книги из ГПНТБ / Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие

большое распространение получил метод симметричных составляю­ щих. Рассмотрим применение этого метода для построения алгорит­ мов анализа несимметричных режимов и переходных процессов электрических цепей с учетом уменьшения избыточности исходной информации.

Сложные несимметричные режимы в электрической системе соз­ даются при нарушении условия симметрии: в результате различ­ ных повреждений или в результате нормального режима трехфаз­ ной системы с подключенными к ней несимметричными нагрузками. В данном случае (как и при ручном счете) целесообразно использо­ вать метод симметричных составляющих, позволяющий единствен­ ным образом разложить произвольную несимметричную систему трех векторов на три симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Каждая из этих схем последовательностей сводится обычным путем к расчетной схеме, приведенной к одной фазе. Алгебраиче­ ским отображением метода симметричных составляющих является сведение системы уравнения с тремя группами неизвестных к трем независимым системам уравнений, в каждой из которых имеется только одна группа неизвестных. Матрица сопротивлений или про­ водимостей каждой группы уравнений симметрична. Для реализации алгоритмов в этом случае используются качества, присущие урав­ нениям с симметричной матрицей коэффициентов, рассмотренные выше.

При изучении различных аварийных режимов изолированное разделение на три независимые системы невозможно (исключение составляют простейшие случаи), поэтому при создании алгоритма должны быть введены связи между системами различных последо­ вательностей. Эти связи определяются уравнениями, которые за­ даются видом нарушения симметрии системы. Применение метода симметричных составляющих не всегда приводит к экономному построению алгоритмов. К таким случаям относятся, например, сложные несимметричные режимы, возникающие в симметричной сети при подключении к ней несимметричных нагрузок во многих ее пунктах. Длительное нарушение симметрии может также иметь место и в условиях нормальной эксплуатации при электрификации железных дорог с питанием их однофазным током промышленной частоты.

Для большинства задач к значительным упрощениям расчетной схемы, увеличению точности расчета и сокращению числа операций при рассмотрении переходных процессов в сложных линейных элек­ трических цепях приводит применение метода симметричных состав­ ляющих с использованием метода последовательных приближений Зейделя — Гаусса.

Можно доказать, что все электротехнические методы построе­ ния решений установившихся режимов линейных электрических цепей, используемые при алгоритмизации, могут применяться и для переходных процессов в линейных цепях, например, методы узловых напряжений и контурных токов. Переходные процессы,

90

возникающие в трехфазных цепях даже в том случае, когда пара­ метры электрической цепи (активные сопротивления, емкости, индуктивности) приняты постоянными, описываются дифферен­ циальными уравнениями высокого порядка.

Учет ненулевых начальных условий усложняет схему счета, так как задачи с ненулевыми начальными условиями являются осо­ бенно неблагоприятными с точки зрения точности приближенных методов. В этих задачах необходим продолжительный последова­ тельный счет, поэтому неточности, допущенные вначале, влияют на все дальнейшие вычисления: неточности в некоторых значениях у(х) вызывают систематическую нарастающую погрешность, при­ водящую к тому, что решения, близкие при х = xi, заметно разли­ чаются при х = хп. Естественно в таких случаях стремление свести решения к системам с линейными уравнениями для разных после­ довательностей.

Используя принцип независимости разных последовательностей симметричных, составляющих токов и напряжений в симметричной трехфазной цепи, а также комплексные схемы замещения, можно построить алгоритм для исследования переходных процессов, ко­ торый имеет такую же форму записи, как и для установившихся процессов. Для построения такого алгоритма используют метод приведения к установившемуся режиму и интеграл Фурье (частот­ ные методы). Применяя эти методы, можно распространить алгорит­ мы, предназначенные для изучения установившихся процессов, на изучение переходных процессов простым алгебраическим расшире­ нием. Так, например, согласно методу приведения к установивше­ муся режиму при исследовании переходного процесса на интер­

вале от 0 до 0ft принято, что приложенная э. д. с. Еа, Еь, ^ д е й с т ­ вует только на этом интервале. Для определения n-й гармоники

Мгновенные значения для данной фазы определяются суммиро­ ванием тригонометрического ряда.

