книги из ГПНТБ / Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие

Вычисления значительно упростятся, если промежуток инте­ грирования будет равен — 1, + 1. Перейдем к этому случаю с по­ мощью замены переменной

х = (а + Ь)12 + X (Ь — а)/2.

Нужно найти полином В0Х? + ...+ Вр, который наилучшим образом приближается в среднем к функции ц>(Х) =f[(a + Ь)12 +

+X(b — а)12] в промежутке между — 1 и + 1. Положим

1

Средняя величина квадрата ошибки

М = Е/2.

Учитывая формулы (5.7) и (5.8) и систему (5.9), можно написать

что

1 Р

Bp_tIi как функции интегралов / для различных значений Р

1-1

выводится на печать.

60

§ 5.4. Функциональные полиномы. Определение зависимости вход-выход в нелинейных' электрических системах

Соотношение между входом x(t) и выходом y(t) какого-либо уст­ ройства может быть представлено соотношением г/=/(х).Так как вход x(t) принимает различные значения в разные моменты времени, а выход может быть функцией этих значений (если контур имеет память), то соотношения у = f(x) и х = /(г/) на самом деле являются функцией от функции. Под х здесь понимается не число, а целый график, то же самое относится и к у. Поэтому можно поставить во­ прос следующим образом: если у известно, то чему равна связанная с ней величина х? (В этом случае применяется обозначение х = =/-1 (у)). Иначе говоря, если реакция системы — функция у — за­ висит от функции возмущения х, то возможно определение зави­ симости у различных значений хну даже для сложных систем. В случае простых элементов характеристика х от у является инвер­ сной и в этом случае инверсия тривиальна. Если же переменные связаны соотношениями через производные и интегралы, то инвер­ сии становятся намного более сложными и точная инверсия на прак­ тике невозможна. Задача инверсии включает в себя решение не­ линейных дифференциальных уравнений для неспециальных вы­ нуждающих функций.

Приближенные методы инверсии разработаны в теории функций в абстрактных пространствах. Выделяются два метода: инверсия с помощью рядов Тейлора и итерация (метод последовательных приближений).

Ряды Тейлора широко используются для вычислений функций с помощью ЭЦВМ. При этом необходимо иметь в виду, что, вычисляя функцию по ее разложению в ряд, если возможно, необходимо умень­ шить диапазон значений аргумента, для которых требуется это вы­ числение, что может, в свою очередь, значительно уменьшить ошибку округления. Так, например, определение синуса через его разло­ жение в степенной ряд пригодно для всех значений аргументов, но при этом подразумевается, что вычисление синуса необходимо производить с бесконечно большим количеством значащих цифр. На практике при вычислениях на ЭЦВМ степенной ряд для си­ нуса становится совершенно бесполезным при больших значениях аргумента. В рассматриваемом случае задача нахождения синуса произвольного угла сводится к задаче нахождения синуса угла, лежащего между —я/2 и тг/2. Эти предварительные операции с углом изменяют его ошибку.

Разложение по ряду Тейлора. Если можно определить функ­ цию и ее последовательные производные для значения а, близкого к х, то ряд Тейлора вблизи может быть записан в виде

61

Это является обобщением обычного полинома; рассмотренный полином будет частным случаем. Первый член #i(x) зависит от х в первой степени, второй Н2{х, х) — в квадрате и т. д. Выражения для первого члена Hi могут, например, иметь вид:

Характеристики любой линейной системы определяются пер­ вым членом уравнения (5.11) Я ь так как все остальные члены равны нулю. Выражения для второго члена Я 2 могут, например, иметь такой вид:

Н2(х) = xd"-x!dtn- + {dxldt)*-.

Аналогичным образом получаются выражения для членов бо­ лее высокого порядка. Большинство обычных функций, содержащих производные и интегралы высших степеней, могут быть членами функциональных полиномов. Это, однако, не относится к функциям вида x\dxldt\ и к комплексным переменным вида х = х + Zg, где Z — комплексное число. Но если это число может быть записано как полином по Z, то оно является функциональным полиномом.

