ЛЕКЦИЯ 3 альб
.docЛЕКЦИЯ 3.
Решение задач по теме «Векторная алгебра»
1.Найти орт и направляющие косинусы вектора a{-4; 3; 12}.
Решение.
Длина вектора
;
.
Орт вектора
:
;
Направляющие
косинусы:
.
2. Проверить,
являются ли векторы
и
А) коллинеарными; Б) ортогональными.
Решение.
А)
.
Имеем:
.
Б)
.
Считаем:
.
3. Вычислить
скалярное произведение векторов
и
,
если
,
,
,
,
угол между векторами
и
равен 60.
Решение. Как решить задачу?
Формула
(определение скалярного произведения)
не применима, поскольку неизвестны
длины векторов
и
и угол между ними.
Формула
(скалярное произведение в координатах)
также не подходит, т.к. неизвестны
координаты векторов.
Воспользуемся свойствами линейности и коммутативности скалярного произведения:
=
(далее используем
определение скалярного произведения
для векторов
и
)
.
4. В кубе
найти угол между диагоналями
и
.
Решение. Построим
прямоугольную систему координат OXYZ.
Начало координат совместим с вершиной
А,
ось ОХ
направим вдоль АВ,
ось OY
– вдоль AD,
ось OZ
– вдоль
.
Пусть длина стороны куба равна 1. Тогда
,
,
- орты осей координат.
Рассмотрим векторы
и
.
По правилу сложения и вычитания векторов
;
.
Вычисляем косинус угла между векторами по формуле
:
.
Находим угол:
.
5. В треугольнике ABC с вершинами A(1,2,3), B(-1,0, 4), C(4,2, -1) найти длину высоты BD.
Решение.
Идея решения
задачи.
Выразим площадь треугольника двумя
способами: по стандартной школьной
формуле
и через векторное произведение
.
Приравнивая площади, найдем высоту BD.
1. Находим координаты
векторов
и
(из координат конца вычитаем координаты
начала):
{-1-1;0-2;4-3}={-2;-2;1};
={4-1;2-2;-1-3}={3;0;-4}.
2. Находим векторное произведение в координатах по формуле
.
.
3. Модуль (длина)
векторного произведения вычисляется
по формуле
:
.
4. Площадь треугольника ABC равна
.
5. Находим длину основания:
.
6.Из формулы для площади треугольника
находим длину высоты BD:
; 
.
6. Найти координаты
вектора
длины
,
перпендикулярного векторам
{-1;2;-2}
и
{1;2;4},
и образующего тупой угол с осью OX.
Решение.
1 способ
(с использованием скалярного произведения).
Обозначим неизвестные координаты
вектора
.
Два условия перпендикулярности векторов
(
)
и заданная длина (
)
позволяют составить систему 3 уравнений
с 3 неизвестными. Решая систему, находим
координаты вектора. Сделать самостоятельно.
2 способ
(с использованием векторного произведения).
Воспользуемся определением: векторное
произведение – это вектор, ортогональный
обоим векторам-сомножителям. Поскольку
два перпендикуляра к плоскости
параллельны, векторное произведение
есть вектор, коллинеарный вектору
.
Координаты коллинеарных векторов
пропорциональны:
,
коэффициент пропорциональности
найдем как отношение длин векторов.
Переходим к вычислениям.
;
условие пропорциональности координат позволяет выразить неизвестные через :
Длина
вектора
равна
(не забудем модуль:
).
Находим величину
из условия
:
,
;
.
Координаты
вектора
равны:
или
.
Итак, мы нашли два
вектора:
и
.
Они оба перпендикулярны векторам
и
,
и имеют заданную длину
.
Осталось последнее условие: вектор
образует тупой угол с осью OX.
Это означает, что
(во второй четверти
косинус отрицателен).
Следовательно,
данному условию удовлетворяет второй
вектор
.
Ответ:
.