книги из ГПНТБ / Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие

в. Экономизация степенных рядов

Полиномы Чебышева имеет смысл использовать в стандартных подпрограммах, применяемых в электротехнических расчетах. Раз­ ложение функции в ряд по полиномам Чебышева для использования в одном частном случае нецелесообразно, так как требует слишком больших затрат труда на программирование. Используя полиномы Чебышева, можно уменьшить число членов в заданных (конечных) степенных рядах без уменьшения точности последующего числового расчета. Найти исправленные коэффициенты несложно, поэтому данный метод, называемый экономизацией степенного ряда, может широко применяться для программирования. При вычислении зна­ чения степенного ряда на ЭЦВМ в этом случае приходится хранить в ЗУ меньшее число коэффициентов. Уменьшается также и коли­ чество арифметических операций, нужных для вычисления ряда при заданном значении переменной. Такая экономизацня особенно целесообразна при использовании подпрограмм, которые должны занимать наименьшее число ячеек памяти и затрачивать меньше времени для реализации их содержимого.

Предположим, что х изменяется на отрезке —• 1<^х'^1 и экономизации подлежит отрезок разложения в степенной ряд функции

При больших п каждый из Ъг меньше, чем соответствующий ко­

уравнения (5.29) можно пренебречь, тогда полученный ряд будет давать численные значения с ошибкой, меньшей е, для любого х

70

основы

ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

§ 6.1. Методы построения уравнений электрической цепи

Физический электромагнитный процесс, протекающий в элек­ трической цепи, можно охарактеризовать, например токами, про­ ходящими в цепи, и приложенными к ней напряжениями. Расчет цепей сводится к постановке следующей задачи. Заданы: электри­ ческие параметры цепи, законы изменения э. д. с , входящих в рас­ сматриваемую цепь; требуется определить токораспределение и напряжения в узлах.

Основой для описания процессов в электрической цепи явля­ ются уравнения Кирхгофа совместно с уравнениями, связывающими ток и напряжение на каждой компоненте цепи через ее парамет­ ры. Для обычного линейного сопротивления уравнение протекаю­ щего процесса составляется на основании закона Ома, для линей­ ного конденсатора — на основании закона Фарадея и т. д. Уравне­ ние, связывающее ток и напряжение на линейной компоненте, будет простым уравнением, так как имеет лишь один коэффициент пропорциональности, являющийся электрическим параметром.

Внеразветвленной электрической цепи расчет тока производит­ ся по закону Ома. В сложной разветвленной цепи общее построе­ ние решений поставленной задачи можно получить при использо­ вании законов Кирхгофа.

Вобщем случае аналитическая запись закона Ома для нели­ нейных компонент представляет собой нелинейное дифференциаль­ ное уравнение, решение которого может производиться с исполь­ зованием различных аппроксимаций. В основу описаний нелинейных компонент при помощи уравнений Кирхгофа положены вольтамперные и, при необходимости, временные характеристики не­ линейных компонент. Характерные точки или участки электричес­ ких характеристик (координаты точек, производные в точках или на участках и т. д.) считаются электрическими параметрами.

Трудность анализа с помощью законов Кирхгофа1 определяет­ ся большой разветвленностью цепи и сложностью, возникающих процессов. На практике с целью резкого сокращения числа уравне­ ний и количества вычислений применяют методы построения реше­ ний, связанные с использованием общих свойств уравнений электри-

1 Первый закон Кирхгофа для q узлов дает q уравнений; по второму за­ кону для п независимых контуров имеем п уравнений. Получается (n+q) уравнений, определяющих (л + 17) токов. После ввода контурных токов, автоматически удовлетворяющих первому закону Кирхгофа, решается сис­ тема только из п уравнений. Ток в каждой ветви можно записать как сумму контурных токов.

71

ческих цепей, а также с непосредственными электротехническими преобразованиями конфигурации схем, искусственным введением источников.

Решения систем уравнений, описывающих протекающие процес­ сы в электрической цепи, могут производиться, основываясь на следующих электротехнических методах: контурных токов; узловых напряжений; свертывания параллельных ветвей; эквивалентного генератора; преобразования п-лучевой звезды в эквивалентный многоугольник и многоугольника (треугольника) в и-лучевую звезду; суперпозиции; взаимности; компенсации. Некоторые из перечисленных методов, эффективно используемые при ручном сче­ те, не имеют такого же значения для алгоритмизации электротех­ нических задач на ЭЦВМ. Поясним вышесказанное при непосред­ ственном рассмотрении самих методов.

