книги из ГПНТБ / Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие

•перенумерованных ранее. Положительное направление токов в вет­ ви принимается от узла с меньшим номером — к узлу с большим номером. Каждый узел цепи полностью характеризуется числом ветвей, примыкающих к нему; проводимостью каждой ветви и но­ мером второго узла данной ветви (перечисленные характеристики являются сопутствующей информацией).

Для решения (6.30) можно воспользоваться решением задачи Дирихле методом сеток: во всех узлах цепи задаются произволь­ ным приближенным значением напряжения. Затем, используя информацию, заданную в первом узле цепи, вычисляют коэффициен­ ты первого уравнения системы (6.30). Далее, стирая начальные зна­ чения напряжения в первом узле и заменяя их результатом под­ становки значений напряжения в соседних узлах в первое уравне­ ние, получают новое приближенное значение напряжения в первом узле. Поступив аналогичным образом со всеми узлами, получают новые приближенные значения напряжений во всех узлах цепи. Повторив весь процесс k раз, находят приближенное значение на­ пряжения £/(?'(г = 1, 2, п), которое при некоторых ограниче­ ниях, наложенных на матрицу системы, сходится к точному реше­ нию (6.30) при /г-voo.

После того как будут определены все напряжения, вычисляют ток для узла i, в котором предполагается приложенным единич­ ное напряжение U = 1 + /0.

где ijjjj и tyiq —фазовые узлы собственных и взаимных сопротив­ лений.

Результаты расчета для узла i выводятся на печать, далее на­ чинается аналогичный расчет для следующего узла.

При отключенных нагрузках расчет начинается с определения проводимостей ветвей по формулам (6.27), а затем — по формулам (6.31) — (6.33). Напряжение балансирующего узла принимается

100

§7.1. Четырехполюсники

иих математические модели

а. Общие замечания

Четырехполюсник — это электрическая цепь, в которой раз­ личают два входных и два выходных зажима. При изучении цепей со свойствами, заданными относительно внешних зажимов, целе­ сообразно представление их в виде ряда четырехполюсников. Это весьма эффективно, в частности, при исследовании процессов в длинных линиях с распределенными параметрами: волноводах, линиях задержки, длинных линиях электропередачи и т. п.

Используя математическую модель четырехполюсника, можно легко разбивать сложные электронные схемы на элементарные пас­ сивные четырехполюсники, находящиеся в различных соединениях соответственно электрической и геометрической структуре цепи. Так, например, при анализе длинных линий широкое применение получили каскадные соединения четырехполюсников. При иссле­ довании процессов в трансформаторах и индукционных двигателях оказывается возможным пользоваться эквивалентными линейными схемами, составленными из четырехполюсников с цепочечной струк­ турой, последовательно-параллельного соединения и т. п.

Характерной чертой анализа четырехполюсника является то,, что формулировка задач может быть сведена к математической мо­ дели в виде матрицы 2 x 2 . С помощью четырехполюсников могут успешно решаться и некоторые задачи синтеза, т. е. задачи опре­ деления параметров и конфигурации схемы по заданным токам и напряжениям, например, синтез четырехполюсника по заданной частотной характеристике; переход от алгоритма, описывающей} свойства цепи, к выбору оптимальной схемы цепи. Подобные за­ дачи встречаются в автоматике, технике связи, телемеханике и т. д.

Пользуясь уравнениями четырехполюсника, рассматривают на­ пряжения и токи, связывающие входные и выходные зажимы четы­ рехполюсника вне зависимости от структуры его внутренней схемы. Поэтому применение уравнений четырехполюсника при изучении сложных систем позволяет существенно упростить расчетные выкладки и измерения. Если задача расчета сложной электронной системы (например, расчет четырехполюсника для согласования полных сопротивлений, фильтра, усилителя с обратной связью, или транзисторного генератора) решается методами классического анализа, то в результате получается система совместных уравне­ ний. Решение такой задачи серьезно упрощается, если пользо­ ваться обобщенными параметрами четырехполюсника.

102

Для расчета четырехполюсников, соединенных между собой, необходимо знать их уравнения и параметры. При этом достаточно рассматривать условия передачи четырехполюсника лишь в одном направлении, так как эти условия будут справедливы и при пере­ даче в обратном направлении, что вытекает из теоремы обратимо­ сти. Особенность рассматриваемых уравнений такова, что они по­ зволяют применять одни и те же способы исследования и расчета режимов к самым различным пассивным электрическим устройст­ вам.