91

Использование частотных методов дает возможность сохранить основную особенность метода симметричных составляющих —пред­ ставление расчетной схемы однофазной схемой со всеми свойствами симметричных матриц для конструирования экономного алгорит­ ма.

§ 6.5. Построение алгоритмов

спомощью сложных матриц

иматриц, приведенных

к каноническому виду

а. Форма сложных матриц для записи алгоритмов

При рассмотрении сложных цепей возникает необходимость характеризовать их более простой и компактной формой записи, обеспечивающей проведение линейных преобразований. Вместо конкретно определяемых действий, относящихся большей частью к числам, исходят из общего понятия действия или операции. При этом записывают зависимость порядка выполнения операций, не прибегая к полным схемам. Примером такой формы записи также

Данная матрица системой вертикальных и горизонтальных пун­ ктирных прямых разбита на подматрицы. Разбиение матрицы про­ изведено таким образом, что все диагональные подматрицы являют­ ся квадратными и разбиение оказывается симметричным.

Обозначим каждую из подматриц одной буквой:

92

Исходная матрица z становится матрицей матриц или, иначе говоря, клеточной матрицей и может быть представлена следую­ щим образом:

Полученные подматрицы могут складываться и перемножаться так, как если бы их клетки были обыкновенными матричными эле­ ментами. Результат каждой операции будет аналогичен результатам операций над исходными матрицами: пусть в квадратной матрице z' того же порядка, что матрица z, произведено разбиение на под­ матрицы согласованным образом. При этом соответственно распо­ ложение клеток матрицы z' будет того же порядка, что и у матри­ цы z:

Заменяя подматрицы их полными выражениями, производя все необходимые действия с ними и устраняя вертикальные и горизон­ тальные пунктирные прямые, получаем тот же результат, что и при непосредственном перемножении матриц, из которых составлены данные сложные матрицы.

Система линейных уравнений, составленная по методу кон­ турных токов или узловых напряжений, отображающая электромаг­ нитные процессы в данной электрической цепи, как было показано выше, может быть представлена матричным уравнением. Поэтому сложные матрицы можно рассматривать как алгебраическое ото­ бражение сложной электрической цепи и ее подсхем. Используя сложные матрицы, можно разбить одно матричное уравнение на несколько, что обеспечивает исключение уравнений контуров элек­ трических цепей, не представляющих интереса для анализа (в исклю­ чаемых контурах напряжение может либо отсутствовать, либо быть

93

приложенным). С помощью сложных матриц система вида zl = е представляется в виде двух матричных уравнений:

где элементы матрицы сопротивлений определяются соответствую­ щими выражениями подматриц, приведенными выше.

Рассмотрим исключение контуров при наличии приложенных э. д. с. в последних {формулы исключения зависят от характеристики исключаемого контура).

Предположим, что в системе, состоящей из п линейных уравне­ ний для контурных токов, представленной в виде двух систем в мат­ ричном виде типа (6.20), подлежат исключению токи i 2 в контурах и э. д. с. е2. После элементарных преобразований формула исклю­ чения примет вид:

Z = 21 Х — 2j2 222Z2j.

Матричное уравнение вида е' = z'l содержит меньшее число строк, чем исходное.

Приложенное напряжение определяется как

е' = е—21 2 222e2 .

Искомая система токов с может быть найдена как произведение обратной матрицы полных сопротивлений на е'.

Использование сложных матриц при реализации алгоритма, построенного на основе метода контурных токов или узловых на­ пряжений, позволяет расчленить сложную матрицу на ряд более простых матриц и реализовать алгоритм как некоторую схему его последовательных применений. Общий алгоритм для решения слож­ ной задачи строится при этом достаточно экономно. Существенные преимущества применения сложных матриц выявляются при пост­ роении композиции алгоритмов, включающих в себя операцию оты­ скания матрицы, и зависят от вида тех матриц, для которых нужно находить обратные. Алгоритм, построенный с учетом сложных мат­ риц, допускает различные видоизменения. Благодаря этому задача отыскания матрицы, обратной заданной матрице, сводится к ана­ логичной задаче для нескольких матриц низшего порядка.

