Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ЛЕКЦИЯ 3 альб

.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
03.03.2015
Размер:
454.66 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 3.

Решение задач по теме «Векторная алгебра»

1.Найти орт и направляющие косинусы вектора a{-4; 3; 12}.

Решение. Длина вектора ; .

Орт вектора : ;

Направляющие косинусы: .

2. Проверить, являются ли векторы и А) коллинеарными; Б) ортогональными.

Решение. А) . Имеем: .

Б) . Считаем: .

3. Вычислить скалярное произведение векторов и , если , , , , угол между векторами и равен 60.

Решение. Как решить задачу?

Формула (определение скалярного произведения) не применима, поскольку неизвестны длины векторов и и угол между ними.

Формула (скалярное произведение в координатах) также не подходит, т.к. неизвестны координаты векторов.

Воспользуемся свойствами линейности и коммутативности скалярного произведения:

=

(далее используем определение скалярного произведения для векторов и )

.

4. В кубе найти угол между диагоналями и .

Решение. Построим прямоугольную систему координат OXYZ. Начало координат совместим с вершиной А, ось ОХ направим вдоль АВ, ось OY – вдоль AD, ось OZ – вдоль . Пусть длина стороны куба равна 1. Тогда , , - орты осей координат.

Рассмотрим векторы и . По правилу сложения и вычитания векторов

; .

Вычисляем косинус угла между векторами по формуле

:

.

Находим угол:

.

5. В треугольнике ABC с вершинами A(1,2,3), B(-1,0, 4), C(4,2, -1) найти длину высоты BD.

Решение.

Идея решения задачи. Выразим площадь треугольника двумя способами: по стандартной школьной формуле и через векторное произведение . Приравнивая площади, найдем высоту BD.

1. Находим координаты векторов и (из координат конца вычитаем координаты начала):

{-1-1;0-2;4-3}={-2;-2;1}; ={4-1;2-2;-1-3}={3;0;-4}.

2. Находим векторное произведение в координатах по формуле

.

.

3. Модуль (длина) векторного произведения вычисляется по формуле :

.

4. Площадь треугольника ABC равна

.

5. Находим длину основания:

.

6.Из формулы для площади треугольника

находим длину высоты BD:

; .

6. Найти координаты вектора длины , перпендикулярного векторам {-1;2;-2} и {1;2;4}, и образующего тупой угол с осью OX.

Решение. 1 способ (с использованием скалярного произведения). Обозначим неизвестные координаты вектора . Два условия перпендикулярности векторов () и заданная длина () позволяют составить систему 3 уравнений с 3 неизвестными. Решая систему, находим координаты вектора. Сделать самостоятельно.

2 способ (с использованием векторного произведения). Воспользуемся определением: векторное произведение – это вектор, ортогональный обоим векторам-сомножителям. Поскольку два перпендикуляра к плоскости параллельны, векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору . Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: , коэффициент пропорциональности  найдем как отношение длин векторов.

Переходим к вычислениям.

;

условие пропорциональности координат позволяет выразить неизвестные через :

Длина вектора равна

(не забудем модуль: ).

Находим величину  из условия :

,  ; .

Координаты вектора равны:

или .

Итак, мы нашли два вектора: и . Они оба перпендикулярны векторам и , и имеют заданную длину . Осталось последнее условие: вектор образует тупой угол с осью OX. Это означает, что

(во второй четверти косинус отрицателен).

Следовательно, данному условию удовлетворяет второй вектор . Ответ: .