Функцональные полиномы обладают свойством многолинейности: если член Я 2 {х, х) записан как Н2{х, р), то он линеен как по отношению х, так и по отношению р; аналогично Н3{х, р, а) линей­ но зависит от х, р и q. Это свойство очень важно для преобразова­ ния таких полиномов.

Данная нелинейная функция часто может быть представлена бесконечным функциональным рядом. Во многих случаях такое пред­ ставление очевидно. Например,

у{х) = xl{\ — dxldt) = х + xdx/dt + x{dxldtf + .... (5.13)

•62

Неизвестные коэффициенты с и d можно получить подстановкой уравнения (5.18) в (5.17) и приравниванием к 0 коэффициентов по­ добных членов.

К функциональным полиномам или рядам могут быть примене­ ны те же самые принципы, что и для нахождения инверсий обычных полиномов. Предполагается вид инверсного ряда, производятся подстановки и определяются коэффициенты сведением к нулю членов одного порядка.

§ 5.5. Структура алгоритмов синтеза электрических цепей при аппроксимации по Чебышеву

а. Задача синтеза

Под задачей синтеза понимается такой выбор структуры опре­ деленной части системы или значений некоторых ее параметров, или того и другого вместе, когда обеспечиваются наилучшие в не­ котором смысле свойства системы при заданных условиях ее рабо­ ты и заданных значениях тех параметров, определение которых не было целью синтеза.

Синтез электрических цепей по заданным характеристикам становится основой расчетов самых разнообразных электротехниче­ ских устройств. Решение задачи синтеза электрической цепи скла­ дывается из последовательного выполнения следующих самосто­ ятельных этапов: 1) представление одной электрической характе­ ристики (или нескольких характеристик), положенной в основу рас­ чета в виде некоторой функции от независимой переменной и про­ извольных параметров; 2) приближенное представление функции от независимой переменной посредством функции более узкого клас­ са, либо непосредственное определение свободных параметров, исхо­ дя из условия наилучшего приближения к заданной характеристи­ ке; 3) видоизменение полученного выражения с целью выделения электрических элементов схемы и физическое осуществление схемы.

Условия физической реализации схемы учитываются уже на лервом этапе решения, где они определяют класс или вид функции,

€4

представляющей ту или иную электрическую характеристику. Если первый и третий этапы основаны главным образом на использова­ нии законов электротехники, в частности теории электрических це­ пей, то второй этап состоит из чисто математических операций, являющихся элементами современной теории приближения или теории конструирования функций.

Для более ясного представления о практической ценности при­ водимых ниже математических задач рассмотрим две задачи син­ теза линейных электрических цепей, которые приводят к необхо­ димости привлечения аппарата приближения.

Расчет однозвенного балансного контура. Для получения мак­ симальной устойчивости канала, состоящего из усилителей, ли­ нии и дифференциальных систем, необходимо в рабочем диапазоне

Балансный контур состоит из сопротивления R и емкости С, включенных последовательно. Значение емкости определяется одно­ значно из условия задачи.

Поставленная задача приводит к необходимости найти в задан­ ном диапазоне частот наилучшее приближение функции Rc с по­ мощью полинома нулевой степени (постоянного) R.

Расчет фильтра с заданной характеристикой рабочего затухания.

Рабочее затухание фильтра нижних частот определяется формулой

&p = l n l / l + | q > ( Q ) | « ,

где ср(£2) — четная или нечетная функция, представляющая собой отношение двух полиномов, т. е. рациональную дробь.

Если поставить условие, чтобы рабочее затухание фильтра при некоторой частоте полосы задерживания было равно затуханию эха при частоте О полосы пропускания, то

При наименьшем значении величины L задача сводится к на­ хождению рациональной дроби, которая на одном из двух задан­ ных интервалов изменения переменного наименее уклоняется от нуля, а на втором из этих интервалов принимает наибольшие зна­ чения. Два кратко сформулированных примера приводят к необхо­ димости исследования экстремальных свойств полиномов и рацио­ нальных дробей.