б. Применение матриц канонического вида

Приведение матриц к каноническому виду сводится к замене данной матрицы матрицей того же порядка, но имеющей заранее назначенную (более простую) форму. Поэтому такое приведение позволяет осуществить в ряде случаев нахождение системы тожде­ ственных преобразований электротехнических алгоритмов. Алго­ ритм, обладая свойством полноты исходного алгоритма, в то же время будет иметь более простую конструкцию.

94

Пусть дано уравнение электрической цепи, записанное в матрич­ ном виде:

I = уЕ;

(6.21)

y = \\yik И?.

где Е и I соответственно столбцы с элементами E i , ., Еп и h, ..,

In-

Представим, что Е и I есть векторы в /г-мерном векторном про­ странстве. Координаты в этом пространстве преобразуем следую­ щим образом:

95

В общем случае, когда вдоль главной диагонали расположены квадратные клетки, в каждой из которых повторяется одно и то же число, например, в первой клетке Xi, во второй Х2 и т. д., а парал­ лельный ряд над главной диагональю состоит из единиц, форма матрицы определяется однозначно на основе теории элементарных делителей (указанную матрицу принято называть нормальной или

имеющей жорданову форму).

Выбрав неособенную матрицу Т = \\tih\\1 так, чтобы исходная матрица имела формы (6.23) или жорданову, и подставляя I = Ту в исходное матричное уравнение, получаем систему уравнений, при­ веденную к более оптимальным формам. Реализация полученной системы уравнений сводится в ряде случаев к многократному пов­ торению решения уравнения одного типа. Ограничением в приве­ дении матриц к каноническому виду может явиться сложность построения композиций алгоритмов. Алгоритмы могут оказаться слишком громоздкими, а схемы — содержать большое число фор­ мул. Серьезным препятствием материальной реализации алгорит­ ма служит в ряде случаев недостаточный объем памяти ЭЦВМ — для ряда машин большое время выборки чисел из нее. Поэтому рас­ смотренный метод в указанных случаях для расчета электрических цепей может оказаться неэффективным.

§ 6.6. Построение алгоритма расчета взаимных и собственных лроводимостей (сопротивлений)

а. Способы определения элементов матриц проводимостей (сопротивлений)

В задаче анализа электрических цепей считается заданной квад­ ратная матрица проводимостей (сопротивлений), характеризующая пассивную цепь. При этом у = z- 1 . Элементами симметричных мат­ риц линейных электрических цепей служат вещественные или ком­ плексные величины, представляющие собой взаимные и собственные проводимости (сопротивления), входящие в различных ком­ бинациях в уравнения, которые описывают электромагнитные про­ цессы в сложных цепях.

В расположении элементы матрицы рассматриваются как еди­ ное целое. На главной ее диагонали расположены элементы вида

Уи Z

* mm " **ттш

Строки электротехнической матрицы проводимости (сопротивле­ ний) линейно независимы. Взаимным сопротивлением между двумя любыми ветвями тип называется отношение э. д. с , приложенной в ветви т к току, протекающему в ветви п

96

при равных нулю э. д. с. прочих источников питания. При т = пу когда ток рассматривается в той же ветви, к которой подключен

источник э. д. с , отношение Zmn= E/Im (6.25) называется собствен­ ным сопротивлением.

Взаимные и собственные проводимости (сопротивления) опре­ деляются окончательной конфигурацией схемы и величиной прово­ димостей (сопротивлений) отдельных ее ветвей. В сложных схемах с большим количеством звеньев определение полных взаимных и собственных сопротивлений является трудоемкой задачей (большой

На практике для отыскания взаимных и собственных проводи­ мостей (сопротивлений) используют статические модели переменно­ го тока, что дает возможность заменить вычисления непосредствен­ ными измерениями токов и напряжений в цепи, отображающей исследуемую систему. Но при этом не всегда удается с нужной сте­ пенью точности определить значения взаимных и собственных сопро­ тивлений.