Метод преобразования «-лучевой звезды в эквивалентный мно­ гоугольник. n-лучевая звезда, образованная соединением какоголибо узла с X другими узлами посредством сопротивлений Z 1 ( Z2 ,

ZQ , может быть заменена эквивалентным ей полным п-угольни- ком со всеми возможными п(н — 3)/2 диагоналями. Суммарное число ветвей этого многоугольника будет п(п — 1)/2. Сопротивление ветви многоугольника, соединяющей узлы А и В, определяется фор­ мулой:

Возможна и обратная замена—треугольника п-лучевой звез­ дой (полный и-угольник при п > 3 и при произвольных значениях его сопротивлений не имеет эквивалентной ему п-лучевой звезды).

Замена и-лучевой звезды эквивалентным многоугольником в ряде случаев упрощает электрическую цепь, уменьшая на единицу число ее узлов. Данное упрощение не играет существенной роли при составлении алгоритма и практически не вносит изменений в разгрузку памяти ЭЦВМ с точки зрения сокращения объема

При такой замене токи и напряжения в остальных ветвях не изменяются.

Методом свертывания параллельных ветвей можно пользовать­ ся при подготовке исходной информации о параметрах электричес-

72

кой цепи для нанесения их на сменную ленту. Но из-за простоты его нецелесообразно непосредственно вводить в структуру алго­ ритма.

Метод эквивалентного генератора. Этот метод заключается в том, что произвольное число ветвей, соединяющих два узла, можно принять за нагрузку эквивалентного генератора, заменяющего, собой всю остальную цепь. При этом токи в ветвях нагрузки и на­ пряжение между рассматриваемыми узлами останутся без измене­ ния. Э. д. с. и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора соответственно будут равны напряжению между узлами при отклю­ ченной нагрузке и эквивалентному сопротивлению части цепи меж­ ду рассматриваемыми узлами при отсутствии э. д. с. в ее ветвях.

Применение метода эквивалентного генератора не потребует полного расчета токов всех участков цепи. Указанный метод не дает возможности рассматривать широкий класс задач. Алгоритм, составленный по такому принципу, может быть использован для отдельных частных задач.

Принцип суперпозиции. Этот принцип не позволяет создать полный алгоритм, так как предусматривает вычисление значений токов в любых участках цепи как алгебраическую сумму токов, создаваемых на этом участке каждой э. д. с. в отдельности. Поэто­ му для создания общего алгоритма токораспределения в линейных цепях этот принцип имеет ограниченное применение. В то же вре­ мя он может быть использован, например, для рассмотрения элект­ ромагнитных процессов в нелинейных цепях, допускающих кусоч­ но-линейную аппроксимацию.

Рассмотренные методы являются вспомогательными и могут использоваться, например, при подготовке исходной информации, в сочетании с основными методами. К последним относятся методы контурных токов, узловых напряжений и уравнения четырехпо­ люсника.

Уравнения четырехполюсника можно рассматривать как част­ ный случай уравнений узловых напряжений и контурных токов,, которые характеризуются рядом отличительных особенностей, обу­ словливающих эффективность и область их рационального приме­ нения. Алгоритмизация, проведенная на принципа'х теории четы­ рехполюсника для ряда задач (например, цепи со свойствами,, заданными относительно входных зажимов), приводит к существен­ ным преимуществам.

§6.2. Использование геометрических

иматричных методов

для построения алгоритмов расчета электрических цепей

В последнее время все большее применение для анализа элек­ трических цепей находят топология и теория матриц. Топологи­ ческие методы для анализа электрических цепей использовались

73

еще Кирхгофом и Максвеллом при рассмотрении сравнительно не­ сложных схем. С момента использования ЭЦВМ для электротехни­ ческих расчетов наблюдается быстрое развитие топологических ме­ тодов.

Применение топологических методов обычно сочетается с исполь­ зованием матричных методов и приводит к самостоятельному рас­ смотрению геометрических и физических свойств цепей. Последние определяются как геометрией цепи, так и физическими свойст­ вами ее элементов. Геометрические свойства цепи целиком опреде­ ляются взаимным расположением ее элементов, т. е. схемой их сое­ динения, конфигурацией цепи, и не зависят от того, какими по своим физическим свойствам элементами представлены отдельные ветви и контуры.

