Лекция 7

ЛЕКЦИЯ 7.

1. О приведении общего уравнения 2-го порядка на плоскости к каноническому виду

Напомним, что это уравнение имеет вид

, (1)

где

. (2)

Функция двух переменных

называется квадратичной формой, а матрица

называется матрицей квадратичной формы. (Она симметрична, т.е. совпадают коэффициенты, симметрично расположенные относительно главной диагонали).

Ее коэффициенты A и С, стоящие на главной диагонали – это коэффициенты при «квадратах»: при x² и y² соответственно.

Смешанный член 2Bxy можно записать так

,

так что B есть коэффициент как при xy, так и при yx, поэтому он занимает 2 места на побочной диагонали.

Определитель этой матрицы есть величина

.

Оказывается, знак этого определителя, а также знаки коэффициентов A и С при квадратах играют решающую роль при выяснении вопроса о типе кривой, заданной общим уравнением (1).

Функция двух переменных

есть, по определению, линейная функция.

Таким образом, левая часть уравнения (1) есть сумма:

квадратичная форма + линейная функция.

Все вместе есть квадратичная функция, или многочлен второй степени от переменных x и y.

Какие кривые или линии на плоскости может определять алгебраическое уравнение второго порядка (1) с условием (2)? Во-первых, общее уравнение (1) с условием (2) может определять одну из 3-х рассмотренных нами кривых второго порядка: эллипс, гиперболу или параболу (из которых первые две являются центральными, а последняя центра не имеет). Если это так, то параллельным сдвигом и поворотом координатных осей можно привести (1) к каноническому виду одной из трех указанных кривых.

Пример. Если уравнение (1) задает произвольный эллипс, то сдвиг начала координат в точку и поворот на угол  приводят уравнение эллипса к каноническому виду

Кроме того, (1) может определять пару прямых:

а) пересекающихся, например:

или ,

и в этом случае у множества решений уравнения (1), т.е. у пары прямых, есть центр симметрии – точка пересечения прямых;

б) параллельных, например:

или

и в этом случае есть линия центров симметрии,

а, значит, снова по крайней мере один центр есть;

в) совпадающих, например:

.

Снова есть линия центров, совпадающая с прямой.

Далее, (1) может определять точку, например

– «вырожденный» эллипс.

В этом случае опять центр есть.

Наконец, (1) может определять пустое множество

.

Определитель матрицы квадратичной формы

не меняется при сдвиге и повороте, или говорят, что он является инвариантом этих преобразований. В связи с этим линии второго порядка классифицируются по следующим трем типам:

1) эллиптический, при ;

2) гиперболический, при ;

3) параболический, при .

Такую же классификацию мы будем применять к уравнению (1).

Теорема. В зависимости от типа общее уравнение второго порядка

определяет одну из следующих линий:

• эллиптический тип: эллипс, точка, пустое множество;

• гиперболический тип: гипербола, пара пересекающихся прямых;

• параболический тип: парабола, пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых.

Доказывается, что для того, чтобы линия оказалась эллипсом необходимо, чтобы уравнение имело эллиптический тип, гиперболой – гиперболический, параболой – параболический.

Однако это лишь необходимые условия, но не достаточные. Например, уравнение эллиптического типа может определять и точку – вырожденный эллипс, и пустое множество .

2. Решение задач по теме "Кривые второго порядка на плоскости"

Задача 1. Найти точки пересечения прямой и эллипса .

Решение. Точки пересечения лежат одновременно на прямой и на эллипсе  их координаты удовлетворяют одновременно обоим уравнениям  надо решить систему

Выражаем x из первого уравнения: и подставляем во второе: . Решаем:

; ; ; ; ; , .

Подставляем найденные значения в первое уравнение и находим соответствующие x: ; .

Ответ: , .

Задача 2. Установить, какая линия определяется уравнением

и нарисовать ее на плоскости в системе координат.

Решение. Преобразуем уравнение:

; ;

выделяем полный квадрат ; ;

раскрываем скобки: (-4): .

Делим на (-4) и получаем каноническое уравнение гиперболы:

с центром в точке (2; -1) и полуосями .

Но исходное уравнение задает не всю гиперболу, а только ее часть. При возведении в квадрат надо учесть, что обе части равенства должны быть одного знака, т.е.

.

Получается часть гиперболы, расположенная над прямой .

3. Общее уравнение поверхности второго порядка

Рассмотрим общее уравнение второй степени в пространстве

. (3)

Это уравнение связывает три пространственные переменные и определяет поверхность второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве сложнее и разнообразнее, чем классификация кривых 2-го порядка на плоскости.

Уравнение (3) может определять поверхность в обычном смысле, но могут возникнуть и вырожденные случаи, например, пара плоскостей (пересекающихся, параллельных, совпадающих) или точка, или пустое множество.

Мы обратимся сейчас к некоторым важным поверхностям, представленным в канонической форме.

4. Эллипсоид

Уравнение

называется каноническим уравнением эллипсоида.

Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе координат может быть представлена этим уравнением.

Здесь – полуоси эллипсоида. Положим . Получим сечение эллипсоида координатной плоскостью XOY – эллипс:

Сечения другими координатными плоскостями также представляют собой эллипсы.

Если , то эллипсоид превращается в шар радиуса R с центром в начале координат:

.

5. Другие канонические поверхности второго порядка

Задание. Рассмотрите и нарисуйте поверхности (см. Клетеник "Сборник задач ..." §46):

– однополостный гиперболоид,

– двуполостный гиперболоид,

– гиперболический параболоид (седло),

– эллиптический параболоид,

– коническая поверхность,

– цилиндрическая поверхность.

Первая поверхность – однополостный гиперболоид получается при вращении прямой вокруг оси, которая с ней скрещивается (то есть не параллельна и не пересекается).

На этой идее основана сетчатая конструкция башни, созданная из стальных балок архитектором Шуховым в 1920-22 гг. Это знаменитая Радио- и Теле- башня на Шаболовке в Москве.