного ускорения точки на оси подвижной системы координат:

Примечание.

Последняя задача позволяет проиллюстрировать некоторые явления, связанные с вращением Земли, в частности, размыв берегов рек. Как видно, вращение Земли приводит к возникновению у частиц воды кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно линии берегов. Наличие такого ускорения приводит к тому, что в северном полушарии дополнительно подмывается правый берег, который на прямолинейных участках рек заметно выше левого берега. В южном полушарии более высокий левый берег. Это явление в географии отражено в законе Бэра.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 22.10; 22.14; 22.17; 22.26; 23.1; 23.9; 23.13; 23.18; 23.19; 23.27; 23.29; 23.34; 23.47; 23.48; 23.49; 23.56.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-23;

СР-24; СР-25.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ:

3. После практического занятия №7(15) проводится тест «МОДУЛЬ КБ».

ЛИТЕРАТУРА:

3. Антонов В.И., Белов В.А., Егорычев О.О., Степанов Р.Н.//Курс теоретической механики (теория и практика) – М.: Архитектура – С, 2011 г.

4. Мещерский И.В.//Сборник задач по теоретической механике. – Спб.: Лань, 2010 г.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1