Отдельное рассмотрение геометрических и физических свойств сложных цепей в ряде случаев создает возможность использовать рациональные методы расчета и выбора алгоритма электротехни­ ческих задач. Появляются большая гибкость программы при ее реа­ лизации в ЭЦВМ и возможности видоизменения в широких пределах исходной информации, связанные с изменением геометрической структуры рассматриваемой цепи. Таким образом, отвлекаясь от ха­ рактера элементов, содержащихся в отдельных ветвях, и изображая каждую ветвь только в виде направленного отрезка, получим гео­ метрический образ электрической цепи. Основные определения электрических цепей следующие.

Геометрическая схема электрической цепи представляет, собой •совокупность узлов и ветвей, соединяющих узлы схемы. Ветви, сходящиеся в одной точке, образуют узел. Если ветвям схемы при­ писаны определенные направления, схема называется ориентиро­ ванной (ее знак зависит от произвольно выбранных отрицательного и положительного направлений). Геометрическая схема может быть связанной и несвязанной (разделимой). Схема называется свя­ занной, если в ней из одного узла можно попасть в любой другой узел переходом по ветвям, соединяющим эти узлы. Схема является разделимой, если она содержит узлы, осуществляющие единствен­ ную связь между двумя или несколькими группами ветвей.

Узлы схемы могут быть устранимыми, если в них сходятся только две ветви. Совокупность ветвей и узлов (не считая устра­ нимых), образующих такой непрерывный путь, что при обходе каж­ дая ветвь и каждый узел встречаются только один раз, называется контуром. Контурам приписываются как положительное, так и отрицательное направления. Если при обходе контура возвращают­ ся в исходную точку, то контур называется замкнутым.

Сложение контуров осуществляется сложением ветвей, образую­ щих складываемые контуры (каждый контур заменяется суммой входящих в него ветвей). Контуры называются линейно зависимыми, •если между ними можно установить линейную связь. В линейно лезависимых контурах такая связь отсутствует. При наличии в схе­ ме S подсхем, Q ветвей и V узлов наибольшее число линейно не­ зависимых контуров N (называемое связностью схемы) определяет-

74

<ся соотношением, вытекающим из геометрических свойств схемы

N = Q — V + S.

Линейными преобразованиями можно реализовать переход от •одной системы линейно независимых контуров к другой. В схеме, имеющей /V замкнутых контуров, всегда можно выбрать N ветвей

.для устранения всех замкнутых контуров. Схема, оставшаяся после удаления N ветвей, называется деревом схемы. Удаленные N вет­ вей образуют систему главных ветвей, каждой из которых соот­ ветствует контур, который она замыкает.

Совокупность контуров, соответствующих главным ветвям, называется главными контурами, относящимися к данному дереву.

•Система главных контуров является линейно независимой.

Учет геометрической структуры схемы, т. е. связь между вет­ вями и контурами, дается матрицей совпадений Г. Матрица сос­ тавляется с использованием коэффициентов совпадения, указы­ вающих вхождение i-й ветви в k-vi контур. Она строится таким •образом, чтобы ее столбцам соответствовали независимые контуры схемы, а строкам — ветви.

Элементы матрицы Г принимают значение + 1, если ветвь вхо­ дит в рассматриваемый _контур и направление ветви совпадает с направлением контура, и —-1 — при несовпадении этих направле­ ний (если ветвь не входит в контур, коэффициент совпадения при­ нимают равным нулю). Матрица Г является алгебраическим выра­ жением геометрической связи между ветвями и контурами цепи.

Для каждой сложной электрической цепи имеется определен­ ное множество систем независимых контуров и соответствующих им матриц Г. Поэтому матрица контуров Г не определяет однозначно геометрического образа цепи (одной и той же матрице может соот­ ветствовать несколько геометрических образов цепи). Она может •определить однозначно только избранную систему контуров в рас­ сматриваемой цепи. С помощью линейной комбинации столбцов и строк матрицы может быть реализован переход от одной системы контуров к другой.

Среди множества возможных систем контуров можно выделить одну такую, у которой каждая ветвь цепи обязательно принадле­ жит к двум смежным контурам, причем направление ветви для плаяарных цепей всегда согласно с направлением одного из смежных

к системе независимых контуров, следует исключить из особой си­ стемы любой контур. Исключая соответствующий этому контуру столбец матрицы Г, получаем матрицу Г независимых контуров.