б. Приближение функции по Чебышеву

Общая задача приближения заключается в том, чтобы найти функцию g(x), которая наилучшим образом приближает функцию f(x) в этом интервале. Выражение «наилучшим образом» может быть определено, например, интерполяционным способом или кри­ терием наименьших квадратов.

При интерполяционном способе приближающая функция совпа­ дает с приближенной в определенных (заданных) точках интервала приближения. Для получения достаточно хорошего приближения в этом случае необходимо иметь большое число точек интерполяции, что связано с громоздкими расчетами. Но даже и в этом случае нельзя быть уверенным, что между точками интерполяции уклоне­ ние реальной характеристики на заданной не превзойдет допусти­ мые значения. Квадратические приближения возникли в результате совершенствования интерполяционного метода.

Выражение «наилучшим образом» может также быть определено условием делать как можно меньшим наибольшее отклонение между функциями f(x) и g(x).

Равномерные приближения являются наиболее совершенными по сравнению с другими видами приближений, так как при задан­

g(x) от f(x) не превосходит этой заданной величины. Эти прибли­ жения называются чебышевскими или наилучшими в смысле Чебышева.

Функция g(x) более удобна в обращении, чем функция f(x). Она может представлять собой, например полином Р(х). Необхо­ димо отметить, что нахождение полинома, который дает максимум отклонения от /(х) на промежутке а, Ь наименьшем по сравнению с любым другим полиномом той же степени — задача очень слож­ ная. Часто ее заменяют более легкой и ищут полином, делающий этот максимум «по возможности» малым.

Многие из методов, применяемых для построения алгоритмов, используют для вычисления функций разложения полиномов Чебышева. Основное свойство последних следующее: среди полино­ мов Рп(х) степени п со старшим коэффициентом, равным единице, полином с наименьшей верхней гранью |Р„(х)| определяется фор­ мулой:

2"-ipa(x) = Ta{x).

Это имеет место при условии — l ^ x ^ l . Ортогональные поли­ номы могут определяться различными способами. Здесь полиномы Чебышева определяются как решения дифференциального уравне­ ния второго порядка:

(1 — л-2) d^yldx"- —xdy/dx + пгу = 0 (п — целое число). (5.19)

Другие свойства полиномов Чебышева выводятся из этого опре­ деления. Если х = cosO, то

66

Тп (х) — jUn (х) = (cos 0 — / sin 0)" = (х q = y ^ = 7 ) B .

мами Чебышева первого рода, имеют большое значение для синтеза

Данные выражения можно также получить, если решение дифференциального уравнения представить в виде обобщенного степенного ряда.

Для нахождения полиномов Чебышева любого порядка устано­ вим между ними рекуррентное соотношение, связывающее Тп+1(х),

сложна. Она может быть сформулирована в виде задачи нелинейного программирования, сводимой к последовательности задач линейного программирования. Сам расчет проводится на ЭЦВМ и представ­ ляет собой самостоятельный интерес.

Для того чтобы подчеркнуть эффективность полиномов Чебы­ шева, представим графически первые четыре полинома Чебышева

68

(рис. 5.1). Последующие полиномы по-прежнему колеблются меж­

Это поле равно полю, вызванному отдельным излучателем, умно­

Этот полином можно легко раскрыть и расположить по степеням cos(cp/2), поскольку каждое слагаемое вида cos(mG)/2) выражается через cos(d>/2) формулой: Tm [cos(0/2)].

Сделаем тождественно равными Рп _1 соэ(Ф/2) с полиномом Q степени п — 1, т. е. выражением Тп_у ^—cos_^_j | Т,, . ^ — j .

Следовательно, вторичные лепестки излучения одинаковы и равны 1/Тп_г(\/а), в то время как главный лепесток равен единице. Если задан предел в последнем выражении, то он определяет величину а, т. е. коэффициенты ап, и позволяет найти соотношение между

формула определяет а и токи. При этом уровень вторичных лепест­ ков оказывается наиболее низким.

69