При использовании ЭЦВМ алгоритм расчета взаимных и соб­ ственных проводимостей (сопротивлений) строится таким образом, чтобы можно было определять нужные величины для сколь угодно сложных цепей при любых значениях параметров отдельных ветвей схемы. Дополнительный труд для подготовки исходной информации при этом должен сводиться к минимуму. Он заключается в том, чтореальная электрическая цепь (состоящая из индуктивных, емкост­ ных и активных проводимостей) заменяется некоторой цепью, отоб­ ражающей в определенном масштабе исследуемую цепь, и наносится информация (на сменные ленты или перфокарты) относительно пара­ метров и геометрической структуры цепи нужного варианта.

Программа определения элементов электрических матриц долж­ на явиться практически стандартной подпрограммой для формиро­ вания алгоритмов математических моделей электрических цепей. Взаимные и собственные сопротивления применительно, например

кэнергосистемам, вычисляются при следующих условиях:

1)фактически имеющихся нагрузках, представленных сопро­ тивлениями. Например, при рассмотрении задач устойчивости, по-

токораспределения, переходных процессов в дальних передачах при авариях и т. п.;

2) разомкнутых элементах, соответствующих нагрузкам. На­ пример, в ряде задач, связанных с расчетом напряжений в энерго­ системе, питающей несимметричные нагрузки. При учете нагрузок последние заменяются проводимостями в соответствующем узле р:

—jYpo — проводимость, соответствующая нагрузке, приложенной в. узле р. К любому узлу i прикладывается единичное напряжение U

97

{например, U = 1 + /0), а все э. д. с , действующие в системе, за­ корочены. Далее определяются токи в ветвях и взаимные сопро­ тивления узла i и остальных узлов по формуле (6.24), а также соб­ ственное сопротивление по формуле (6.25). Расчет повторяется до тех пор, пока не будут найдены все собственные и взаимные сопро­ тивления с учетом, что Z„( J l = Znm.

При отключенных нагрузках сопротивления, эквивалентирующие нагрузки и генерирующие узлы размыкаются. К любому узлу i

УПР ~ 2 УРЯ > УРР — 2 УРЯ >

яя

где q — количество узлов, соединенных с узлом р. Суммирование выполняется по всем узлам, соединенным с данным:

Для каждой схемы сети эти величины считаются только один раз.

б. Алгоритм расчета

Из сравнительного анализа уравнений, записанных относительно контурных токов и узловых напряжений, видно, что для построения алгоритма определения взаимных и собственных проводимостей (сопротивлений) наиболее применим метод узловых напряжений. Решение уравнений, составленных по методу узловых напряжений, на ЭЦВМ проще вести итерационными методами, которые заклю­ чаются в том, что программа решения сводится к повторению про­ стых однотипных кусков. Пользуясь для решения прямыми мето­ дами, необходимо считаться с возможностью потери верных знаков при преобразовании исходных уравнений. А так как ЭЦВМ не поз-

98

воляет «подправлять» что-либо в процессе вычислений, то все воз-' можные затруднения должны быть предусмотрены заранее, что усложняет программы для прямых методов.

Недостаток итерационных методов — большой объем простых. вычислений — устраняется за счет высокой скорости современных ЭЦВМ.

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что расчет целесообразно вести итерационными методами, например методом Зейделя. Этот метод заключается в следующем. Считают, что в узле, для которого определяются собственные и взаимные сопротив­ ления, приложено единичное напряжение.

Для узла р (рис. (6.3)

q;q*p ч; ЧФР

Суммирование производится, во всех узлах, соединенных с дан­

ным.

Для цепи, содержащей п узлов (исключая узел, принятый за начальную координату отсчета), получаем п уравнений, связываю­ щих п переменных.

Использование представленного матрицей совпадения алгеб­ раического выражения геометрической структуры рассматриваемой электрической цепи связано с введением большого количества ну­ лей в эту матрицу, что увеличит объем вводимой информации. Поэтому в машину вводится минимальное число параметров, через

99