Учет связи между узлами и ветвями производят, используя коэффициенты совпадения mih. Эти коэффициенты алгебраически показывают, граничит ли, например, i-я ветвь с k-ы узлом: если

75

ветвь не примыкает к узлу (не входит в контур), то коэффициент совпадения принимает значение 0; если же ветвь примыкает к узлу (входит в данный контур), то коэффициент совпадения принимает значение + 1 в случае, когда направление ветви совпадает с поло­ жительным направлением контура при движении вдоль ветви к узлу, и значение — 1 , когда направление ветви не совпадает с по­ ложительным направлением контура. Матрица, в которой элементы столбцов соответствуют ветвям, а элементы строк—узлам рас­ сматриваемой схемы, называется матрицей совпадения П.

Следовательно, в зависимости от того, входит ли ветвь в контур пли нет, на пересечении столбца и строки матрицы совпадения П ставится + 1 , — 1 , 0.

Матрица совпадения П однозначно определяет геометрический образ цепи, т. е. определяется один и только один геометрический образ, который всегда описывается одной матрицей П.

В каждом столбце матрицы совпадений П любой цепи встречает­ ся один раз + 1 н — 1 , все остальные числа 0, так как каждая ветвь цепи принадлежит только двум узлам (из одного выходит в другой входит).

строк. Одна строка матрицы будет зависимой и определяется вы­ черкиванием строки, соответствующей нулевому напряжению. В ре­ зультате получаем матрицу ГГ.

Отсюда в клетке, находящейся на пересечении первого столбца и первой стро­ ки (соответствующей первой ветви), коэффициент совпадения равен +1, Поэтому в этой клетке ставим -f 1. Ветвь 1 не входит во второй контур, поэто­ му во второй клетке первой строки коэффициент совпадения равен 0.

Ветвь 2 не входит в контур Г, поэтому в первой клетке второй строки

не совпадает с направлениями обхода этих контуров. Поэтому в обеих клет­ ках третьей строки будет стоять — 1. В окончательном виде для рассматри­ ваемого примера Г имеет вид:

76

1 0

г= 0 1

-i -1

§ 6.3. Построение уравнений цепи методами контурных токов и узловых напряжений

а. Величины, характеризующие электрическую цепь

При исследовании электрической цепи, кроме ее геометриче­ ского образа, определяющего схему соединения ветвей, необходимо также учитывать сопротивления или проводимости ветвей, э. д. с. источников, токи в ветвях и напряжения ветвей. Для математиче­ ского выражения этих величин рассмотрим матрицу сопротивлений ветвей.

Свойства матриц играют существенную роль в практической реализации электротехнических алгоритмов: матрицы определяют совокупность информации, выражающей в цифрах ее специальные свойства. Поэтому изучение свойств матриц линейных электричес­ ких цепей позволяет найти возможности сокращения исходной информации и кодирования матриц более экономным способом.

Разберем свойства матриц линейных электротехнических це­ пей. При разборе будем рассматривать не реальные объекты, а их расчетные схемы, что приводит к сокращению числа уравнений,

77.

4

описывающих электрическое состояние цепи. Например, реальная1: трехфазная симметричная цепь, содержащая зависимые источники э. д . с , описывается системой уравнений электрического равно­ весия, составленной для каждой из фаз; ввиду симметричности урав­ нений относительно отдельных фаз достаточно установить взаимо­ связь токов и напряжений для одной фазы и рассмотреть систему уравнений относительно нее. Это позволит экономно построить алгоритмы, предназначенные для анализа симметричных электри­ ческих цепей.

Для электрических цепей, в которых выполняется принцип

ся к одной и той же системе контуров, — симметрична. Кроме того, если каждая ветвь системы контуров входит не более чем в два кон­

78

Матрица проводимостей ветвей Y также квадратная матрица порядка р. Элементы, расположенные по ее диагонали, равны проводимостям ветвей. Из принципа взаимности следует, что Следовательно, матрица проводимостей будет симмет-

рична

б. Основные уравнения цепи

Для произвольно взятой k-й ветви

где 11к — напряжение, приложенное к концам ветви; Eh — э. д. с. Аналогичные уравнения можно записать для всех р^ветвей цепи

U г + е2 = Z 2 / 2 ;

Up + ep = Zp/p.

Данная система уравнений в матричной форме^будет иметь вид:

Ut+e,

и2+ег

Ui+ei

Up + ep

Уравнение для токов ветвей, сходящихся в каком-либо узле,, следующее:

Ф ( / ) Е Л = О,

где k—ветви рассматриваемого узла.

Количество таких уравнений равно количеству узлов цепи q. (количество линейно независимых уравнений q — 1). Так как произведение матрицы соединений П на любой р-мерный вектор,, определяющий те или иные величины ветвей, соответствует сум­ мированию этих величин по узлам, то систему уравнений, полу-

79'