Поскольку в четырехполюснике рассматривается только то, что происходит на входе и выходе (на входных и выходных зажи­ мах), то любой четырехполюсник как активный, так и пассивный,

Рис. 7.1. Структурная схема четырехполюсника без нагрузок

часто представляют~в"виде «черного ящика» с двумя парами зажи­ мов. В результате этого четырехполюсник можно характеризовать с помощью характеристик передачи для каждой из систем парамет­ ров Z, Y, h, g и ABCD. Системы параметров, образующих внутрен­ нюю матрицу четырехполюсника, будут различными, что зависит от

равноправны, то использование той или другой системы зависит от характера решаемой задачи.

Математическая модель четырехполюсника может отражать на­ личие активных или пассивных элементов. На рис. 7.1 представ­ лена обобщенная линейная модель четырехполюсника с условно принятыми направлениями токов и знаками напряжений (подобный выбор дает возможность избежать отрицательных знаков в мате­ матической модели четырехполюсника). Предполагается, что мо­ дель содержит только сопротивления, индуктивности, емкости, электродвигатели с одинаковой угловой частотой со или усилители при условии работы в линейном режиме. Проведение практических расчетов с использованием математической модели четырехполюс­ ника в случае сложных цепей связано с трудоемкими расчетами •определения матрицы эквивалентного четырехполюсника по задан­ ным матрицам отдельных четырехполюсников, входящих в цепочку соединений.

Применение ЭЦВМ создает возможность производить операции одновременно над большим конечным числом четырехполюсников схемы. В этом случае при переходе от одного типа соединений к

103

другому операции по преобразованию матриц не налагают какихлибо ограничений. Построенные на основе уравнений четырехпо­ люсника алгоритмы относятся к эффективным при рассмотрении указанного класса задач.

Пользуясь методом сложных матриц, можно исключить из пол­ ной системы уравнений токи и напряжения внутренних контуров,, не имеющих практического значения при исследовании или реше­ нии той или иной задачи. Исключение токов и напряжений связа­ но с исключением внутренних контуров четырехполюсников, в результате этого основные действия, которые необходимо произ­ вести для расчета, сводятся к стандартным операциям, имеющим, циклическую основу. Вычисление производится по одной схеме и формулам, в которые при каждом их использовании подставляются новые исходные данные.

Для проведения частных вычислений, например вычислений входных сопротивлений и т. п., в программе внутри основного цик­ ла могут быть построены внутренние циклы, которые используют­ ся для изменения направления вычислительного процесса в зависи­ мости от результатов промежуточных вычислений.

Используя математическую модель четырехполюсника и рас­ сматривая отдельные элементы матриц как неделимые единицы информации, а совокупность элементов каждой определенной мат­ рицы как самостоятельный класс информации, можно установить ряд общих свойств алгоритмов для большой группы линейных цепей.

Теорию четырехполюсника нецелесообразно применять дл» создания алгоритмов с целью исследования элементарных схем.

б. Уравнения четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника можно рассматривать как част­ ный случай уравнений узловых напряжений и контурных токов.

Для уравнений контурных токов и узловых напряжений соот­ ветственно в общем случае

104

В (7.1) и (7.2) все элементы являются комплексными величинами. Матрица || Zl 7 l || " будет обратной по отношению к матрице II Ущ II ь составленной для системы линейных уравнений узловых

напряжений.

По условию, пользуясь методом четырехполюсника, описывают поведение цепи относительно ее внешних зажимов. Поэтому матри­ ца состояния схемы, имеющая по структуре п контуров, должна быть заменена матрицей состояния четырехполюсника. Это означа­ ет, что в полной системе уравнений токи внутренних контуров или напряжения узлов цепи выражают через токи и напряжения на зажимах по формулам (7.2) и (7.3):

матрица полных сопротивлений, представляющая собой харак­ теристическую матрицу полных сопротивлений холостого хода че­ тырехполюсника.

Полученные параметры называются параметрами холостого хо­ да, так как все характеристические сопротивления определяются в условиях холостого хода на входе или на выходе четырехполюс­ ника. В этой системе параметров независимыми переменными будут Ii и / 2 , а функциями—Ui и U2 (СЛ и U2 соответственно напряжения на входе и выходе четырехполюсника).

В случае, если процессы в электрической цепи описываются уравнениями, составленными по методу узловых напряжений, ана­ логично предыдущему из уравнений исключают все напряжения

внутренних узлов (оставляюттолько напряжения Ui и U2 относи­

характеристическая матрица полных проводимостей короткого за­ мыкания.

Таким образом, уравнения четырехполюсника рассматриваются как частный случай уравнений узловых напряжений или контурных токов с исключенными координатами внутренних контуров.

105

направлении при разомкнутых входных зажимах (эта величина ха­

передачи в прямом направлении при разомкнутых выходных за­

с длинными линиями, когда пассивный четырехполюсник передает энергию от источника к потребителю, целесообразно иметь логичес­ кую связь между входными и выходными величинами в виде ана­

Решая совместно системы уравнений четырехполюсника для контурных токов и узловых напряжений, получим следующую ли­ нейную зависимость между токами и напряжениями:

Постоянные А, В, С, D — комплексные величины; они зависят от структуры рассматриваемого четырехполюсника и представляют собой матрицу обобщенных параметров четырехполюсника

m = А В

С D

А и D — безразмерные величины и соответственно равны

А = Z n / Z 1 2 = У^У\г\ D = ZzJZlZ = Уц/У^,

где А — коэффициент передачи по напряжению в обратном нап­

106

так как оба эти параметра определяются при короткозамкнутом вы­ ходе.

что может служить контролем правильности расчета коэффициен­ тов четырехполюсника.

При постоянном токе математическая модель четырехполюсника содержит только действительные величины.

Если по отношению к четырехполюснику поменять местами на­ пряжения, то математическая его модель запишется в следующем виде:

U i r DU2 + В12; I x = CU2 + AJ2.

Если при этой перемене местами токи источника и приемника не изменяются, то четырехполюсник называется симметричным. Входные сопротивления и проводимости со сторон первичных и вто­ ричных зажимов при этом

2 n = Z2 2 ; Z 1 2 =Zi-s] Yl2 = У2 1 ; У п = Y22.

У несимметричных четырехполюсников не выполняется равенство входных сопротивлений и сопротивлений передачи со стороны вход­ ных и выходных зажимов. Большое распространение несимметрич­ ные четырехполюсники получили при рассмотрении вопросов тео­ рии фильтров.

107

условиях короткого замыкания на выходе, a 1ц — при разомкнутом

циенту передачи по напряжению в обратном направлении при ра­ зомкнутых входных зажимах; /г2 1 = IJh при U2 = 0 — безраз­ мерная величина; равна коэффициенту передачи по току в прямом

Матрица g, она обратна матрице h. В системе ^-параметров не­ зависимыми переменными величинами будут Ui и 12, а функция­ ми — И2 и Ii. Уравнения четырехполюсника имеют вид

личина; представляет собой коэффициент передачи по току в обрат­

передачи по напряжению в прямом направлении при разомкнутом

чина g22 обратна величине У 2 2 , поскольку оба эти параметра опре­ деляются при коротком замыкании на входе.

108

г. Преобразование характеристических матриц

В предыдущем разделе было рассмотрено несколько систем мат­ ричных параметров, которыми может быть описан четырехполюс­ ник. Системы эти получаются путем перестановки относительных положений зависимых и независимых переменных в уравнениях, описывающих четырехполюсник. Рассмотренные различные мате­ матические модели четырехполюсника по существу идентичны. Действительно, всякую систему матриц можно выразить через пара­ метры любой из систем рассмотренных выше матриц. С позиции алгоритмизации такое преобразование позволяет упростить мате­ матические модели сложных электронных схем и осуществить син­ тез схем из элементарных четырехполюсников. Алгоритм решения относительно неизвестной величины будет одинаков для всех слу­ чаев. Реализуется он путем алгебраических преобразований по иден­ тичной схеме.

Рассмотрим преобразование матрицы Z в матрицу Y и матрицы g в матрицу h, матриц Y и h в матрицу ABCD. Целесообразностьэтих преобразований очевидна при построении алгоритмов опре­ деления параметров четырехполюсника, который в дальнейшем может использоваться при рассмотрении процессов в длинных ли­ ниях электропередачу анализе и синтезе усилителей с обратной связью и генераторов.

Преобразование матрицы Z в матрицу Y. Преобразуем соотно­ шения (7.3) так, чтобы Ut и U2 были независимые переменные. Для этого решим уравнения относительно / 4 и / 2 , в результате чего по­ лучим

Ui Zi*

Таким образом, получена матрица проводимости Y, выраженная через параметры матрицы Z . Элементы матрицы Y можно обозначить

как У и = Z2 2 /A2 , Уи = —ZIB/AS; Yu = —Z2l/A2; K 2 2 = Zn/Az .

Преобразование матрицы g в матрицу h. Решая систему урав­ нений (7.9) с помощью детерминатов относительно £/4 и / 2 , получим

109